“胡不归”最值模型及其应用

杨婕　汤琼

摘要：在历年中考真题中，中考压轴题中常与图象结合起来进行考查“胡不归”最值问题.学生遇到此类题型往往不知从何下手，存在畏难心理，甚至直接放弃该题.本文以四道中考数学真题为例，从四边形、圓、抛物线等角度深入剖析“胡不归”问题在考试中的形式，以发展学生的模型思维，激发学生对建模的兴趣，从而提升学生的数学核心素养.

关键词：中考压轴题；“胡不归”最值模型；垂线段最短

“胡不归”是近年中考压轴题的热点.此类问题综合性强、隐含性低、解法灵活，在解题时需要涉及动点、最值、三角函数等知识点，因此在辅助线的构造及学生的运算能力上要求较高，在初中阶段是一个较难解决的问题［1］.本文将结合“胡不归”原型的特点进行归纳分析，并从四边形、圆、抛物线等三个方面对“两定一动型”最值问题分别讨论，将数学模型一般化，提高学生对数学建模的兴趣，为学生提供一个好的解题思路，培养学生的数学核心素养.

1“胡不归”问题

“胡不归”故事背景：曾有一位年轻学徒在外打拼.一日他得到老父亲病危的消息，便立刻启程返回家中.他一心只想尽快返回故乡，于是选择了一条全是沙砾地带的直线路径A→B（如图1）.很明显，他没有考虑到折线路径A→D→B的存在，即使它的路程更长，但速度更快.最终，当他气喘吁吁地赶到家门口时，却发现老人已经离开了人世，他感到懊悔不已，痛哭流涕.后来他才知道老人在临终前还喃喃自语着“胡不归？胡不归？”［1］.这让他倍感悲痛和内疚.

2用数学语言表达“胡不归”模型

3中考再现

4总结

初中数学中考试题和模拟试题所含的“胡不归”题型中，千变万化的题目里依然包含着“不变”的因素［3］.在求解时，要首先确定问题结论的最小值是否满足“abAD＋DB”的形式，然后确定问题中满足条件的三个关键点是否为“两定一动”，且动点是在直线上运动，符合这些条件，就基本满足“胡不归”模型的特征［4］，便可以化折为直，运用“垂线段最短”解决线段最值问题.有时动点的运动路径比较隐蔽，需要学生运用化归、数形结合、建模思想等思想方法解决数学问题，抓住问题的核心，从而将难题简单化，做出正确的判断.参考文献：

［1］ 吴守江.第17讲“胡不归”问题［J］.中学数学教学参考，2022（8）：3438.

［2］ 施宇彬.加权线段和的最值问题——最值之“胡不归模型”［J］.数学学习与研究，2020（15）：151152.

［3］ 康雯，马佳.聚焦模型思想发展核心素养——对中考压轴题“胡不归”模型的思考［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2021（12）：4143.

［4］ 黄道全.例说“胡不归”模型的运用［J］.中学生数学，2022（4）：14-17.