高中数学解题中圆的性质的应用

摘 要：文章通过举例分析应用圆的性质解决方程类问题、距离类问题、不等式问题、坐标类问题、最值类问题和向量类问题.

关键词：高中数学解题;圆的性质；距离类问题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0059-03

圆是一个最完美、最简洁的几何曲线，属于圆锥曲线的一种.圆具有旋转不变性，拥有无数条对称轴，且都经过圆心，所有半径的长度都一样，弦、切线、圆心角等也各具特色，有着自身的特殊性质.在高中数学解题训练中，部分试题虽然看起来同圆的关系不大，但是通过对题目信息的认真分析发现可以借助圆的丰富性质来解题，教师应指引学生根据具体题目准确、灵活地应用圆的性质，提高他们的解题能力.

1 应用圆的性质解决方程类问题

在高中数学解题教学中，与方程有关的习题难度比较大，处理此类试题时要综合用到多方面的知识，教师可引导学生应用圆的相关性质，使其形成清晰、准确的解题思路，帮助他们顺利求出题目结果[1].

例1 已知方程4-x2＝k（x-2）+3有两个不相等的实根，那么k的取值范围是什么？

分析 本题可以根据方程的特征构造出熟悉且简单的方程组，再逐层分解，转变成两个图形的交点问题，涉及到圆的性质，即先由数到形，再由形到数，将复杂问题变得简单化.

解析 根据方程4-x2＝k（x-2）+3有两个不相等的实根，能够得到

曲线y＝4-x2和直线y＝k（x-2）+3有两个不同的交点，其中曲线y＝4-x2表示的是半圆x2+y2＝4（y≥0），直线

y＝k（x-2）+3恒过点P（2，3），据此画出图1，则满足题目条件的直线位于PA和PB之间，kPA＝512，kPB＝34，所以k的取值范围是512＜k≤34.

2 运用圆的性质解决距离类问题

在处理高中数学求距离问题中，教师可以指导学生运用圆的性质辅助解决，通过圆的图象能清晰、直观地看到空间内两个点之间的距离，以此降低题目的难度，把复杂问题简单化，有效提高他们的解题速度[2].

例2 与点A（1，2）距离是1，与点B（3，1）距离是2的直线共有几条？

分析 本题虽然能够使用代数法来解答，不过较为复杂，运用圆的性质可以将原题转变成确定两个圆的公共切线数量问题.

解析 如图2所示，与点A（1，2）距离是1的直线有无数条，它们是以点A为圆心，半径为1的圆的切线；与点B（3，1）距离是2的直线同样有无数条，它们是以点B为圆心，半径为2的圆的切线，即所求直线是两圆的公切线，由于|AB|＝（3-1）2+（1-2）2＝5，两个圆的半径之和是1+2＝3，5＜3，故两圆是相交关系，那么这两个圆的公切线有2条，也就是说符合题意的直线有2条.

3 采用圆的性质解决不等式问题

高中数学教师指导学生解答不等式问题时，除把握好不等式的性质以外，还要学会运用圆的相关性质进行分析，助推他们轻松突破障碍[3].

例3 已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+11＝0，且不等式x-y+m＜0，那么实数m的取值范围是什么？

分析 处理这一问题时可以从几何视角展开分析，x2+y2+Dx+Ey+F＝0所对应的图形就是圆，本题中的式子刚好符合这一特征，故能够运用圆的性质来解题.

解析 根据实数x，y满足x2+y2-4x+6y+11＝0，可以得到（x-2）2+（y+3）2＝2，则点P（x，y）在以点C（2，-3）为圆心、2为半径的圆上，如图3所示，根据x-y+m＜0可以得到x-y＜-m，这里只需确定x-y的最大值即可.设x-y＝a表示一组平行直线，圆心到这组平行直线的距离是|2-（-3）-a|2≤2，即为3≤a≤7，故x-y的最大值是7，则实数m的取值范围是m＜-7.

4 使用圆的性质解决坐标类问题

在高中数学教学中，通常会有一些求坐标类的试题，这时教师可指引学生使用圆的性质进行解题，把圆的知识同坐标系的特征联系到一起，使其精准找到解题的突破口，快速确定解题思路，增强解题自信[4].

例4 如图4所示，已知⊙O是以坐标原点为圆心、半径为1的圆，∠AOB=45°，点P（x，0）在x轴上运动，过点P且与OB平行的直線和⊙O有公共点，那么x的取值范围是什么？

分析 虽然这是一道坐标类试题，但是涉及到圆的相关知识，所以要使用圆的相关性质来解题.解析 由于圆O是以坐标原点为圆心、半径为1的圆，则∠AOB＝45°，过点P′，且与OB平行的直线与圆O相切时，假设切点是D，则OD＝DP′＝1，OP′＝2，所以0＜x≤2，同理可知，当OP和x轴的负半轴相交时，-2≤x＜0，综上可得-2≤x≤2.

5 利用圆的性质解决最值类问题

高中数学教师在最值类解题训练中，可以引导学生利用圆的性质辅助求解，使其根据题目具体要求找到求最大值、最小值、最长或者最短的解决方法，帮助他们掌握高中数学中求最值问题的技巧[5].

例5 求函数y＝sinx-1cosx-2的最大值与最小值.

分析 学生通过读题往往会感觉这一题目与圆没有关系，其实遇到这类问题时教师需提醒他们树立“见数思义”的思想意识，使其根据题干中的函数形式联系到直线的斜率，再结合圆的性质进行解题.

解析 如图5所示，函数y＝sinx-1cosx-2表示的是经过点A（cosx，sinx），B（2，1）两点的直线的斜率，其中点A（cosx，sinx）在以点O（0，0）为圆心，1为半径的圆上，设经过点B的直线方程是y-1＝k（x-2），当它同⊙O相切时，k取得最大值或最小值，根据|-2k+1|k2+1＝1得到k＝0或k＝43，所以函数y＝sinx-1cosx-2的最大值为43，最小值为0.

6 借助圆的性质解决向量类问题

对于高中数学解题教学中的向量类试题而言，大部分学生都是初次接触，教师可以引领他们借助圆的性质进行解题，当然要以向量的计算法则为基础，使其能综合运用这些知识准确、轻松地求解[6].

例6 已知向量OB＝（2，0），OC＝（2，2），CA＝（2cosx，2sinx），那么向量OA与OB夹角的取值范围是什么？

分析 学生通过对题目内容的阅读与思考后发现，向量OA的几何特征是以点（2，2）为圆心、2为半径的圆，然后借助圆的性质就能够快速找到解题方向，从而快速解答试题.

解析 根据题意可知OA＝OC+CA＝（2cosx+2，2sinx+2），由此得到动点A的运动轨迹是以点C（2，2）为圆心、2为半径的圆，如图6所示，向量OA与OB夹角最大值是∠BOD，最小值是∠BOA.由于∠BOC＝π4，∠AOC＝π6，所以∠BOD＝π4+π6＝5π12，∠BOA＝π4-π6＝π12，也就是表明OA与OB夹角的取值范围是[π12，5π12].

综上所述，在高中数学解题活动中，圆的性质可谓是有着相当广阔的应用空间，不仅可以用来解决几何类问题，还有助于处理代数问题.教师应深刻意识到圆的性质的作用和优势，且将这一思想观念传递给学生，使其学会使用圆的性质解答方程、距离、不等式、坐标、最值与向量等问题，助推他们能够创新与优化解题思路，从而提高整体解题质量.

参考文献：

［1］ 傅树兵.例析高中数学与“圆”有关的最值问题[J].数理化解题研究，2023（01）：44-46.

[2] 刘剑华.高中数学解题思路以及解题能力训练方法研究[J].数理天地（高中版），2022（21）：70-72.

[3] 李莉.“圆的性质”在高中数学解题中的应用[J].数理天地（高中版），2022（18）：10-11.

[4] 杨敬守.高中数学解题方法与技巧及相关问题研究[J].成才之路，2022（17）：126-128.

[5] 朱丽强.高中数学解题技巧之“数”“形”结合策略[J].数学大世界（中旬），2020（02）：18.

[6] 袁荣昕.高中数学解题技巧与方法的学习心得[J].天天爱科学（教育前沿），2019（03）：117.

［責任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：李雪梅（1988.2-），女，安徽省亳州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.