四种变力作用下的运动问题归类剖析——浅谈动能定理、动量定理的选取

■湖北省松滋市第一中学 刘万强

物体在变力作用下运动,因为物体的加速度不恒定,所以无法直接应用牛顿第二定律进行分析和研究,这就使得很多同学感觉无从下手。下面从变力的四种函数特征入手,关注力对时间或空间积累的有效计算,合理选取动量定理或动能定理进行研究,从而培养同学们良好的模型建构能力、分析推理能力,以达到培养同学们有思想、有方法解决问题的综合能力。

一、在变力F=kx+F0 作用下,关注力的位移积累

问题情景：质量为m的物块静止在光滑的水平面上,从t=0时刻开始用水平力F=kx+F0(x为力F作用后物块的位移)作用于物块,使物块做加速直线运动。若在力F作用下物块发生一段位移x0,求物块的末速度v1。

运动研究：变力F=kx+F0,其中kx关于x的积累量为,即力F做的功可计算出来,在物块发生位移x0的过程中,对物块应用动能定理得,解得。

特征小结：物块受到的变力满足函数关系式F=kx+F0,即力F与位移x呈线性关系,其变化特征图像和力的空间积累效应如表1所示。

表1

说明：弹簧弹力作用下物体的运动(弹力f=kx)、均匀带电导体棒进入匀强电场后的运动(静电力F=kx)等问题,力的变化规律均满足函数关系式F=kx+F0,力F与位移x呈线性关系,可选用动能定理分析和研究。

例1一辆汽车的质量为1×105kg,从静止开始运动,它受到的阻力为车重的0.05倍,汽车发动机牵引力F的大小随汽车前进距离x的变化关系为F=103x+f0,其中f0是汽车所受的阻力。取重力加速度g=10 m/s2,在汽车前进100 m 的过程中,下列说法正确的是( )。

A.牵引力做的功为1×107J

B.牵引力做的功为2×107J

D.汽车的末速度为10 m/s

解析：牵引力F=103x+f0,即牵引力F与位移x呈线性关系,牵引力F做的功可利用F-x图像的面积表示,即,在汽车前进100 m 的过程中,F1=f0=0.05×1×105×10 N=5×104N,F2=103×100 N+f0=1.5×105N,解得W=1×107J。在汽车前进100 m 的过程中,根据动能定理得,其中,解得v=10 m/s。

答案：AD

二、在变力F=kt+F0 作用下,关注力的时间积累

问题情景：质量为m的物块静止在光滑的水平面上,从t=0时刻开始用水平力F=kt+F0(t为力F作用后物块运动的时间)作用于物块,使物块做加速直线运动。若在力F作用一段时间t0后,求物块的末速度v2。

运动研究：变力F=kt+F0,其中kt关于t的积累量为,即力F的冲量可计算出来,在力F作用的时间t0内,根据动量定理得,解得。

特征小结：物块受到的变力满足函数关系式F=kt+F0,即力F与时间t呈线性关系,其变化特征图像和力的时间积累效应如表2所示。

表2

说明：漏电状态下,带电物体在电场力作用下的运动(F=qE)等问题,力的变化规律满足函数关系式F=kt+F0,力F与时间t呈线性关系,可选用动量定理分析和研究。

例2如图1所示,质量m=1 kg,电荷量q0=+1 C的物块在粗糙水平面上向右滑动,某时刻以v0=11 m/s的速度从A点进入方向竖直向上、场强E=10 N/C的匀强电场区域,由于水平面绝缘性不佳导致物块放电,物块的电荷量随时间的变化规律为q=q0-kt(k=0.5 C/s),已知物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5,取重力加速度g=10 m/s2,则物块在水平面上运动的时间为( )。

图1

三、在变力F=kv 作用下,关注力的时间积累

问题情景：质量为m的物块静止在光滑的水平面上,从t=0时刻开始用水平力F=kv(v为力F作用后物块的速度)作用于物块,使物块做加速直线运动。若在力F作用一段时间t0后,求物块的末速度v3。

运动研究：变力F=kv,其中v关于t的积累量是位移x,即力F的冲量可计算出来,在力F作用的时间t0内,根据动量定理得,解得。

特征小结：物块受到的变力满足函数关系式F=kv,即力F与速度v呈线性关系,其变化特征图像和力的时间积累效应如表3所示。

表3

说明：涉及洛伦兹力(qvB)的带电物块的运动、金属杆在安培力作用下的运动、物体在阻力f=kv作用下的运动等问题,力的变化规律均满足函数关系式F=kv,即力F与速度v呈线性关系,可选用动量定理分析和研究。

例3如图2所示,质量m=1 kg,电荷量q=+1 C 的物块在粗糙斜面上从O点以速度v0=10 m/s匀速下滑,已知斜面倾角θ的正切值,物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。某时刻物块从M点进入方向垂直于纸面向外、磁感应强度B=2 T 的匀强磁场区域,磁场区域的宽度x=1 m,一段时间后,物块在磁场中运动到其右边界上的N点,则物块到达N点时的速度为( )。

图2

A.10 m/s B.9 m/s

C.8 m/s D.7 m/s

解析：物块从M点运动到N点的过程中,根据动量定理得,解得v=9 m/s。

答案：B

问题情景：质量为m的物块静止在光滑的水平面上,从t=0时刻开始用水平力(v为力F作用后物块的速度)作用于物块,使物块做加速直线运动。若在力F作用下物块发生一段位移x0,求物块的末速度v4。

运动研究：变力,其中关于x的积累量是时间t,即力F做的功可计算出来,在物块发生位移x0的过程中,根据动能定理得,解得。

特征小结：物块受到的变力满足函数关系式, 即力F与呈 线性关系,其变化特征图像和力的时间积累效应如表4所示。

表4

例4质量为m的汽车在平直路面上启动,汽车的速度—时间图像如图3所示,图中OA段为直线,从t1时刻开始汽车保持额定功率不变,整个运动过程中汽车所受阻力恒为f,在t1和t2时刻的速度分别为v1、v2,则汽车在t1～t2时间内的位移是( )。

图3

答案：C

总结：以上四种物体在变力作用下的运动问题不能应用动力学的观点来定量计算,而应该在已知物体的位移或运动时间的情况下,分析力的积累效应,合理选用动量定理或动能定理进行分析和研究。通过时间与空间积累的对比,四种不同变化规律的案例对比,可以深入认识力的积累效应与有效计算,构建不同变化规律的积累模型,完成深度学习。