基于数学知识内在联系的解题策略探究

摘 要：数学解题应把“联系”的观点贯穿解决问题的全过程，解题教学应引导学生把握数学知识的内在联系，有效促进学生把数学知识结构内化为自己的认知结构，提高对数学整体性的认识.

关键词：数学知识；内在联系；解题策略；探究

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0067-03

活动是数学教学的基本形式，思考是数学的核心问题.如何提升学生的解题能力，重要的不是研究教师怎样讲，而是研究如何创设良好的问题情境，让学生运用已有经验，在思考与活动中经历“再创造”的过程.通过知识内在的联系将相关知识整合融通，使知识上下沟通、左右逢源，使数学知识系统化、整体化，以达到在头脑中建立完整的认知结构.

1 题目呈现

题目 已知菱形ABCD，E为AD中点，且BE=3，则菱形ABCD面积的最大值为.

题目以平面图形菱形为背景考查面积最值，学生在解题思考时可从平面几何、三角函数、向量相关知识入手，对题目条件进行合理转化.学生在阅读完题目条件后能瞬间联想到相关知识点，看似起点低，但真正动笔演算时却发现解答的落脚点很高，在考场上临场解答非常有难度.下面我们从学生的认知出发，寻找题目条件与相关知识的内在联系，探究本题的解法（为了解题方便，不妨设AB=a，∠EAB=θ）.

2 题目探究

探究策略1 余弦定理+斜率转化.

题目已知中线长度求面积，学生很自然地联系到利用余弦定理将边角转化，通过菱形的边长和夹角以及中线建立关系，再利用三角形面积公式将面积统一到角度θ.对于分式形式的三角函数最值问题可联系到圆的参数方程（三角代换），将三角函数问题转化为解析几何问题中的斜率.

评注 海伦公式S=p（p-a）（p-b）（p-c）（p=a+b+c2）是联系三角形面积与边长最直接的工具.在本题△ABE中，已知BE=3，AB=2AE，故很容易想到直接利用海伦公式求解面积，后边对于最值的处理可以运用基本不等式，也可以运用导数，还可以换元（令t=x2）后利用二次函数求解.

数学是一个整体，不同的数学知识之间存在着紧密的、重要的联系.学生在获得数学理解的同时，应当能沟通知识之间的内在联系［2］.但是，由于知识在教材中的呈现是相对独立的，教学又是以课时为单位设计学习内容，加上学生受到认知发展的限制，在没有引领的情况下，往往不容易发现知识之间的关联.因此在解题教学中，教师应利用适当的形式和方法从数学的逻辑上引导学生发现不同数学知识之间的内在联系，引导学生在解题的过程中不断地探索，进而展示数学知识的整体性与数学方法的一般性.

参考文献：

［1］ 刘雪明.通过一题多解沟通知识联系发展数学思维[J].中学生数学，2022（07）：45-46.

[2] 李小蛟.基于学生视角的解题策略探究案例[J].理科考试研究，2021，28（17）：14-16.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：成都市名师专项课题“初高中数学衔接与教材整合实践探究”（项目编号：CY2018M30）