摆线：从数学之美到室内设计之灵

顾 骏

1 摆线原理与曲面造型物应用难点

一个圆沿一条直线缓慢滚动，则圆上固定一点所经过的轨迹被称为摆线，其原理图如图1 所示。摆线又称最速降线，在中国古建筑屋脊中就有其影子（图2），展现了古代建筑师对美妙曲线的巧妙运用[1]。另外，东北冰雪文化中的速降滑道也是1 种摆线。这些图形均能通过严谨的数学公式来呈现完美的造型曲线，体现了数学与美学的完美结合[2]。

图1 摆线原理图（来源：作者自绘）

图2 屋脊线摆线（来源：网络）

著名的最速降线问题被瑞士数学家约翰伯努利于1696 年解决。该问题涉及一个球从斜面顶端滚动到最低点的轨迹问题，即支撑球滚动的轨道应为怎样的形状，才能让球以最快的速度到达底部速降线示意图，如图3 所示。经过多位数学家的共同努力，最终证明了圆形并非最速降线，在不考虑摩擦力的情况下，最速降线是摆线，而摆线也是数学层面最完美的曲线之一。

图3 速降线示意图（来源：作者自绘）

世界知名建筑大师扎哈·哈迪德曾说过：“没有曲线就没有未来。”这句话充分表达了曲线在建筑设计中的重要性。随着现代主义和解构主义的出现，越来越多的设计师开始尝试利用曲线来打破传统的平直造型，让整个空间更加富有动感和艺术感。除了美学价值，曲面造型物也具备较高的功能性。

例如，在声学设计上，采用曲面造型物可以缓解声波反射和回声，提高音效质量。在曲面造型物的应用中，最为困难的和科技是制作工艺。大多数曲面造型物都需要采用高精度的数控加工设备进行制作，制作难度和成本也相对较高。随着时代和科技的进步，目前可将数字化技术和传统工艺相结合，探索各种可能的创新方法。

在曲面造型物的设计过程中，除了需要深入了解其结构力学原理，还要在曲线设计中充分考虑材料的选择，以及相关的制作工艺，以保证结构的稳定性和安全性。同时，需要特别注意与人体的比例关系，避免出现过于夸张或不自然的造型。如果曲面造型物可以分解成为数学公式进行计算，这样不仅可以解决造型美观性的问题，还能为实际制作工艺提供更为便捷、可控的操作方法。通过将设计方法可计算化，能够让整个设计过程更加科学与合理，并且能够使每一个细节都得到了精细的推敲和考虑。

2 案例分析—东北某银行大堂云屏

在东北某银行大堂的云屏设计中，核心部分就是摆线的应用。这座建筑原是省内某机关的办公楼，后来被东北某银行购入并改建成总行大楼。大堂规模巨大，长宽均达40 m，高度为20 m，由4 根立柱支撑，空间十分宏大，极具震撼力。

2.1 概念设计

设计不能流于表面，要具有永恒感，不能仅用装饰的手法。装饰不仅与艺术有关，与材料和氛围的联系更为密切，很难产生永恒感。在一般的室内设计过程中，往往会有许多不同的设计方案，最终采用的方案取决于评判者的品位和眼光。

东北某银行在大堂设计中并未将大堂内部6 个面的刻画放在首位，而是在大厅的中央构建出具有自生成逻辑，并且能够反映力学结构合理性的装置物，这样更能体现其自身存在的意义与价值。

以此装置物为主体，将室内6 个面的装修设计作为第二层次的设计辅体，围绕主体展开。主体和辅体相互衬托与呼应，最终形成一个整体。这也是创造室内空间时经常采用的一种方法，使得设计更具有主次之分，能够为室内空间带来更丰富的层次感，既符合庄重氛围空间场景的需求，又创造出具有永恒感的场景。

最终方案决定在大堂的中央以吊装的形式植入一个能夺人眼球又具有科技感的电子屏，该屏被称为云屏。云屏既在空间中占据合适的比例，又给人以非常轻盈的感觉，而轻盈感往往可以使人联想到科技感。

2.2 建立数学模型

根据空间尺度确定云屏的直径，并以此为起始尺寸，利用最小作用量原理打造屏幕结构。将云屏的剖面设计成摆线的一部分，然后将其旋转形成单叶双曲面的形状，如图4 所示。结合实际施工工艺，如果双曲面线中的每根法线都为曲线，那么无论是施工难度还是受力状况，都将面对非常大的挑战。

线性最优控制下跟踪电流波形对比如图7所示。注入到变压器二次侧的电流紧跟随流过变压器一次侧的系统电流变化，因此满足磁通补偿的条件，此时，接入系统中所呈现的阻抗仅为变压器一次侧阻抗，不影响系统的正常工作。

图4 云屏生成原理分析图（来源：作者自绘）

2.3 设计计算过程

利用摆线和单叶双曲面的数学性质，构建一个直线交错的稳定造型物，既美观又轻盈，符合受力合理性，展现了数学与建筑的完美结合。在此项设计中，运用微积分来计算它的表面积、重量和受力情况，证明其科技感和地域文化内涵。

双曲面是一种二次曲面，可以用公式表达：

单叶双曲面在x0z平面上为双曲线，方程式为：

由此得到双曲线的渐近线方程：

在MATLAB 中画出计算好的单叶双曲面：

云屏双曲渐近线如图5 所示。从图5 中可以看到，设计点在双曲面上，验证了计算结果的正确性。

图5 云屏双曲渐近线（来源：作者自绘）

2.4 数据分析

通过上述计算过程可得到云屏各部件的数据，如上方固定环、下方固定环和单根构件等。通过严谨的数学公式，可推导出最终的云屏表面积为112 m2，其中纯显示部分为97 m2。与传统钢结构骨架吊装发光二极管（Light Emitting Diode，LED）透明屏幕相比，云屏具有更合理完善的固定结构、更大的显示面积以及更完美的造型感，无论是否显示内容，都将是大堂的视觉焦点。

2.5 制作工艺研究

运用LED 透明屏的模块化组件，并结合参数化造型构件使云屏拥有更大的显示面积。运用点阵显示的透明屏技术，即使在非显示时间段，屏幕本体也不再是黑色面板，具有极强的雕塑感[4]。

2.5.2 材料运用

基于整个设计的数字化特性，选用碳纤维3D 打印的方式制作云屏支架是一个顺理成章的选择。这种制造方式可以根据屏幕线束的需求进行深化设计，预留相应穿线孔洞，方便表面屏幕的安装。碳纤维是最佳的轻量化材料，它可以在保证结构稳定性的前提下减轻云屏对原土建结构的负担。

2.5.3 重量计算方面

根据云屏各部位的材质及屏幕的单位重量计算出云屏的总重量。与传统纯钢结构造型相比，采用碳纤维3D打印的云屏支架不仅在结构稳定性上表现出色，而且极大减轻了云屏的总重量，降低了对原建筑的新增荷载压力。这种轻量化的设计方法能够产生轻盈完美的视觉效果。大堂正面效果图如图6 所示。

图6 大堂正面效果图（来源：作者自绘）

3 未来发展趋势

随着计算机技术的进步以及人工智能的飞速发展，设计中的创新手法也日益丰富，引入了参数化算法和模拟软件插件，使建筑室内设计能够更精准地模拟自然和生物的形态。借助ChatGPT-4 的自然语言处理能力，从语言逻辑的角度分析建筑与室内的问题。通过实际应用，并通过Stable Diffusion和Midjourney 等软件可以生成各种可能的设计场景，包括建筑室内设计方案。在人工智能时代，设计就是决策，只要有更多的参数，就会产生更多的类型和迭代的可能性。因此，要通过算法学习和比较对无限的造型进行迭代。在今后的方案中应以大自然为灵感，利用计算机技术加速方案优化的过程，提升建筑室内设计的品质。

4 结语

云屏是一种利用云计算技术和网络技术实现远程控制和显示的智能终端设备，它可以提供身临其境的视觉体验和极为直观的沟通效果[5]。

在云屏设计中充分利用微积分的概念，对曲线造型物的形态进行量化分析，从而优化了设计方案和制作工艺。同时，最小量作用原理，可以帮助设计师在尽可能节省材料的情况下，实现最佳的空间造型，使得整个设计过程更科学，为最后的施工提供了可靠技术依据。采用这种方式不仅提高了室内设计的技术含量，还可以使设计更加精确和高效。

通过此次尝试，相信可以在未来的设计中，更加深入地运用数学知识和科学方法，从而创造出更具实用性和美感的建筑空间。