螺杆泵采油杆柱受径向力激励的横向振动

董子龙 董世民 具自强

摘要：桿柱横向振动是螺杆泵采油系统杆管失效的主要原因，研究杆柱匀速自转时液体径向力对杆柱横向振动规律的影响，通过仿真拟合方法得到液体径向力的数学模型并探讨径向力和公转离心力对杆柱作用规律；建立杆柱横向振动的仿真模型，其中液体径向力和由于杆柱偏心旋转离心力为横向激励，研究液体径向力对杆柱横向振动规律的影响；利用数值方法对振动微分方程求解。结果表明：液体径向力的方向变化和偏心率有关且存在使径向力方向转换的临界偏心率，考虑径向力时杆管间碰撞力增大，碰撞次数增多，杆管首次发生碰撞时间缩短，杆柱波动性更大，碰撞力最值出现在杆柱底端和中部附近；杆柱工作时间越长其整体振动越明显，形状越不规则。

关键词：螺杆泵； 采油杆柱； 自转与公转； 液体径向力； 横向振动

中图分类号：TH 322 文献标志码：A

引用格式：董子龙，董世民，具自强.螺杆泵采油杆柱受径向力激励的横向振动［J］.中国石油大学学报（自然科学版），2023，47（1）：156-163.

DONG Zilong， DONG Shimin， JU Ziqiang. Transverse vibration driven by radial force of sucker rod string in  screw pump production system［J］. Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science）， 2023，47（1）：156-163.

Transverse vibration driven by radial force of sucker rod

string in screw pump production system

DONG Zilong， DONG Shimin， JU Ziqiang

（School of Mechanical Engineering， Yanshan University， Qinhuangdao  066004， China）

Abstract： The transverse vibration of a rod was the main cause of failure in the screw pump production system. The influence of liquid radial force on the transverse vibration law of rod was studied when the rod rotates at a uniform speed. The mathematical model of liquid radial force was obtained by the simulation fitting method， and the action law of radial force and rotational centrifugal force on the rod was studied. Then a simulation model on the transverse vibration of the column was established， in which the liquid radial force and the centrifugal force due to eccentric rotation of the column were transverse excitations， and the influence of the liquid radial force on the transverse vibration law of the column was studied. The differential vibration equation was solved by the numerical method. The results show that the direction change of the liquid radial force is related to the eccentricity and there is a critical eccentricity value to convert the direction of the radial force. When the radial force is considered， the collision force between the rod and the tube increases， the number of collisions increases， the time of the first collision between the rod and the tube is shortened， and the volatility of rod column is larger. The maximum value of the collision force appears near the bottom and the middle of the rod column. The longer the working time of the rod， the more obvious the overall vibration and the more irregular the shape.

Keywords： screw pump; production rod string; rotation and revolution; liquid radial force; transverse vibration

随着地面驱动螺杆泵采油系统在油田开采中的推广和使用，出现了杆管失效现象，从而增加检泵的次数，降低油田产量^［1］。采油杆柱长径比较大，位于环空流场中传递扭矩，受环空流场横向作用力时易发生弯曲变形。客进友^［2］对偏心环空中Cross流体的运动规律进行了研究；Noriyasu等^［3-4］对偏心环空中螺旋流的压力分布进行了研究；Kazakia等^［5］在不考虑惯性力影响下研究Newton流体在内杆做行星运动时的流动解析解；庞博学等^［6-7］对内杆在偏心环空流场中做行星运动时的流场特性进行仿真，研究采油杆柱受到流场作用的液体径向力和切向力，但并未推导力的数学模型及做深入研究。肖文生等^［8-10］用动力学理论研究钻柱内、外钻井液、钻压和转速等因素对钻柱横向振动的影响，其中外钻井液对钻柱的动压力分解为指向偏心距方向的径向力和垂直于偏心距的切向力，并在此基础上建模和求解了钻柱涡动规律。吴志坚等^［11-12］完善了杆柱弯曲动力学模型的工作条件并研究采油杆柱的动力学特性但是并未考虑井内油液对采油杆柱的径向力作用。关于螺杆泵采油杆柱在匀速自转运动状态下包括杆柱底端的偏心运动与交变流体力的共同激励时的横向振动规律的研究未见报道。笔者建立杆柱横向振动的仿真模型，研究液体径向力对杆柱横向振动规律的影响，利用数值方法对振动微分方程求解。

1 螺杆泵转子及杆柱运动规律

1.1 螺杆泵转子运动原理

根据螺杆泵定转子的成型理论^［13］和转子的运动规律，可以得出：

（1）以圆柱螺旋线半径e为半径，O₂点为圆心的动中心圆，该动中心圆将用于研究螺杆泵定转子的运动规律。

（2）定中心圆在O₁yz平面内以定子平面中心O₁为圆心，2e为半径。

根据定转子啮合原理可得螺杆泵工作时定转子的运动规律为O₁yz平面内动中心圆在定中心圆内做纯滚动，即行星运动，如图1所示。

动中心圆心O₂的运动方程为

式中，u和v分别为圆心O₂在y和z方向运动位移，m;ω为角速度，rad/s;t为时间，s。

1.2 采油杆柱的横向运动

杆柱底端与螺杆泵转子相连，底端圆心O₃与动中心圆心O₂轴向重合，油管底端中心O与定中心圆心O₁轴向重合，所以杆柱底端面实际运动为绕着油管圆心O做行星运动。

采油杆柱在驱动扭矩作用下工作时，会受到两个主要的横向力，即液体径向力和杆柱偏心运动产生的离心力。除去上下边界整杆在油管做自转的同时由于偏心距存在和底端行星运动激励也做公转运动，横向力的交变性质使公转运动不规则。

2 基于仿真结果的径向力回归方程拟合

2.1 Fluent流场仿真的几何模型及仿真环境

设置正交试验组并利用Fluent软件仿真各种工

况下环空流场对采油杆柱的液体径向力，提取仿真结果并拟合出线性回归模型。流体选用牛顿流体，运动类型为层流运动，环空流场沿井深取1 m长度。

为简化仿真模型，假设：整杆以某偏心距做规则的行星运动，该偏心距与圆柱螺旋线半径e相同；油井为垂直井；采用二维模型进行仿真研究；流场初始静态绝对压力为0 Pa。

仿真设置时流场的外壁面运动状态为固定；流场内壁面运动状态为偏心距e的行星运动，其自转与公转角速度相同。

利用Fluent Flow模块中的动网格方法对流场运动规律进行仿真。选用四边形网格划分流场区域，在内壁面附近进行网格加密处理以提高仿真精度，设置30个仿真模型，各仿真模型的网格数在6577～7339，网格质量在0.70～1，平均网格质量在0.96～0.97，由此可知划分网格精度较高。

2.2 仿真试验方案确定及径向力回归模型建立

沿井深方向任意截面杆管中心位置关系用偏心率表示，求解示意图如图2所示。

偏心率e_c为

式中，l为任意截面杆管圆心之间的距离，mm；S为杆管间距，mm；D和d分别为油管和采油杆柱直径，mm。

原油密度为880 kg/m³，选取杆柱直径、偏心率、转速和原油黏度作为研究影响杆柱所受液体径向力的因素。

利用正交试验方法选用L16（4⁵）正交表設置仿真试验组，为提高线性回归方程拟合精度适当增加组数，然后进行工况仿真，结果如表1所示。

通过表1仿真结果建立液体径向力q_r线性回归数学模型，表示为

q_r=a₀+a₁d+a₂e+a₃n+a₄μ+a₅de+a₆dn+a₇dμ+a₈en+a₉eμ+a₁₀nμ+a₁₁d²+a₁₂e²+a₁₃n²+a₁₄μ².（3）

回归系数分别为a₀=36.8677、a₁=-1.0222、a₂=-73.1777、a₃=-0.0618、a₄=0.1405、a₅=0.9931、a₆=-9.5380×10^-4、a₇=-0.0038、a₈=-0.0298、a₉=-0.0406、a₁₀=-1.7941×10^-4、a₁₁=-0.0046、a₁₂=-4.1592、a₁₃=-4.0219×10^-5、a₁₄=1.8477×10^-4。

將试验仿真结果与对应拟合结果进行对比如图3所示，可得对应数值点基本吻合，所以采用线性回归方法拟合出的液体径向力曲线具有较高精度。

杆柱直径d、原油黏度μ、密度ρ和转速n取定值分别为28 mm、23 mPa·s、880 kg/m³和130 r/min，偏心率取0.35、0.55、0.75、0.95。

仿真结果如图4所示，不同偏心率下流场总压云图如图5所示。

由图4可知，采油杆柱所受液体径向力绝对值随偏心率增大呈现先减小后增大的趋势，且当偏心率达到0.8附近某一个临界值假设为e_c时，径向力方向发生变化。结合图5（a）和（b）得出在偏心率小于e_c时，径向力将推动杆柱向窄区域侧油管运动，增大杆管碰撞的趋势，此时径向力为负值；随着偏心率继续增大并超过e_c时，由图5（c）和（d）看出流场的高压区渐渐向窄区域侧杆管间隙移动，并最终导致径向力的方向发生改变，阻止杆管发生碰撞，此时径向力为正值，由此可以得到偏心率影响下环空流场液体径向力对采油杆柱横向振动的激励机制。

3 采油杆柱横向振动

3.1 采油杆柱横向振动力学模型

为便于计算，假设：油井为垂直井，采油杆柱为理想的弹性体；不考虑杆柱纵向与扭转振动对横向振动影响；设置井口为坐标系原点，沿着井深方向为x正方向；研究杆柱的平面横向振动，振动位移方向为y；杆柱各截面中心轴在同一平面内，且杆柱在此平面内作横向振动，采油杆柱为新杆；采油杆柱为单级杆。

研究采油杆柱在xOy平面中的横向振动规律，杆柱所受的径向力数学模型由式（3）给出。图6为杆柱和其上截取微元的受力示意图。

图6中，q为杆柱在环空流场中所受到的轴向力，q_e为杆柱所受离心力，ν?y/?tdx为杆柱所受流场黏滞阻尼力，p_V为螺杆泵作用于杆柱底端的轴向载荷。

3.2 采油杆柱横向振动数学模型

采油杆柱横向振动的微分方程为

式中，u（x，t）为杆柱在y方向上的振动位移，m；ρ（x）为采油杆柱材料密度，kg/m³；ν为单位长度采油杆柱液体黏滞阻尼系数，（N·s）/m²；L为采油杆柱长度，m；Q为采油杆柱微元截面剪切力，N/m²；M为采油杆柱微元截面弯矩，N·m；A（x）为采油杆柱横截面积，m²。

将弹性范围内杆柱变形时弯矩和挠度关系代入式（4）整理得采油杆柱振动微分方程为

式中，E为弹性模量，Pa；I为横截面对垂直于x和y轴且通过横截面形心轴的惯性矩，m⁴。

3.3 边界条件

上边界：杆柱上端连接光杆，光杆被轴套固定不能发生横向位移，所以杆柱上边界条件为固定边界。

下边界：采油杆柱底端做行星运动。

3.4 采油杆柱运动的初始条件和激励条件

采油杆柱横向运动初始条件数学模型为

其中

式中，x_i为杆柱在初始状态时除上下端点外杆柱某位置坐标，m；e_i为对应x_i位置的杆柱初始偏心距，m。

式中，y_i为杆柱任意位置横向位移。

采油杆柱所受离心力是横向振动的交变激励力，随着杆柱横向位移变化，离心力不断发生变化并进一步激励杆柱横向振动，除去上下边界任意位置的离心力为

式中，m_i为x_i处微元质量，kg；y_i为x_i处微元偏心距，m。

3.5 横向位移限制条件和碰撞力

针对杆管碰撞情况判断：①杆管是否发生碰撞；②若发生碰撞，碰后杆柱的位移和速度如何求解。第一个问题的判定式为

式中，r₀为杆管半径之差，m。

由式（9）得当该条件成立时杆管发生碰撞，碰后杆柱位移和速度求解为

式中，y′_i为碰前杆柱在x_i处的横向速度，m/s；′_i为碰后杆柱在x_i处的横向恢复速度，m/s；γ_i为碰撞恢复系数，当杆管均为钢材料时取0.56^［14］。

由于碰撞过程时间短且难以确定碰撞力瞬时值，所以当计算精度不高时，采用动量定理求解杆管碰撞平均力，采油杆柱和油管均为钢材料，碰撞时间τ取为0.03^［15］。碰撞力的平均值求解为

式中，F_i为對应x_i位置处碰撞力的平均值，N；S_i为对应平均碰撞力F_i的冲量，N·s；τ为碰撞时间，s；

y′_t+τ为杆管碰撞前杆柱横向速度，m/s； ′_t+τ为杆管碰撞后杆柱的横向速度，m/s。

4 横向振动方程数值求解

由于方程（5）为非线性振动微分方程，不能利用分离变量的方法求解，所以采用数值方法对杆柱横向振动微分方程进行分析和求解。利用差分法对杆柱长度进行离散化，利用NewMark-β法对仿真时间进行离散化。将单级杆柱长度L分为N段，N+1个节点，编号为1，2，3，…，N+1，步长为h，时间步长为Δt。

采用中心差分法将杆柱横向振动位移对x的一阶、二阶和四阶导数进行表示；利用NewMark-β法对仿真时间进行离散，离散化方程^［16］为

式中，γ和β为控制NewMark-β法积分精度参数，当两者满足γ≥0.5，β≥0.25（0.5+γ）²时，该方法无条件稳定。取γ=0.5，β=0.25，此时该算法不仅仿真精度高且稳定。

通过式（12）整理变形可得

式中，α₀、α₁、α₂、α₃、α₄和α₅都是由γ、β和Δt表示的中间量。

杆柱在t+Δt时刻的横向振动方程为

式中，M、C和K分别为杆柱振动系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；R_t+Δt为杆柱振动系统在t+Δt时刻外部作用力矩阵。

将式（12）和（13）代入式（14）可得

式中，为有效刚度矩阵；_t+Δt为有效载荷矩阵，包含杆柱所受到的离心力和液体径向力。

通过求解式（15）可以得到y_t+Δt，再结合式（13）可得_t+Δt和_t+Δt。

对方程（5）进行离散求解并结合式（9）和（10）可得到杆柱横向振动的运动规律。

5 仿真工程实例

5.1 仿真参数

仿真参数：杆柱直径为25 mm，杆柱长度L为1000 m；杆柱密度ρ为7800 kg/m³，杆柱弹性模量为209 GPa，杆管半径差为18.5 mm，油管内径为62 mm，阻尼系数为0.2 N·s/m²，转子偏心距为7.5 mm；采油杆柱转速n为120 r/min。

5.2 杆管碰撞力结果

仿真了杆柱在有无径向力作用下的横向振动工况（图7），由图7（a）和（b）看出：匀速自转工况下，由于横向激励的存在杆柱在有无径向力作用时均会与油管发生碰撞，且图（a）中整个杆管碰撞力明显比图（b）中碰撞力大。图7（a）中沿井深0～1000 m（除去上下边界）杆柱在较短的时间内与油管发生碰撞，碰撞力最大值发生在杆柱底端和中部附近。由图7（b）得知，无径向力作用时在0～9 s内杆柱在沿井深方向仅在靠近杆柱底端位置与油管发生碰撞，随后杆管沿整个井深方向发生剧烈碰撞，且碰撞力的最大值位于杆柱顶端位置；随后杆管碰撞力快速减小并最终在不同时刻杆管的碰撞力分布曲线形状趋于一致，且最大值位于杆柱底端位置。因此液体径向力对杆柱横向振动影响较大，分析中不可忽略。

5.3 横向振动规律

图8和图9为有无径向力作用时杆柱在不同井深处横向位移随时间的变化曲线。对比图8、9看出：相较于图9，图8中3个井深位置处采油杆柱横向位移都在较短的时间内达到限制位移，说明有径向力作用时杆管更容易发生碰撞；从图9看出在井深950 m处杆柱在初始时便开始发生剧烈振动，在另外两个井深处初始时刻杆柱振动位移幅值相对较小，体现了杆柱底端行星运动对杆柱横向振动的激励作用。

图10和图11为有无径向力作用时不同时刻整杆横向位移随井深的变化。对比图10、11可知：现有径向力作用的杆柱在油管中横向运动时波动性更大，振动更加频繁，运动轨迹也更加不规则，因此在这种工况下运行的杆柱对材料性能要求更高；从图10看出随时间变化杆柱的振动位移变化更加剧烈，也更加不稳定，所以有必要在振动剧烈位置安装扶正器。

6 结 论

（1）有径向力作用时沿井深0～1000 m杆柱与油管首次发生碰撞的时间大大缩短，碰撞次数明显增多，碰撞力也明显增大。

（2）径向力作用下杆柱随时间变化横向位移波动性更大，形状更加不规则；且碰撞力在底端和中部附近位置较大，基于碰撞力分布规律可为扶正器的布置做出指导。

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（编辑 沈玉英）