GGD 弱湍流环境含零视轴指向误差MISO-UWOC 系统容量分析

李岳衡，徐贻宁，居美艳，黄平

（河海大学计算机与信息学院，江苏 南京 211100）

0 引言

近年来，随着世界各国政府和科研团体对面向海洋环境开展的资源探索等活动的日渐重视，研究支持实时、高速水下多媒体通信的技术显得愈加迫切和重要。与传统的水声通信和水下射频（RF,radio frequency）通信相比，水下无线光通信（UWOC,underwater wireless optical communication）以其大带宽、低时延、强保密性等诸多突出优点吸引了研究者的关注，并逐渐成为水下无线通信领域极具应用前景的重要研究方向之一[1-2]。

实验测试结果表明[3]，海水中溶解的大量盐和悬浮物等微粒会对水中传输的蓝/绿光束产生比较严重的吸收与散射；此外，传输路径上不同区域海水中普遍存在温度、盐度的梯度分布以及空气气泡的影响，也会导致可见光在通过这种海水时，会因反复折射引发接收光强的随机波动，产生所谓的“湍流效应”[4]，从而导致光束在水中的传输距离（≤150 m）远无法与大气环境中的传播距离相比。要解决这一问题进而有效提升UWOC 性能的途径，一方面需采用无线中继传输技术[5]，另一方面则需采用多输入多输出（MIMO,multi-input multi-output）分集收发方案[6]。需要指出的是，鉴于水下无线光通信环境的复杂性和信道传输的独特性，现有针对陆地自由空间光通信（FSO,free-space optical）中的无线中继和分集传输[5-6]的方法和结果并不能直接应用，相应的研究，如中断概率、误码率、信道容量等衡量系统性能的关键指标仍需进行专门研究。

作为前期基础，文献[7]以纯Monte Carlo 数值仿真的形式研究了海水中吸收与散射效应对系统误码率的影响。文献[8]研究了点对点（P2P,point-to-point）UWOC 系统在大范围光湍流模型下的系统误码率和中断概率。文献[9]则进一步研究了强、弱湍流环境中P2P UWOC 系统的系统容量与误码率。此外，文献[10]探索并总结了UWOC 系统采用不同先进调制技术且级联不同的后置均衡器时，接收机对传输信道非线性失真等有害因素的抑制作用。文献[11-14]则将研究对象推广到MIMO 模式的UWOC 系统。其中，文献[11]在考虑水质和发射机参数变化所引起的多径传播效应的前提下，分析了MIMO-UWOC 系统采用不同合并方案时的系统误码率；文献[12-14]则分别研究了无多径效应下单输入多输出（SIMO,single-input multi-output），多输入单输出（MISO,multi-input single-output）和MIMO-UWOC 系统在弱湍流环境的平均误码性能。上述涉及湍流衰落的研究都是通过直接移植传统大气湍流模型来描述水下无线光传输环境的湍流效应的，其中弱湍流普遍采用Lognormal 分布，强湍流采用Gamma-Gamma 分布。然而，大量的实验测量和数据拟合实验表明，这2 种广泛适用于陆地大气环境的湍流模型并不能准确描述水下环境的湍流效应[4,15-16]，需根据具体的海洋环境湍流信道生成机理采用广义Gamma 分布（GGD,generalized Gamma distribution）[15-16]或混合指数-广义Gamma（EGG,exponential-generalized Gamma）分布[4]衰落模型来建模。另外，上述工作的研究对象仅限于点对点或点对多点的直传情形，尚未考虑支持长距离通信的工作模式。为此，文献[17-18]在考虑了无衰落冲激响应（FFIR,fading free impulse response）所引发的符号间干扰（ISI,inter-symbol interference）的条件下，分别研究了弱海洋湍流环境中串行中继和并行中继UWOC 系统的中断概率和平均误码率性能。文献[19]分析了混合陆地-水下中继的RF-UWOC 的两跳中继系统的中断概率、误码率和信道容量。文献[20]则分析了串行中继UWOC 系统在采用放大-转发和解码-转发2 种机制下系统的误码率、中断概率和遍历容量。

除了海洋湍流对UWOC 系统性能产生影响之外，发射机指向误差[21]也会对系统性能产生重大影响。关于UWOC 系统，分析含指向误差衰落因素的系统性能方面的文章相对较少，文献[22-23]分别研究了零视轴指向误差下P2P 和MIMO UWOC 系统的信道容量与误码率问题。陆地大气环境的FSO系统中，关于指向误差对系统影响的研究比较多，如文献[24-25]等。但表征UWOC 系统信道衰落的模型与FSO 的差异很大，加之海水散射导致的多径效应，需单独针对UWOC 系统进行建模并分析其系统性能。如前文所述，考虑MIMO 合并技术的UWOC 系统可以有效抵抗海洋环境中路径损耗和湍流效应对系统造成的不利影响。但是，首先，众多已有研究在建模水下湍流效应时采用的数学模型不合理；其次，未考虑FFIR 时延扩展导致的ISI和指向误差等不利因素。另外，调研显示，有关MISO-UWOC 系统在复杂聚合信道模型下的遍历容量和中断容量方面的研究，在公开文献中尚未涉及，因此研究这个问题是新颖且必要的。

本文特别针对弱海洋湍流环境含零视轴指向误差MISO-UWOC 系统的系统容量性能进行开创性研究。本文主要的创新性工作和贡献总结如下。

1) 不同于上述分析弱湍流环境UWOC 系统性能的文献[8-9,11-14,17,22-23]，本文根据实验室测试数据[15-16]采用简单GGD 来建模UWOC 系统经历的弱湍流效应，以期更加合理地分析相应的湍流环境UWOC 系统性能。

2) 建模一种综合考虑了FFIR 隐路径损耗和多径效应、GGD 弱湍流，以及零视轴指向误差的新的聚合衰落接收信道模型。利用高等超越Meijer-G 函数推导出考虑了GGD 弱湍流以及零视轴指向误差的混合衰落联合概率密度函数（PDF,probability density function）；基于此，分别推导出在考虑和忽略ISI 情形下，聚合衰落MISO-UWOC 系统遍历容量和中断容量的理论表达式。

3) 利用Monte Carlo 数值仿真验证上述推导所得MISO-UWOC 系统遍历容量和中断容量理论表达式的准确性，并考察了不同系统核心参数对系统性能的影响。

1 系统模型

1.1 混合衰落接收信号模型与匹配滤波

本文研究一种发射端具有多个光波束、接收端只有单个接收机的MISO-UWOC 系统，其结构如图1所示。假设N个发射光源均匀分布在X-Y平面内半径为rt的圆周上，其坐标为(xi,yi),i=1,2,…,N，接收机位于Z轴上距离坐标原点z0处，则由空间几何关系可以计算出各发射源节点（SN,source node）至目标节点（DN,destination node）之间的传输距离di。不失一般性，发射端采用Gauss 波束激光源，其z=0即X-Y平面内的Gauss 光束的归一化空间电场强度衰减特性服从经典Gauss 函数其中，r为X-Y平面内垂直于Z轴的径向距离，Wb为光束宽度或光束腰。节点SNi发射的激光束经过长度为di的湍流信道后被接收端DN 接收，其接收半径为ra、视场角（FoV,field of view）为θFoV。

图1 MISO-UWOC 系统结构

在图1 所示的MISO-UWOC 系统中，各个源节点SN 将原始电信号转换为光信号，通过水下无线光信道传输至接收机即DN，最后经合并处理后再转换为电流信号。由第i个SN 传输至DN 的电流信号可以表示为[27]

大量的实验测试数据表明[4,15-16]，在现有用于描述海洋湍流衰落统计特性的PDF 模型中，GGD 和EGG 皆能取得湍流信道实测数据与理论曲线之间的极佳拟合。其中，GGD 模型特别适合于模拟海水中由温度和盐度的梯度而导致的弱湍流效应[15-16]。当激光源配置光束扩展和准直器（BEC,beam expander-and-collimator）、接收端配置孔径平均透镜（AAL,aperture averaging len）时，GGD 模型对光束所经历的由温度、盐度梯度，以及气泡等混合因素导致的弱-中-强湍流效应，也能取得非常准确的拟合效果[16]。混合EGG 模型[4]因为相较于三参数GGD 模型提供了额外2 个自由度的待优化拟合系数，故更适合于模拟海水中存在大量气泡的中-强湍流信道[16]。此外，由于EGG 模型相较于GGD 模型增加了一个带权重项的指数PDF 项，基于该混合PDF 模型进行有关UWOC 系统性能分析和数值仿真都将远比GGD 模型复杂。基于上述分析，本文采用GGD 模型来描述由温度与盐度变化导致的弱海洋湍流效应，以期获取更加复杂通信环境下系统性能的闭形表达，或者同等复杂环境下相对简单的性能描述。满足GGD 模型的弱海洋湍流衰落的PDF 表达式为

为了分析简单，本文仅考虑对匹配滤波接收的信号进行直接检测。根据匹配滤波的基本原理[28]，第i条支路接收的，考虑了FFIR 引起的符号间干扰的、第0 时隙间隔上的积分电流可以表示为[8]

1.2 混合衰落信道PDF 的推导

对于上述综合考虑了GGD 弱湍流和零视轴指向误差的水下无线光信道混合衰落hi，即式(4)，可以得到其PDF 表达式为

将式(5)和式(12)代入式(11)，可得hi的PDF 为

2 混合衰落环境MISO-UWOC 系统遍历与中断容量分析

2.1 混合衰落MISO-UWOC 系统遍历容量公式推导

针对图1 所示的MISO-UWOC 系统，假设采用选择性发送方案，即在发射端选择具有最大链路接收信干噪比γ=max {γ1,…,γN}的支路来传输信号。不失一般性，当各条传输支路之间存在较大的空间间隔时，完全可以假设各支路之间的信道衰落满足相互独立的传输特性，此时该系统的接收信干噪比的累积分布函数（CDF,cumulative density function）可表示为

根据经典P2P 香农信道容量计算式[30]，采用选择性发送（ST,selective transmission）方案的MISO-UWOC 系统的平均遍历容量为

鉴于本文所分析的MISO-UWOC 系统考虑了多径传播效应，因而需根据Monte Carlo 数值仿真模拟的信道传输环境，分别在考虑以及忽略ISI 这2 种情形下，对式(17)所表述的系统平均遍历容量具体数学表达进行讨论。

2.1.1考虑ISI 的情形

由式(10)可以得出，对应第i条支路的接收电流信号的信干噪比的表达式为[8]

式(20)中的被积函数项γi包含在Meijer-G 函数自变量有理式的分子与分母中，导致该复杂积分无法得到闭型表达，只能以数值积分的形式进行近似计算。将式(20)代入遍历容量的计算式(17)，即可得出考虑ISI情形，即强ISI 环境下的遍历容量数值计算结果。

2.1.2忽略ISI 的情形

当信道条件比较理想[31]，如收发机位于清澈海洋或者近海海岸水质，光源采用高斯平行激光源（即光束的初始发散角非常小），且符号传输速率比较高（大于或等于数百兆比特每秒）的情形下，无衰落信道冲激响应所引入的符号间干扰完全可以忽略，原考虑ISI 的多径传输信道将退化为简单的频率非选择性衰落（即平坦衰落）模式[28]，此时式(10)中的干扰项其对应第i条支路的信干噪比则可简化为

则信干噪比的CDF 可以表示为

根据文献[29]中式(2.24.2.2)，将式(23)化简处理后可得

代入式(17)即可得系统在忽略ISI 情形下的遍历容量数值计算结果。

2.2 混合衰落MISO-UWOC 系统中断容量公式推导

ST 方案同样适用于系统中断容量的推导。假设各支路之间的信道衰落仍然是相互独立的，则当系统瞬时容量C低于某一阈值Cth时将会发生容量中断现象，则系统的中断容量可以根据定义表示为[32]

2.2.1考虑ISI 的情形

考虑ISI 情形下的接收电流信号信干噪比γi的PDF 如式(19)所示，则分支i的CDF 可以表示为

与式(20)的情形相类似，式(26)中的被积函数项γi同样包含在Meijer-G 函数自变量有理式的分子与分母中，导致该复杂积分无法得到相应的闭型表达，只能以数值积分的形式进行近似计算。将式(26)代入中断容量的计算式(25)，即可得到在考虑ISI情形下，即强ISI 环境中的系统中断容量数值计算结果。

2.2.2忽略ISI 的情形

当信道ISI 比较弱，也就是可以忽略ISI 的影响时，由式(22)的简化推导可以得到式(26)的闭型表达如下

根据文献[29]中式(2.24.2.2)，可将式(27)进一步化简为

将式(28)代入式(25)，即可以得出MISO-UWOC系统最终的闭型中断容量计算式为

3 数值仿真与分析

3.1 仿真参数设置与FFIR 示例

本文推导所得的MISO-UWOC 系统的遍历容量和中断容量的数学表达式中，路径损耗和多径效应以隐性的形式体现在FFIR 函数中，即由积分器输出项隐性表征。故需先搭建一个Monte Carlo 数值仿真平台以获取基于准直激光源的UWOC 系统对应参数下传播链路上的FFIR 数据，具体的平台搭建方法和数学原理描述可参考文献[31]。不失一般性，仿真环境模拟近海海岸水质，其吸收和散射系数为 (a′,b′)=(0.179,0.219)m-1[31]。基于准直激光源的用于FFIR 模拟及数值仿真的主要参数如表1 所示[11,15-17,27,31-32]。

表1 FFIR 模拟及数值仿真主要参数

图2 展示了传输距离为13 m，激光束发散角θ分别为0.01°和5°时的FFIR 仿真数据。从图2 可知，相较于OOK 符号1 Gbit/s 的传输速率，即1 ns 的符号宽度，图2(a)所示的光束发散角θ=0.01°时所对应的FFIR 时延扩展仅约为0.03 ns，ISI 效应基本可以忽略；而图2(b)所示的发散角θ增大为5°时所对应的FFIR 时延扩展则大幅增加到1 ns，即引入了比较强的ISI。这表明不同系统参数和信道条件下的FFIR 仿真数据差异会比较大，体现路径损耗和多径效应因素的FFIR 对仿真性能的影响已不能忽略，即在将FFIR 仿真结果作为衰落系数，并通过匹配滤波将其作用在接收信号上时，需要考虑符号间干扰的影响。需要说明，由于后续仿真中传输距离值有多种设置，受篇幅的限制，本文没有列出所有仿真距离值和发散角条件下的FFIR 图形。此处仅以z=13 m为例，针对传输条件θ的变化对FFIR 的影响进行了仿真示例与说明。

图2 FFIR 仿真数据

3.2 遍历容量仿真结果与分析

本节在混合衰落信道传输模型的基础上，利用搭建的Monte Carlo 数值仿真平台来验证所推导的MISO-UWOC 系统遍历容量理论表达的合理性及系统核心参数对遍历容量的影响。

当 P2P 传输距离z=13 m、抖动离差σs=0.15 m、接收机半径ra=0.15 m时，不同源节点数N下，系统遍历容量随发射功率的变化如图3所示。从图3 可以看出，随着源节点数的增加，系统的遍历容量提升显著；特别地，当N=1时，系统等效为单输入单输出（SISO,single-input single-output）场景，此时的遍历容量值最小，这也说明采用ST 传输分集技术可以显著提升UWOC 系统的遍历容量。此外，对比图3(a)和图3(b)可以发现，随着发散角θ的增加，同样N值下的系统遍历容量下降明显，这是因为多径效应引发的ISI 降低了系统信干噪比。

图3 不同N 下，系统遍历容量随发射功率的变化

当发射功率Pb=20 dBm、σs=0.15 m、ra=0.15 m 时，不同源节点数N下，系统遍历容量随传输距离的变化如图4 所示。由图4 可知，随着传输距离的逐渐增加，系统遍历容量明显下降，这是由于传输距离的增大导致了由FFIR 表征的链路路径损耗的增强，进而使系统接收信干噪比性能恶化。此外，随着N的增加，系统遍历容量显著提升，这是因为独立衰落信道传输条件下，可供选择的传输路径增多导致可以选择具更大接收信干噪比路径。从另一个角度来看，在固定同一遍历容量值的前提下，随着源节点数N的增加，系统能够支持的传输距离更大，这也验证了分集收发技术是增加UWOC 系统传输距离行之有效的一种方案。对比图 4(a)和图 4(b)可以看出，增大θ引入不可忽略的ISI 后，系统遍历容量的改善会在原有基础上有较大幅度的削减。

图4 不同N 下，系统遍历容量随传输距离的变化

当源节点数N=3、z=13 m、ra=0.15 m时，不同抖动离差σs下，系统遍历容量随发射功率的变化如图5 所示。仿真结果表明，随着σs的增加，系统遍历容量下降，这是由于入射光轴发生径向抖动时，落在接收孔径中的Gauss 光束的光强产生了由强至弱的随机变化（即引入了抖动损耗或抖动误差）。此外，由图5(a)和图5(b)在不同初始发散角下的性能对比可以看出，引入的ISI 也加速了这种性能恶化，原因是不可忽略的ISI 降低了整个系统的信干噪比。

图5 不同 σs下，系统遍历容量随发射功率的变化

图6 不同湍流模型下，系统遍历容量随发射功率的变化

在分别基于GGD 和Lognormal 海洋弱湍流模型构建的复合衰落信道中，MISO-UWOC 系统遍历容量随发射功率的变化如图 6 所示。由于GGD 模型是建立于实测数据拟合实验所得的弱湍流模型，因此能代表混合衰落信道的准确性能；Lognormal 模型则是直接移植大气环境弱湍流的不可靠模型，基于其所构建的混合衰落信道应与GGD 存在较大差距。仿真结果证明了上述分析，N=1即SISO 情形下，Lognormal 模型的结果与GGD 的差异最大，相较于作为参考标准的GGD 精确遍历容量值，Lognormal 模型会比较严重地高估系统遍历容量性能；而随着参与ST 合并的发射分集节点数的增多，这种性能高估的趋势会逐渐减弱并反转为比较大的低估值的情形。另外，大光源初始发散角θ值下，即存在比较严重的ISI 的情形下，在系统整体性能下降的同时，这种反转发生得更快、也更大。这也从另一个侧面说明采用Lognormal 模型来建模海洋弱湍流衰落是不可取的。

此外，上述4 组有关遍历容量随发射功率或传输距离变化的仿真中，还给出了模拟系统实际工作过程的遍历容量Monte Carlo 数值仿真数据。从对比结果可以看出：遍历容量的理论值与仿真值较为吻合，证明了本文2.1 节所推导的遍历容量理论表达式的准确性。

3.3 中断容量仿真结果与分析

本节继续探讨不同系统核心参数对MISO-UWOC系统中断容量的影响，并验证理论推导表达式的准确性。

固定z=13 m、σs=0.15 m、ra=0.15 m，不同源节点数N下，系统中断容量随发射功率的变化如图7 所示。从图7 可以看出，中断容量的数值随加入ST 传输的N值的增加而迅速减小，这说明ST方案下系统产生中断的风险大大降低。特别地，当N=1时，系统退化为SISO，此时系统的中断容量性能最差。这说明ST 传输分集技术可以有效提升UWOC 系统的中断性能。此外，通过对比图7(a)与图7(b)还可以看出，如果将发散角从θ=0.01°增加到θ=5°，随着ISI 的引入，达到相同中断容量所需的发射功率明显增大，说明系统需大幅度地增大发射功率才能保障所需的中断性能。

图7 不同N 下，系统中断容量随发射功率的变化

固定Pb=12 dBm、σs=0.15 m、ra=0.15 m，不同源节点数N下，系统中断容量随传输距离的变化如图8 所示。从图8 可以看出，增加N可以有效降低系统中断风险；而同样的中断容量值下，多节点的传输距离远大于单节点，这些都证明增加源节点数目可以有效增加传输距离，改善系统中断性能。至于在同样的N值下，增大传输距离将明显降低中断容量的性能的原因是随着传输距离的增加，由FFIR 表征的水下路径损耗迅速增大，从而导致系统接收信噪比快速下降，使系统小于指定容量阈值的概率增加，即中断性能恶化。此外，对比图8(a)和图8(b)还可以看出，增加θ引入ISI 后，系统中断容量性能还会进一步下降。

图8 不同N 下，系统中断容量随传输距离的变化

固定N=3、z=13 m、ra=0.15 m，不同σs下，MISO-UWOC 系统中断容量随发射功率的变化如图9 所示。从图9 可以看出，抖动离差σs的增大与传输距离z的增大一样会导致系统中断性能的恶化，究其原因同样是入射光轴存在抖动损耗的情形下，接收机实际接收的光强急剧减小，进而导致接收信干噪比降低、中断容量增大。对比图9(a)与图9(b)同样可以得出，随着ISI 的引入，中断容量性能将进一步变差，而恶化的原因就是不可忽略的ISI的引入迅速降低了整个系统的信干噪比。

图9 不同 σs下，系统中断容量随发射功率的变化

固定z=13 m、ra=0.1m、σs=0.1m，分别基于GGD 和Lognormal 分布来建模海洋弱湍流效应的复合衰落传输信道中，系统中断容量随发射功率的变化如图10 所示。从图10(a)可以看出，初始发散角θ较小时，与作为基准参照的GGD 湍流模型复合衰落信道的MISO-UWOC 系统的中断容量相比，尤其是在小发射功率段，基于Lognormal 模型的复合衰落信道的中断容量值会普通出现高估的情形，且随着参与ST 分集合并的发射端口数N的增多，这种高估的误差越来越大；随着发射功率的逐渐增加，2 种模型的中断容量值出现交叉又分离的现象，并且出现相反的表现，即N越小，误差越大。此外，随着图10(b)中光源发散角θ的增加，即ISI 的引入，普遍出现Lognormal 分布模型的中断容量要高于标准值GGD 模型的情况，且N越大，这种误差越大。这说明，从中断容量的角度来看，采用Lognormal模型来建模海洋弱湍流也是完全不可取的。

图10 不同湍流模型下，系统中断容量随发射功率的变化

从本节的4 组有关理论中断容量计算结果和Monte Carlo 模拟仿真结果对比来看，本文2.2 节所述系统中断容量的理论分析也是正确的、合理的。

4 结束语

本文在综合考虑了FFIR 隐路径损耗和多径效应、GGD 弱海洋湍流，以及存在零视轴指向误差的新颖聚合衰落环境中，分析了采用ST 传输方案的MISO-UWOC 系统的遍历容量和中断容量。理论推导和数值仿真结果显示，与传统SISO-UWOC 结构相比，设置了多个源节点的ST 传输分集技术对于系统遍历容量和中断容量的改善效果非常显著。系统遍历容量方面，随着参与ST 传输的源节点数目的逐步增多（从1 增大到4），同样发射功率条件下，极小光源发散角θ=0.01°时，系统遍历容量分别为原SISO-UWOC 系统时的1.28、1.39、1.46 倍；而相同传输条件下的传输距离则分别增加15.6%、20%、24.3%；零视轴指向误差对遍历容量的不利影响也非常明显，同等发射功率下，指向误差抖动离差σs从 0.12 m 增大到 0.25 m 时，相较于原SISO-UWOC，MISO-UWOC 系统遍历容量的改善度分别为54.5%、41.8%、20%，下降迅速。此外，当光源发散角增大到θ=5°时，相同距离情形下的FFIR 时延扩展大幅增加，其导致的ISI 效应严重，与小发散角相比，同等发射功率或同等参与ST 传输节点个数等条件下，为获得相同的系统遍历容量，需增加发射功率2～3 倍。中断容量方面也有类似的仿真结果。这些数据皆说明，不同光源入射初值角θ所导致的FFIR 时延扩展，即多径效应对系统容量的影响很大，UWOC 系统性能分析与仿真中不能忽视不同通信环境中FFIR 所引入的ISI的影响。此外，因海水流动、浪涌等因素导致的发射机位置抖动引入的指向误差也会对系统容量产生较严重的损害，入射光轴抖动越大，容量性能越差。此外，本文对比了新颖GGD 弱湍流模型和传统Lognormal 弱湍流模型下的遍历容量和中断容量数据。结果显示，同等条件下，采用传统Lognormal模型的MISO-UWOC 系统的遍历容量较精准GGD模型最大偏差达到14.3%，而中断容量的最大偏差则达到16.7%。这说明，若采用Lognormal 湍流模型来分析UWOC 系统，则在容量性能分析方面与实测的精准GGD 模型之间存在明显误差。最后，本文提供的Monte Carlo数值仿真结果与理论推导计算结果吻合良好，表明所提MISO-UWOC 系统的遍历容量和中断容量理论表达式非常准确，可以从理论层面为系统容量方面的分析提供快速计算支撑。