多边形的内角和与外角和的应用

郭健 刘丹丹

例题呈现

例1 如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC两边上的点.

研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系为___________.

研究（2）：折成如图2所示的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系.

研究（3）：折成如图3所示的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由.

解析：研究（1）：解翻折问题，要从图形中找相等的量. DE为折痕，则∠A = ∠DA′A，利用三角形的外角定理可得∠BDA′ = 2∠A，故填∠BDA' = 2∠A.

研究（2）：如图2，∠A与∠A′是相等的，结合四边形ADA′E的内角和为360°，∠BDA′ + ∠ADA′ = 180°，∠CEA′ + ∠A′EA = 180°，可得∠BDA′ + ∠CEA′ = 2∠A.

研究（3）：如图3，由折叠可知∠A与∠A′相等，设DA′交AC于点F，运用三角形外角定理可得∠BDA′ = ∠A + ∠DFA，∠DFA = ∠A′ + ∠CEA′，可得∠BDA′ - ∠CEA′ =    2∠A.

规律：折叠中有对应角相等. 同学们在解决折叠问题时要运用一些技巧，如“将已知角放在相应三角形中”，“顺逆推、反复用”三角形内角和定理及外角定理.

例2 如图4，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图4的图形稱为“8字形”. 如图5，在图4的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N. 试解答下列问题：（1）在图4中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：___________；（2）仔细观察，在图5中“8字形”的个数：___________个；（3）在图5中，当∠D = 50°，∠B = 40°时，求∠P的度数；（4）在图5中，∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试求∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系. （直接写出结果，不必证明. ）

解析：（1）∠A + ∠D = ∠C + ∠B. （2）6. （3）易得∠DAP + ∠D = ∠P + ∠DCP①，∠PCB + ∠B = ∠PAB + ∠P②，根据角平分线的定义，可得∠DAP = ∠PAB，∠DCP = ∠PCB，① + ②，可得2∠P = ∠D + ∠B，则∠P = 45°. （4）同（3）易得2∠P = ∠D + ∠B.

规律：遇到“两条直线相交”，常可构造或转化为“8字形”. 在图4中必有∠A + ∠D = ∠C + ∠B，在图5中必有∠P = [1/2] （∠D + ∠B）.

拓展变式

例3 探究与发现：

（1）如图6①，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD. 若∠A = 70°，则∠P =___________. 若∠A = α，用含有α的式子表示∠P为___________.

（2）如图6②，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A + ∠B的数量关系，并说明理由.

（3）如图6③，在六边形ABCDEF中，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A + ∠B + ∠E + ∠F的数量关系：___________.

解析：（1）由∠A = 70°，可得∠ADC + ∠ACD = 110°，则∠P = 180° - （∠PDC + ∠PCD） = 180° - 1/2×110° = 125°；同理，当∠A = α时，∠P = 90° + [1/2]α. （2）由∠PDC = [1/2]∠ADC，∠PCD = [12]∠BCD，∠ADC + ∠BCD = 360° - ∠A - ∠B，易得∠P = [1/2]（∠A + ∠B）.（3）∠P = [1/2]（∠A + ∠B + ∠E + ∠F） - 180°.

规律：求解多边形问题，可类比三角形问题的探究方法.

分层作业

难度系数：★★★★解题时间：15分钟

如图7，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F =___________°. 如果把图7称为二环三角形，它的内角和为∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F；图8称为二环四边形，它的内角和为∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H，则二环四边形的内角和为___________°；二环五边形的内角和为___________°；二环n边形的内角和为___________°.

〔作者单位：辽宁省实验中学（初中部）〕

答案

360 720 1080 [360（n - 2）]