基于问题串的代数推理教学实践——以苏科版数学九（上）“一元二次方程的根与系数的关系”为例

■谢蓓蓓

一、教学目标

经历探索一元二次方程的根与系数关系的过程，了解一元二次方程的根与系数的关系；初步运用一元二次方程的根与系数的关系解决简单的问题；在观察、实验、猜想、归纳、证明的过程中，感悟由特殊到一般、类比、分类讨论等数学思想，积累代数推理的经验。

二、教学重难点

重点：经历探索一元二次方程的根与系数关系的过程，加深对一元二次方程及其根的认识。难点：通过思考、交流等活动，感悟数学思想，积累代数推理的经验。

三、教学过程

1.提出问题，明确目标

问题1 由方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根由系数a、b、c决定，反映了根与系数之间有着紧密的联系。一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他的表现方式吗？你是怎么研究这个问题的？

设计意图：教师提出问题，明确本节课的研究内容，引导学生利用已有的经验进行观察和思考。

2.合情推理，发现结论

问题2 请同学们尝试写出一些不同类型的一元二次方程的一般形式，求出x1、x2，并观察两根之间的关系和a、b、c之间有何联系？写出你的猜想。

教师在此环节需要留出足够的时间让学生自主探索。学生可能有以下生成：①x2=0；②x2-4=0；③x2+x=0；④x2-2x=0；⑤x2-8x+15=0；⑥x2-2x-1=0；⑦2x2-5x+3=0；⑧2x2-4x-1=0等。

追问1：你可以用什么方式更清楚地呈现它们之间的关系？

追问2：观察方程中的x1+x2和x1x2的运算结果，与之前的猜想有什么不同？你认为产生偏差的原因是什么？你能改进之前的猜想吗？

追问3：新的猜想对前6 个一元二次方程还成立吗？对其他的一元二次方程也成立吗？

设计意图：一个严格的推理过程一般应包括从合情推理到演绎推理的全过程，但是以苏科版数学九（上）教材为例，这一闭环并未形成。教材中直接呈现5 个具体的方程，让学生分别写出方程的两根、两根之和、两根之积。这样的方式跳过了演绎推理的过程，学生直接通过具体的数值得到定理，失去了探索的价值。

学生描述自己思考和猜想的过程可能是杂乱无章的，因此，教师可以通过追问1，引导学生利用表格从无序走向有序，让思维可视化。

学生在观察①②③④⑤⑥时，根据a=1容易产生x1+x2=-b和x1x2=c的猜想，因此，教师可暂时保留学生猜想，让学生继续探索⑦⑧两式，得到⑦中⑧中，从而证明上述猜想并不成立，启发学生的深度思考。

通过追问2，学生比较⑦⑧中x1+x2和x1x2的运算结果和之前得到的猜想，易发现运算结果中多出了分母2。再观察①②③④⑤⑥和⑦⑧的区别，进而得到新的猜想：

噪声的种类分为机械噪声与气动噪声，机械噪声的解决办法一般为提高轴承等零部件位置之间的运转精度，及时更换损坏的轴承，添加润滑油，紧固连接螺栓，以及增加对设备的维修保养次数等方法.

追问3的提出，一方面让学生意识到之前错误猜想产生的原因，另一方面也让学生的推理更具有严谨性，形成思考的闭环。学生的举例是有限的，此时教师可以利用几何画板等信息技术手段，让a、b、c不断变化，举出更多的例子。此时学生可以直观地发现，在误差允许的范围内，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2，存在以下关系

3.演绎推理，证明结论

问题3我们发现一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2存在以下关系：x1+你能证明这个结论吗？

追问4：这个问题的条件是什么？结论是什么？由条件和结论你能想到什么？说说你的想法。

追问5：你能写出证明的过程吗？

设计意图：这是本节课的第二个重要环节。教师引导学生从感性走向理性，从猜想走向证明，从合情推理走向演绎推理。利用追问4，教师帮助学生审清题意，紧扣条件和结论，引导学生产生尽可能多的联想，感受代数推理和几何推理的共通性。类比合情推理时通过计算得到结果的方法，大多数学生会利用求根公式求出x1、x2，再计算x1+x2和x1x2，从而得到结论，此为想法（1）。由上节课“一元二次方程的解法——因式分解法”的知识可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 可以写为a（x-x1）（x-x2）=0的形式。再将a（x-x1）（x-x2）=0 变形为ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0，通过与原方程各项系数对比得到结论，此法记为想法（2）。由条件知，x1、x2均满足一元二次方程ax2+bx+c=0，故想到将根代入原方程，得到方程组观察结论，根据x1+x2和x1x2的式结构，学生容易联想到完全平方公式或者平方差公式，进而将方程组中①和②相加或相减，再进行等式变形得到结论，此为想法（3）。

如果学生想不到后两种方法，教师可继续追问“上节课我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0 可以写为a（x-x1）（x-x2）=0 的形式，你还有什么新的思路”以及“根据方程根的意义，得到和能否进一步得到根与系数的关系”，以此引导学生从不同角度进行思考，培养思维的灵活性、多样性。

4.跟进练习，及时反馈

练习1若x1、x2是下列方程的两根，请求出x1+x2以及x1x2的值。

练习2若方程x2-mx-2=0 的一个根为1，求另一个根和m的值。

设计意图：通过课堂练习及时反馈学生的学习效果。练习1 中的（1）（2）可以直接利用本节课知识求解，（3）则需要先转化为一般形式后才可以求解，这也是学生的易错点；练习2 中求m的值和另一根时，既可以利用本节课知识，也可以将m的值进行代入，再解方程。通过对比两种方法，学生能够感受到解题的多样性，体会如何优化方法。

5.回顾反思，文化渗透

问题4回顾本节课知识，你有哪些收获？

追问6：一元二次方程的根与系数的关系是什么？应用一元二次方程的根与系数的关系时要注意什么问题？本节课你学到了代数推理的哪些方法？

追问7：你还有什么疑惑？

设计意图：学生通过回顾本节课的内容，把握本节课的核心，体验数学活动过程的探索性，发展自身归纳和概括能力。学生可能会提出疑惑：如果一元二次方程没有实数根，那么根与系数的关系是不是就不存在了呢？教师此时可向学生介绍韦达定理，引导学生在课后阅读韦达定理的相关内容，感受其对代数学的巨大贡献，增强学科育人的价值。

四、教学反思

1.多种方式呈现，让代数推理变得直观

数学课堂是学生思维生长的场所。本节课一开始就以问题1为主线，引导学生借鉴以往的学习经验进行思考，让学生从特殊情况入手。在课堂教学过程中，学生所举的例子以及书写的方式是杂乱无章的，而教师则需要通过问题串的设置，引入表格，让学生的描述更加规范，让学生的思维可视化。同时，借助信息技术手段，使得运算结果得以以动态的形式直观呈现，给学生以视觉冲击，最终引导学生归纳并得到结论。

2.多种角度探索，让代数推理变得广阔

从活动经验看，学生可以从特殊情况入手，进行合情推理，发现结论，再利用演绎推理证明结论；从学习经验看，学生比较容易得到运算后的结论，但是比较缺乏等式变形的经验。通过问题3中的问题串，教师引导学生关注条件和结论、式子的结构、变形的依据，从因式分解法解一元二次方程、方程根的意义、乘法公式等角度进行等式变形，让条件与结论逐渐靠拢；从不同角度发展学生代数推理的能力，培养思维的灵活性、多样性与广阔性。

3.多种思想碰撞，让代数推理变得丰满

数学思想方法是数学的本质，是形成数学思维能力的必要因素。知识的积累固然重要，但是思想方法才是数学的内在体现。通过问题串，教师引导学生从字母到数字，再从数字到字母，体会特殊与一般的关系，增强学生的符号意识，培养学生的抽象能力。与教材平铺直叙不同的是，问题2、问题3 以及追问能够帮助学生经历数学结论的发现、论证的过程，让学生能够更有条理、更有逻辑地表达其思维过程，感悟数学的严谨性，体会代数和几何推理的共通性，培养理性精神，发展核心素养。