图像表征，从“抽象”走向“形象”

江苏省常州市新北区春江中心小学 王 红

表征是认知心理研究领域中的一个核心概念。“一般地，表征是指可反复指代某一事物的任何符号或符号集，它可以用某一种形式将一种事、物、想法、知识重新表现出来。”在教学中，我们常用的数学表征有图像表征、动作表征、符号表征等。“图像表征是学生运用已有经验，将脑中‘心里图画’用示意图、草图等图式形式表现出来，是对动手操作的纠正、补充、细化和深化，是对数学理解有意义的心智活动。”而小学生因年龄因素，其心智发展还不成熟，在数学学习的过程中较为抽象的知识对他们来说理解较为困难。图像表征则是小学数学教学的重要路径，借助图像表征可以帮助学生理解概念、厘清算理算法、优化策略等，是学生理解数学知识的重要方式。学生可以借助图像，用直观的形式帮助理解，图像表征让数学知识从“抽象”走向“形象”。

一、图像表征助力题意解析

在数学学习中，正确理解题意是解决问题的基础，学生需要从文字中获取信息、分析信息，然后处理信息。学生在解决问题的过程中出错或者找不到解题思路，多是因为其对题意的理解不到位，不能准确获取所需信息或分析信息。此时，学生如果能借助图像表征把复杂的题目用图像直观形象地表现出来，就会有较为清晰的解题思路。苏霍姆林斯基曾说，如果哪个孩子学会画应用题，可以有根据地说，他一定能学会解应用题。由此可见，图像表征在帮助学生理解题意方面起到了不可或缺的作用。例如，教学苏教版数学六年级上册的“解决问题的策略——转化”的例2 时，教师可以引导学生借助图像来表示大盒和小盒内球的数量关系，从而顺利解决问题。

【教学片段1】

出示例题：在1 个大盒和5 个同样的小盒里装满球，正好是80 个。大盒比每个小盒多装8 个，大盒里装了多少个球？每个小盒呢？

师：经过昨天例1 的学习，你有什么想法吗？能说说你的解题思路吗？

生：可以依据大、小两个盒子容量之间的关系把两种盒子假设成同一种盒子，再计算。

师：嗯，看来你已经学会举一反三了，那请同学们试一试吧。

出示学习要求：

①先自行在导学单上画一画，再独立解答；

②小组交流，组长组织交流，统计方法；

③全班交流。

呈现学生资源。（图略）

该例题是一个稍复杂的实际问题，两种大小不同的盒子且不满足平均分，面对这类纯文字的描述且数量关系复杂的题目，部分学生无法厘清题中的关系并选择正确的数量关系解题。此时带领学生回顾例1 的学习，引导其想到可以把两个不同的量依据两者之间的关系假设成同一种量，再借助图像来分析题目，不管是盒子图还是示意图学生都能准确地在图中表示题意。借助图像的直观性，大多数学生都能找到正确的数量关系解题。

小学生对较为抽象的问题不能快速反应，需要教师提供一定的辅助。图像表征就可以发挥其作用，能够帮助学生更好地理解题意、厘清关系。图像表征在学生的学习过程中应用也比较广泛，如解决长方体和正方体的实际问题、行程问题中的相遇问题、追及问题等都可以借助图像表征帮助学生理解，让数学题目从“抽象”走向“形象。”

二、图像表征助力算理掌握

小学阶段，计算能力是数学学习的基础。而数学算式是数学问题的高度概括，是抽象化、形式化、符号化的语言，体现了简洁美。算式作为一种符号语言是较为抽象的，在教学中如果只是让学生掌握算法而不理解算理是不恰当的，教师要让学生不仅知其然更要知其所以然，所以算理的掌握尤为重要。有效运用图像表征，把算式转化为图像，可让学生在图像中理解算理、掌握算理。例如，苏教版数学六年级上册的“分数除法”，分数本身就较为抽象，且学生在平时的生活中较少运用分数，所以分数的计算学生学习时就有难度。算法的应用大多数学生都能掌握，但是分数除法的算理理解却不尽然，因此，在教学时可以借助图像让学生充分体验、表达，从而掌握算理。

【教学片段2】

师：你能根据数量关系列式吗？

高速公路桥梁是主要的承载结构部分，必须要根据地形条件来确定结构形式，综合比较各个方面之后才能最终确定，要保证其安全性和稳定性。

生3：为什么只需要分子除以2，而分母不除以2 呢？

生2：可以用第一位同学的方法验证，结果是正确的。

师：看来同学们都很会思考，为什么在计算分数除以整数的时候只要分子除以整数，而分母不用除以整数呢？你们能画个图来表示这个算式吗？

学生尝试画图，有些学生画圆，也有些学生画长方形或者正方形，先画出图形的，再把图形的平均分成两份，每1 份则是图形的。（见图1）

图1

师：你真会举一反三，把分数除法和已经学过的分数乘法联系起来了。

生画图。（见图2）

图2

师（小结）：分数除以整数等于分数乘这个整数的倒数。

在上述教学片段中呈现的是一个较为简单的教学情境，学生都能在理解数量关系的基础上列式，而掌握分数除以整数的算理与算法是本节课的重点。本节课中把算式转化为图形，更加直观形象地帮助学生理解了分数除以整数。在教学时，学生能从分数的意义出发，也能借助图形理解的意义，并且借助图形勾连了分数除法与分数乘法，初步感知到可以把分数除法转化为分数乘法来计算。在探究的过程中，教师引导学生再次借助图形加以巩固理解，并在此过程中优化了分数除以整数的计算方法。学生经历了把抽象的算式转化为形象的图形的过程，加深了对计算算理和算法的理解。

计算方法的掌握可以依靠练习，但算理的掌握才是计算教学的本质，算理相较于算法更加抽象，教师若能借助形象的图像帮助学生理解，相信能让算理从“抽象”走向“形象”。

三、图像表征助力策略内化

华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中，数和形是两个非常重要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化、相互渗透。在某种意义上，这里的“形”也是图像表征的一种。例如，教学苏教版数学五年级下册的“解决问题的策略——转化”时，教师引导学生从数与计算的角度体会转化策略的应用过程和特点。学生在解决问题的过程中，初步领会转化的过程和特点，体会转化的作用，进一步增强解决问题的策略意识。课堂上，教师引导学生计算一组分数的和，运用转化策略把较复杂的计算转化成简单计算，为了便于学生更加直观地理解，设计了以下三次图像表征活动。

【教学片段3】

交流算式特征（每个加数分子都是1，后一个加数的分母是前一个加数分母的两倍；后一个加数的大小是前一个加数的一半）。

学生上台展示自己的方法（通分、化小数、画图）。

师（评价）：有的同学能想到画图的方法真是与众不同，在平时的学习中我们就发现借助图形可以使一些信息更直观。

学生画图、交流。

学生借助图形（见图3）讲解思考过程：把图形平均分， 就是整个图形的一半， 就是剩下图形的一半，依次类推，剩下的那部分就是，只要用单位1 减去就是最后的结果。

图3

师（评价）：听了你的讲解真是让人豁然开朗，除了可以画正方形，还可以画其他图形来表示这个算式吗？

生：还可以画线段图，更加简便。

师：你给了同学们一个很好的启发，每位同学选择一个自己喜欢的图形来表示这个算式，再算一算，并和你的同桌说说你是怎么画的、怎么想的。

学生交流。

小结规律：从图形中可以看出最后剩下的一部分与最后一个分数所表示的大小相同，所以可以把这个复杂的算式转化成，借助图形更有助于我们理解。

小结：有些复杂的算式可以转化成简单的算式，借助图形还能帮我们找到转化的方法，使计算更加简便。

此次教学在初步感悟中让学生用不同方法解决问题，初步感知用画图的方法也可以解决这类问题，并且在对比的过程中感受通分和化小数方法的不足，优化画图的方法。巩固应用中又让每个学生尝试用画图的方法解决，将图像与算式中每一个分数勾连，通过直观的图像，可以将复杂的算式转化成简单的算式，找出其中的计算规律，更加有助于学生计算和理解。除了动笔画图，动脑想图也是图像表征的一种形式，动脑想图就是在脑子里画图，这种方式不仅提高了学生解决问题的效率，还促进了学生思维能力的提升。在拓展提升中让学生借助脑中的图像再次解决问题，是学生对规律、方法的再次巩固与内化。通过这一系列图像表征活动，找出其中所蕴含的规律，把复杂的算式通过图像转化成简单的算式，学生经历了从抽象到形象的过程，进行了深层次的思考，形成了深刻的、个性化的认识并丰富了体验，进一步加深了对转化策略的理解。

图像表征是小学数学教学中的一种重要方法，把抽象难懂的数学概念、算理算法、策略等与直观形象的图像相结合，使复杂问题简单化、抽象问题形象化，从而帮助学生理解数学知识，促进学生在数学上的发展，为今后的数学学习奠基。