通向实数的第三条路——《算术的基本规律》中的实数理论

石伟军

导言

实数理论是实分析的基础。19 世纪实分析的发展迫切要求严格的实数理论。为了回应这一要求，很多数学家提出了自己的实数理论。它们可以分为两类：实数的算术化和实数的几何化。实数的几何化利用实数和直线之间的关系。实数的算术化路径包括康托的基本列理论、戴德金的分割理论和魏尔斯特拉斯的理论。海涅和托马的形式主义实数理论，可视为在形式主义指导下对康托基本列理论的一个改编。

然而，在弗雷格看来，这些理论存在种种问题，特别是其无法说明实数的应用性。鉴于此，弗雷格提出了自己的实数理论。这个理论是实数算术化和几何化之外的第三条路。和实数的几何化一样，弗雷格打算将实数定义为量的比例；但是，他并不将实数等同为几何量——线段——的比例，因为他认为实数理论本质上是逻辑的，而几何理论的实质是直观。和实数算术化一样，弗雷格需要某种在先被给予的数的理论；因为他的实数定义需要正类的存在，而要证明其存在就必须使用自然数（或基数）理论。

为了完成他的实数理论，弗雷格需要完成三个任务：第一，说明什么是量；第二，说明什么是实数，即如何理解量的比例；第三，证明关于实数的基本定理。然而，弗雷格并没有完成所有的任务。（[11]，第69-243 页）弗雷格给出了量的定义，从而完成了第一个任务，并且证明了一些对于第三个任务必不可少的关于量的命题。（[11]，第165-243 页）至于其它一些关于量的非常重要的命题（见第4节），尽管他未直接证明，但其要么是他已经证明的某些命题的推论，要么使用他的方法就可加以证明。关于第二个任务，他充其量给出了一些不具有决定性作用的暗示。（[11]，第164 页）对于第三个任务，他完全没有触及。

本文旨在完成如上第二和第三个任务。本文结构组织如下：第1 和2 节将扼要介绍实数的算术化理论以及弗雷格的批评。如果这些理论以适当的方式修正，弗雷格的有些批评就会失去力量。然而，他的有些批评，特别是他关于这些实数理论的应用性的批评，无论如何都非常具有说服力。正如基数的应用为基数的定义提供了线索一样，实数的应用同样会为其定义提供线索。第3 节讨论实数是如何被应用的，以及实数应用所涉及的概念，特别地，量的概念。在库契拉和塔尔斯基的研究基础上，第4 节将证明弗雷格的量域是戴德金连续的阿基米德有序域。第5 节关注库契拉所给出的“量的比例”的定义，即实数定义，并指出他的实数定义和实数的加法定义中存在致命的错误，而这些错误可通过本文中“s-上界”和“s-上确界”的概念加以消除。本文将证明，不仅弗雷格的量域，而且弗雷格的实数构成的集合，同样是戴德金连续的阿基米德有序域，以及弗雷格的实数理论要求正类的存在。第6 节简略讨论利用自然数理论证明正类存在的方法，并展示本文给出的实数定义如何为实数的应用提供根据。最后一节是总结。

1 实数的算术化和弗雷格的批评

康托使用基本列定义实数。他假定有理数和其性质已经被给定。（[3]，第898页）假定(av)是一个有理数列，其中，av是有理数，v=1,2,...。(av)是一个基本列，如果如下条件成立：对于任意的有理数∊＞0，都存在一个自然数n，使得对于任意的自然数ν,µ＞n，|aν-aµ|＜∊（或者等价的，|aν+µ-aµ|＜∊）。关于实数和基本列，康托说：

我将任何同样能用条件

描述的集合(av)，称为一个基本列，并且将一个由它定义的数b和它联系在一起。方便起见，我们可以用(av)这个符号自身指称这个数（正如同海涅在同我就这个主题进行了多次讨论之后而建议的那样）。1在此，康托应该想说的是：我们可以用“(av)”这个符号，而非(av)这个符号，指称这个数。因为(av)是一个数列，而非一个符号。2说基本列同样可以用条件(ii)aν+µ -aν=0（对于任意的µ）描述（定义），就是说基本列的定义(i)和(ii)是等价的。如果(ii)中的符号“lim”指的是实数上的极限概念，那么(i)和(ii)不可能等价，这是因为(ii)存在着重大错误。康托假定(iii) 有理数序列(aν+µ - aν) 存在极限，并且认为(iv) 假如(av) 是基本列，那么(aν+µ-aν)的极限等于0。(ii)错误的原因有两个。首先，并且最重要的是，在证明无理数的存在，从而实数（无理数和有理数的并集）存在之前，我们不可能证明一个有理数序列具有极限。因为极限的存在需要确界原理（或者与其等价的原理，例如戴德金完备性），而任意有理数的集合并不满足确界原理。因此，这个等价如果成立，那么(ii)中的符号“lim”指称的应该不是实数上的极限概念。因此，(ii)应该是对(i)的另一种更简单的表述而已。（[3]，第899 页）

接下来，康托定义了实数之间的各种运算和性质。（[3]，第899-901 页）例如，对于任意两个基本列(an)和(bn)，由其定义的实数——用a和b表示——之间的加法定义如下：

a+b=:基本列(av+bv)定义的数。

类似的，实数的减法定义如下：

a-b=:基本列(av+(-bv))定义的数。3关于利用基本列定义实数，并且进一步定义实数的各种性质和运算，这方面更系统的介绍见[27]第107-177页。但是，注意：康托定义正实数、负实数和0（作为实数）的方法和陶哲轩的稍有不同。

这些定义的基础是实数自身，因为我们必须知道实数是什么，然后才能定义实数的性质和运算。因此，让我们回到康托的实数定义自身。

康托说，他将数b和基本列(av)联系在一起，或者，这个基本列定义（define）了一个数b。对此，弗雷格提出了正确的批评。如何理解“它定义的与它联系在一起的数b”？弗雷格说，只有两种情况：第一，这个和基本列联系在一起的数b是符号（语言实体）；第二，b是抽象的思想对象——我们叫做实数的东西。正如席恩（Schirn）正确地指出的那样，康托拒绝第一种情况。（[20]，第52 页）但是，第二种情况存在严重的问题：

在第二种情况下，有的只是一个将新数分配给这个基本列的意图而已。我们还没能把握这个抽象的观念4在此，“抽象的观念”（“the abstract ideas”）和上文的“思想的抽象对象”（the abstract object of the thought）指的是同一种东西，即康托想称之为数的东西。这个脚注不属于原文。，在我们拥有它们之前，我们不能将它们分配给基本列。康托有时确实宣称他的基本列决定了数，但是他自己却自相矛盾。他所实现的无非是将有理数分配给某些基本列……（[11]，第95 页）

在此，弗雷格指出了康托的实数定义中的最致命的问题：我们——包括康托自己——不知道这个被分配给基本列的数b是什么。它是凯撒吗？如果这个b是一个数，而非凯撒，那么正如弗雷格所说，b只能是有理数；因为作为其研究的前提，康托只假定了有理数的存在，而实数是否存在，若存在是什么，这康托尚且不知道。当然，我们或许会替康托辩护说：b的身份不重要，重要的是，无论它是什么，它和这个基本列联系在一起。但是，这个辩护是徒劳的；如果b的身份不重要，那和基本列联系在一起的b可以是一个有理数，从而导致引进无理数的努力就彻底失败了。

弗雷格对康托的实数定义的另一个批评是：康托所定义的实数之间的运算不满足完备性要求。弗雷格要求每一个函数必须满足完备性。（[11]，第69-78 页）以一阶函数为例，一个一阶函数是完备的，当且仅当它对所有的对象都有定义。5完备性要求是弗雷格的逻辑普遍主义的推论：弗雷格要求量词在符合其类型的所有存在者上量化。例如，一阶量词在所有对象上，而非某些对象上量化；约束一阶一元函数的二阶量词在所有的一阶一元函数上量化。关于完备性和逻辑普遍主义之间的关系，见[12]。完备性要求对于基数的应用极其重要。弗雷格将自然数n+1 定义为所有和概念x=0 ∨...∨x= n 等势的概念构成的集合。现在，假如有一个概念F，在所有的对象中，它只对其中的n 个有定义，且这n 个对象都具有性质F，而它对剩下的对象没有定义。这样一来，我们无法确定F 是否有n 个，因为我们无法确定这些余下的对象是否具有性质F，从而基数的应用成了不可能的。但是，显然，在“a+b=:基本列(av+bv)定义的数”中，加法只对实数有定义。

我们可以拒绝弗雷格的第二个批评，因为康托的实数理论，并不要求每个函数或者运算都是完备的。但是，我们该如何回应第一个批评呢？我们必须说：每一个基本列就是一个实数。根据康托，“(av)”这个符号被用来指称基本列定义的数b，当然它也指称基本列(av)自身，因此b就是基本列(av)。这样一来，弗雷格的批评就无效了。

和康托一样，戴德金假定了有理数Q的存在和其各种性质和运算。对于任意两个有理数的子集A1和A2，(A1,A2) 是有理数的一个分割，如果：(1)A1≠∅，A2≠∅；(2)A1∪A2=Q；(3)∀x ∈A1y ∈A2，x ＜y。对于有理数的一个分割(A1,A2)，A1称为下类，A2称为上类。有理数的所有分割可以分为三类：第一类分割，这种分割的下类有最大元，即存在一个x ∈A1使得A1中的所有元素都小于等于x；第二类分割，这种分割的上类有最小元，即存在一个x ∈A2使得A2中的所有元素都大于等于x；第三类分割，这种分割的下类无最大元，上类无最小元。例如，对于A1={x ∈Q:x≤0∨(x ＞0∧x2＞2)}，A2={x ∈Q:x ＞0∧x2＞2}，(A1,A2)是第三类分割。

鉴于第一类和第二类分割要么包含最大元，要么包含最小元，因此它们可以被视为是这个最大元或者最小元产生的；而第三类分割不是由任意的有理数产生的。现在，戴德金认为，我们可以通过第三类分割构造无理数6关于戴德金的分割法，更系统的介绍见[28]第289-302 页。卢丁（Rudin）关于分割的定义和戴德金自己的略有不同，但两者没有没有本质区别。关于前者，详见[19]第17-21 页。：

无论何时我们有一个不是由有理数产生的分割(A1,A2)，我们创造（create）一个新的数，一个无理数α，这个无理数我们视为是这个分割(A1,A2)完全定义的；我们说这个数α对应于这个分割，或者它产生了这个分割。因此，从现在开始，对于任意一个确定的分割，都有一个确定的有理数或者无理数和其对应，并且我们将两个数视为不同的或者不相等的，当且仅当它们对应这本质上不同的两个分割。（[17]，第773 页）康托将某个预先存在的对象（其身份不得而知）和一个基本列联系在一起。和康托不同，戴德金没有假定存在着某个和有理数不同的对象，然后将这个对象和一个第三类分割相联系，而是为第三类分割创造了一个对象。

由于创造这一操作，弗雷格对康托的实数定义提出的第一个批评，对戴德金定义无理数的方式完全不起作用。但是，很自然的，弗雷格将其批判的火力对准了戴德金的那一操作本身——创造无理数。弗雷格批评数学家使用“创造性定义”（creative definition）的做法——给定某个性质，我们创造一个满足这个性质的对象。他正确地指出，数学家并不能随意创造数学对象，正如物理学家并不能创造一个具有某种性质的天体一样。例如，数学家并不能创造一个既具有某个性质又不具有这个性质的对象。我们或许会辩护说：的确，数学家不能随意创造数学对象，不过在某些条件下，数学家确实可以创造某些对象。然而，在这种情况下，我们必须在创造无理数前就事先说明这些条件。

弗雷格对戴德金的批评是令人信服的。然而，和康托的情况类似，对于戴德金的实数定义而言，我们的确没有必要创造一个和分割相对应的数；我们可以将分割自身当作数，正如我们可以将基本列当作数一样。这样一来，弗雷格的批评就无效了。无论是将无理数当作基本列，或者当作第三类划分，以此为基础，添加适当的定义，都可以证明实数集是戴德金连续的阿基米德有序域。7关于此证明，详细的讨论见[28]第289-302 页，[19]第17-21 页，[27]第107-177 页。

除了康托和戴德金的实数理论，事实上，魏尔斯特拉斯的实数理论同样走了算术化的道路。不过，魏尔斯特拉斯自己并未出版过任何关于实数的理论；现存的只有他的学生们所做的笔记。弗雷格讨论并且批评了魏尔斯特拉斯的自然数观点，而只字未提后者的实数理论。（[11]，第149-154 页）8简要来说，假定自然数和有理数（其可以由前者构造而来）已经被给定。魏尔斯特拉斯将实数定义为级数，其中，所有的an 要么是大于0 的自然数，要么所有的an 等于0。现在，我们需要定义任意两个具有如上形式的级数（实数）在什么情况下相等，之后定义其它性质和运算。关于魏尔斯特拉斯的的实数理论，一个非常简短的讨论见[24]第102-105 页，更详细的讨论见[2]。鉴于此，我们在此不再讨论后者的实数理论。

2 形式主义实数理论和弗雷格的批评

弗雷格反对海涅和托马的形式主义（[11]，第96-140 页；[9]，第112-121 页）；他也反对希尔伯特的形式主义。（[9]，第274-284，293-340 页；[8]，第31-52 页）海涅的形式主义被称为“项形式主义”（[16]，第54 页），而托马的形式主义被称为“游戏形式主义”。（[22]，第41-48 页）如下，我们称他们的形式主义为“项-游戏形式主义”。

弗雷格做出了符号（signs）和图形(figures)的区别：符号是有内容的（有reference 和sense）图形，而图形仅仅是一种物理存在。根据项-游戏形式主义，数是图形：“关于数的定义，我的立场是纯粹形式的，我把某些可感知的符号称为数，从而这些数的存在是不成问题的”。（[11]，第97 页）数（图形）对于数学而言，就如同棋盘上的棋子对于游戏一样。数（图形）除了其物理性质之外，其唯一（外在）性质就是服从某些规则（这些规则就是形式理论中构成项、公式和句子以及进行推理的规则），而后者类似棋盘游戏中移动棋子的规则。

这两种形式主义在很多方面有差别。特别的，希尔伯特的形式主义，具备项-游戏形式主义没有的两个特征。第一，前者明确区分了元数学（元理论）和数学（理论），区分了数学的实在（real）的部分和理想（ideal）的部分，并且明确承认证明数学一致性的重要性。第二，希尔伯特明确指出，数学中的推理规则不是任意的，而是人类思维的基本规则；证明数学的一致性的附带效果就是证明了这些基本规则的正确性。

正是因为这两种特征，德特勒夫森（M.Detlefson）认为，给希尔伯特的数学哲学——希尔伯特的证明论——贴上“项-游戏形式主义”这个标签是错误的。（[4]，第29-301 页）对于希尔伯特来说，数论（形式化系统，作为元数学的对象）的对象是符号（sign）自身9希尔伯特使用的是“sign”这个词，但是，很明显，他将数字视为图形而非符号。德特勒夫森以1904 年为界限，将希尔伯特的形式主义区分成了两个阶段：早期形式主义和后期性形式主义。被形式化的数学，作为元数学的对象，其中包括两类符号：逻辑的和非逻辑的。在前期，希尔伯特已经将非逻辑的符号当成了图形（[13]，第1121页），并将其视为数学的对象；在后期，逻辑符号也被视为图形。，换言之，数就是数字，从而是图形；在数论中，从一个命题——根据规则而组成的一串图形——到另一个命题的推演是根据规则而实行的机械过程。海涅和托马同样持这样的观点。因此，尽管希尔伯特的形式主义具有更加丰富的内容，但是，在将数学的对象视为图形——将数等同为图形——这方面，从而将数学视为一个纯粹的形式系统（其中出现的所有图形没有内容）这方面，它和项-游戏主义是完全一致的。

项-游戏形式主义的最大好处是避免了数的形而上学问题。如果数是图形，其存在是毫无疑问的。但是，形式主义在形而上学方面的优势，并不能抵消它在其它方面的不足：第一，其不能解释数学的应用性（applicability）；第二，其无法解释无理数的存在。

弗雷格将应用性视为算术的本质特征：“将算术从游戏提升到科学地位的只有应用性。因此，应用性必然地属于算术”。（[11]，第100 页）（关于应用性是如何编码进基数和实数的定义的，见本文第3 和5 节。）然而，项-游戏形式主义，同样的，希尔伯特的形式主义，无法说明算术的应用性。这是因为，对于形式主义而言，算术的项，例如，数字“2”，只是一个图形，而非符号；“1+1=2”只是图形构成的无内容的东西，从而没有表达任何“思想”。如果算术没有内容——数字没有指称，算术命题没有表达思想，它就不能被应用。希尔伯特说任何形式理论，例如，皮亚诺算术（PA），都是一个“脚手架”（scaffolding）——一个形式理论中的概念允许任意的解释，任何东西只要满足其公理，那么其同样满足其定理。（[8]，第40 页）不过，“解释”这个概念，在说明算术的应用性方面，实质上无助于形式主义。我们要如何解释PA，从而使得它能够用来回答“《数学原理》的作者有几个？”这样的问题呢？我们或许会说：将PA 的项，按照某种方式，解释为弗雷格的算术理论中的东西。例如，将PA 中的图形“1”解释为弗雷格的数1，将PA 中的图形“数”解释为弗雷格的数。可是，如此一来，形式主义的PA 是可有可无的东西，因为我们最终还是回到了弗雷格的算术理论。10形式主义将算术的项视为没有指称的东西；但是，如果算术的项没有指称，算术的句子就不能表达思想，从而算术里就不存在真正的证明。但是，德特勒夫森不认为希尔伯特的形式主义中的证明是无内容的。（[5]，第303页）他说，希尔伯特一方面并不否认数学证明必须展示有内容的前提和结论之间的逻辑关系，并不否认证明的最终目的是为判断提供保障；但是，另一方面，元数学中证明的前提和结论都是关于数学的，元数学允许数学的命题是空无内容的。德特勒夫森的辩护难以成立；由于数学的项是图形，希尔伯特不能承认前一方面。

项-游戏形式主义无法解释实数的存在。如前所说，康托用基本列定义实数，任意实数都是一个基本列。托马试图给基本列一个形式主义的解释。基本列(av)含有无限多个项。我们只能为其中的有限多个提供名字，因为名字作为符号，也是图形，而不可能存在无限个图形；但是，这丝毫不影响基本列含有无限多个项，即有理数。托马将基本列视为一个满足某种条件的含有无限多个数的东西；不过，由于他将数等同于图形，因此他将基本列视为满足某种条件的含有无限个图形的东西。不难看出，不可能存在这样的基本列。

3 实数是量的比例

从欧几里得一直到戴德金和康托，全体实数构成的集合往往被等同为或者比作一条直线。给定一条直线，我们随便指定其上的某个点o为原点，将这个点的右侧规定为正方向，左侧规定为负方向。然后，我们随便规定这条直线上的某两点x和y之间的线段为单位线段。给定任意线段ou(u为正方向上的任意点)和线段ov（v为负方向上的任意点），ou:xy（ou和xy之间的比）被视为一个正实数，ov:xy（ov和xy之间的比）被视为一个负实数。这种定义实数的方法被称为几何路径。弗雷格的实数理论与实数的算术化和几何化都不一样。他认为实数是量的比例（the ratios of quantities），但是他不同意将量（quantities）等同于几何的量，即线段。这是因为，由于他认为算术是逻辑，因此如果将量等同于几何的量，并且将实数定义为几何量的比例，那么，某种直观的东西就被引入了算术。

弗雷格为何将实数定义为量的比例呢？正如在第2 节中所说，这是因为他认为，应用性应该被编码进数的定义。基数的应用是计数。我们是如何计数的呢？根据弗雷格，基数的应用范式是这样的：

(i)说“有n个F”，就意谓着“F的数=n”；

(ii)F的数=G的数当且仅当F和G一一对应。

用“F”和“G”表示一阶概念，“U”表示二阶概念，“♯F”表示“概念F的数”，“F≈G”表示“F和G一一对应”，“extU”表示“U”的外延。弗雷格以如下方式定义基数：

(i)和(ii)被编码进了数（“概念的数”）的定义。

弗雷格将实数定义为量的比例，因为实数的应用是度量（measure）。我们是如何用实数来度量的呢？给定两个量t和r，例如，长度，质量，速度，密度，强度等等，我们将r当作为单位量（units），相对于r，另一个量t是x个单位，其中x是实数。例如，当我们说“√对象A 的质量是√”的时候，我们说的是“对象A 的质量是对象B 的质量的倍”，其中B 的质量被规定为单位质量，即1g。正如在“地球有1 个卫星”这个句子中，“1”没有以专名的形式出现，在“对象A的质量是对象B 的质量的倍”中，“”同样没有以专名的形式出现。然而，正如前一个句子可以被理解为“地球的卫星的数是1”，从而“1”以专名的形式出现一样，后一个句子可以被理解为“是A 的质量和B 的质量的比例”，从而“”以专名的形式出现。一般地，给定两个量t和r（属于同一种量），实数的应用范式的一个组成部分是：

(AR)量t是量r的x倍当且仅当x是量t与量r之间的比例。

(AR)类似于(i)。根据(i)，基数要被定义为概念的数；根据(AR)，实数要被定义为量的比例。

现在弗雷格需要完成两件事情：第一，说明什么是量；第二，说明什么是量的比例。

什么是量呢？弗雷格将一阶二元关系的值域（value-range）称为“Relation”。11以下我们用“R-关系”翻译“Relation”。用“关系”这个词翻译“relation”（“Beziehung”）。弗雷格将所有存在者分为函数和对象。关系是以真值为函数值的函数，而值域是对象。此外，他将一阶概念（以真值为函数值的一阶一元函数）的值域称为“类”（class）。量是R-关系，但并非任何一个R-关系都是量。为了定义量，弗雷格认为，我们要先定义量域（a domain of quantities），然后将这个域中的每一个元素视为量。我们将在第4 节介绍弗雷格的量域的定义。

因为实数是量的比例，而量是R-关系，所以实数是R-关系的比例。如果所有的R-关系都是空的R-关系，那么无论“实数是R-关系的比例”是什么意思，我们无法定义实数；因为空R-关系只有一个，而实数有无限多个。因此，如果没有对象，那么我们就不能定义实数，至少不能定义所有的实数。为了定义实数，我们需要多少个对象呢？弗雷格说：

如果q是空R-关系（Relation），那么q是同一个空关系；qq同样如此。另外，我们的量域上的R-关系的复合，不应该导致空R-关系；但是，这种情况会发生，如果不存在对象，使得某个对象和它处于第一个R-关系，且它和某个对象处于第二个关系。

因此，我们需要一群对象，它们彼此具有我们的量域中的R-关系，并且，特别的，这个群必须包含无限多个对象。（[11]，第161 页）

很难看出“因此”之后的结论是如何推出的；即便在所有的R-关系中，存在两个R-关系，使得其复合是一个空R-关系，这也不意谓着，实数不能定义为这样的量域中的R-关系的比例。既然如此，弗雷格为何认为，定义实数需要无限个对象？

我认为原因有两个。第一，弗雷格将实数视为对象，而实数有无限多个（）。因此，无论如何理解“实数是R-关系的比例”，必须要有无限个对象。第二，弗雷格将“实数是R-关系的比例”等同为“R-关系上的R-关系”（Relations on Relations）。因此，如果对象只有有限个，那么R-关系上的R-关系只有有限个，从而我们只能定义有限个实数。

现在，去哪里找无限多个对象呢？在[10]中，弗雷格将自然数理论还原为了逻辑，而自然数有无限个。因此，我们有无限个对象可供使用。不过，如何利用自然数构造一个量域呢？

由于所有的R-关系rB和构成一个量域（这需要证明），因此量域存在。在此基础上可定义实数。但是，不难看出这种做法存在循环：在证明这个量域存在的时候，我们就假设了实数的存在。不过，弗雷格说，不需要实数就能定义R-关系rB和。（[11]，第161 页）在第6 节中，我们将简要讨论这如何可行。

如前所说，为了给实数理论奠定基础，弗雷格需要先完成两个任务。然而，弗雷格只完成了第一个任务——给出了量的定义，而没有完成第二个——定义实数。下面我们介绍弗雷格的量域概念，然后考虑如何定义实数。

4 量域

《算术的基本规律》中的逻辑系统GG 由二阶逻辑+第五公理构成。GG 的语言中的名字分为两类：函数名字和对象名字（值域的名字和真值的名字）。这种分类和弗雷格的本体论相对应：一切存在者要么是函数要么是对象。量域是类（一阶概念的值域），而类是对象。(*)假设D是一个量域，从而是某个概念C的值域，对于任意一阶二元关系的R-关系R，R是D的元素当且仅当R落入C之下。值域受第五公理的辖制。由于第五公理和二阶逻辑不一致，为了重建弗雷格关于量域从而关于实数的理论，我们必须对弗雷格的二阶语言进行修改。

我们有两种选择。要么保留第五公理，将GG 的内涵公理替换为直谓的（predicative）内涵公理，从而得到一个系统GG*，要么删除它，从而将值域名字从GG的语言中删除。第一种选择行不通。这是因为，尽管GG*没有矛盾，但是在GG*中不能推演出通常的自然数理论，而如在第3 节中所说，自然数是证明量域存在的基础。

第二个选择行得通。在这种情况下，我们不能谈论R-关系满足什么条件才是量，或者等价的，一个类满足什么条件是量域，不能谈论实数是R-关系的比例；因为表示值域的项已经从GG 的语言中删除了。不过，我们可以谈论实数是一阶二元关系的比例。当然，在这种情况下，要谈论这些，我们需要一个高于二阶的语言。在[1]中，博客尼（Boccuni）和潘萨（Panza）采用的就是这个选项，而在[18]中，罗珀（Roeper）同样如此。

在如上高阶语言中定义量域，从而定义实数（实数不以对象的形式出现），这固然可行，但这不是第二个选择中唯一的选项。事实上，一阶集合论语言同样能满足我们的目的。我们使用集合论ZF。对于我们的目的而言，对于ZF 的任何子理论，只要从其中能推出自然数理论，其都满足我们的目的。为了方便，我们使用ZF。

在定义与量和实数有关的概念——(D1)-(D5)、(D14)-(D17) 以及下一段中出现的概念——的时候，本文使用[15]中的符号。之所以如此，是因为本文着重讨论库契拉（Kutschera）对弗雷格的实数理论的重构。

ZF 的语言的非逻辑词包括表示集合的变元x,y,z,...和二元谓词∈。我们约定：字母t,r,p,q表示有序对构成的集合——这种集合就是R-关系在ZF 中的对应物；u,v,s表示由有序对构成的集合构成的集合；ιxφ(x)表示满足公式φ(x)的唯一的x；λxφ(x)表示满足公式φ(x)的x构成的集合。作为弗雷格的量域概念的预备，我们需要如下定义：

Rel(r)=:r是二元关系，即r是有序对的集合。

r(x,y)=:(x,y)∈r，即x和y具有r关系。

r-1(x,y)=:r(y,x)，即r-1是r的逆关系。

Ne(r)=:∀x,y,z(r(x,y)∧r(x,z)→y=z)，即r是单值关系。

r|t(x,y)=:∃z[r(x,z)∧t(z,y)]，即r|t是r和t的复合。

rm=:r|rm-1，即rm是r的m(m ＞1)次复合。

r-m=:(rm)-1，即r-m是r的m(m ＞1)次复合的逆关系。

0=:r0=λz∃x(z=(x,x))，即0 是单位关系。

弗雷格将量域定义为“属于正类的域”。为了定义量域，他首先定义了如下几个概念。

关系r ∈当且仅当r ∈s，或r是单位关系0，或r的逆关系r-1∈s。

(D2)s是正向类（positival class）：

s是正向类P(s)，当且仅当关系r和其逆关系r-1具有单值性，r和t的复合属于s，单位关系0 不属于s，r和t-1的复合属于，t-1和r的复合属于。

(D3)集合s中，r小于t：

集合s中，r小于t，当且仅当s是正向类，且中的关系t和r的逆关系的复合属于s。

(D4)t是u在s中的上界（upper limit）：

t是u在s中的上界，当且仅当s中比t小的关系都是u中的关系，且对于比t大的任意关系r，都存在一个比r小的关系q，且q不属于u。

(D5)s是正类（positive class）：

s是正类，当且仅当对于s中的任意关系r，s中都有一个比它小的关系；且对于任意的关系集u，如果s中存在一个关系r使得比它小的关系都在u之中，且s中存在一个不在u中的关系，那么u在s中存在一个上界。

如果s是正类，那么是属于s的量域。13弗雷格用自己的符号定义了这些概念：(D1)是[11]第169 页的定义X；(D2)是[11]第171 页的定义Φ；(D3)在[11]第185 页中；(D4)是[11]第187 页的定义AA；(D5)是[11]第187 页的定义AB。

(T6)p ＜s r ∧r ＜s t →p ＜s t。14在这些命题中，(A1)是[11]第187 页的命题588；(A2)是[11]第187 页的命题589；(T1)是[11]第243 页的命题689；(T2)是[11]第233 页的命题670。而剩下的命题，尽管弗雷格没有直接证明，但库契拉在证明的时候，使用了弗雷格已经证明的其它命题。（[15]，第108-109 页）(A1)(A2) 表明量域满足三歧性；(A3) 表明量域是稠密的；(A4) 表明是连续的。

这个公理被称为“连续性公理”。其第六公理为：

关于A＇，有两点需要特别指出。首先，根据塔尔斯基，(断言1)A＇的第四个公理就是戴德金连续(DC)，只是比后者“在形式上稍微复杂”。（[26]，第203 页）我们知道，戴德金连续说的是：如果R的任意子集有上界，其有上确界，其中，

(D7)x ∈R和u ⊆R，x是u的上界=:∀y(y ∈u →y≤x)。

(D8)x是u的上确界=:x是u的上界且∀z(z ＜x →∃w(w ∈u ∧z ＜w))。因此，(断言1)意谓着DC 是A＇的定理。其次，根据塔尔斯基，(断言2)A＇和另一个系统A＇＇=〈R,＜,+,×,1,0〉在如下意义上等价：如果在A＇上以适当的方式定义零元和乘法，那么A＇＇中的任意涉及零元和乘法的公理，都是A＇的定理。（[26]，第208 页）15A＇＇ 是一个连续的阿基米德有序域。阿基米德公理是A＇＇ 的定理。关于此证明，见[19]第9 页。从(断言1)和(断言2)可推出如下两个结论：

(C1)A＇是一个戴德金连续的阿基米德有序域。

(C2)A＇是F的模型，反之亦然。

(C1)和(C2)蕴含一些重要的结论。如果将(D7)和(D8)中出现的“＜”和“R”分别替换为“＜s”和“”，那么我们就得到s的任意子集的“s-上界”和“s-上确界”的定义：

(D9)t ∈和u ⊆，t是u的上界=:∀r(r ∈u →r≤s t)。16“r ≤s t”是“r ＜s t ∨r= t”的简写。

(D10)t是u的上确界=:t是u的上界且∀r(r ＜s t →∃p(p ∈u ∧r ＜s p))。17定义(D9)和(D10)，所有涉及它们的命题，均未出现在[15]中。现在，如果用“”、“s-上界”和“s-上确界”替换(DC)中的“R”、“上界”和“上确界”，我们就得到如下命题：

因为(C1)，所以(DC)是A＇的定理；又因为(C2)，所以

(C3)(DC*)是F的定理。

利用A＇的第六个公理，我们可在A＇上定义“0“，从而定义“正实数”：x是正实数=:x ＞0。然后，将“s”解释为“正实数”，那么A＇是(T2)和(T3)的模型。从(C1)可知R中的元素对加法满足交换律和保序性，且关系＜满足传递性，从而

(C4)(T2)(T3)(T6)是F的定理。

不过，我必须强调，如上论证只是为了使我们相信(C3)，而绝不是说，(C3)的证明在任何实质的意义上需要A＇。因为(DC)是A＇的定理，所以只要将(DC)的证明中出现的A＇中的概念替换为F中的概念，我们就能得到(DC*)从F的证明。这同样适合于(C4)。从(C3)和(C4)可推出：

(T4)r ∈s ∧t ∈s →∃n(r ＜s n·t)。（[11]，第203 页，命题635）

其中，自然数n和r ∈之间的运算·按如下方式定义：

(D11)n·r=:rn。

在我们将F当做一个公理系统的时候，“s”只是一个符号而已（和A＇中的“正实数”对应），它并不是正类。然而，我们已经看到，假定s是正类，那么(A1)-(A9)、(T1)-(T3)(T6)都成立。因此，如下结论成立：

(C6)如果s是正类，那么量域是一个戴德金连续的阿基米德有序域。

既然量域是一个戴德金连续的阿基米德有序域，弗雷格为何不直接将量域中的每一个量视为一个实数呢？原因有三个。首先，弗雷格打算将实数定义为量的比例（或者R-关系的R-关系）；中的每一个量固然是R-关系，但却不是量的比例。其次，如果实数是某个特定的量域中的量，那么，如果有很多个不同的量域，那么我们就有不同种类的实数。第三，从弗雷格反对实数理论的几何化可以看出，他反对将实数等同于任何一个量域中的量。

5 实数

弗雷格将实数定义为“量的比例”，但他并未明确说明如何理解它。这为不同的解释提供了空间。这些解释可以分为两类。19在[21]中，夏丕罗提出了一种使用抽象原则（principle of abstraction）定义实数的方法。首先，定义基数，用休谟原则做为基数相等的标准。然后用自然数定义整数，即任意两个自然数a 和b 决定一个整数Int(a,b)，而判定整数相等的标准是：Int(a,b)= Int(c,d)≡(a+d)=(b+c)。接着，用整数定义有理数，即任意两个整数m 和n 决定一个有理数Q(m,n)，而判定有理数相等的标准是：Q(m,n)= Q(p,q)≡(n=0 ∧q=0)∨(n ≠0 ∧q ≠0 ∧m·q= n·p)。最后，使用有理数定义实数，任意一个有理数集合P 决定一个实数C(P)，而判定实数相等的标准是：∀P ∀Q(C(P)= C(Q) ≡∀r(P ≤r ≡Q ≤r)。这种构造实数的方法虽然可行，但却和《算术的基本规律》中的精神不一致。首先，弗雷格没有提到用递进的方式，从自然数开始一步一步定义实数。其次，这种方法完全不涉及量。第一类解释是这样的。假定a和b是某个量域中的任意两个元素，我们将“a:b”，即“量的比例”，当作一个不可被定义的项。不过，我们要提供一个判定两个量的比例相等的标准。准确来说，令D和D＇为任意两个量域（不一定是同一个量域），对于a,b ∈D和c,d ∈D＇，我们需要判定a:b和c:d相等的标准：a:b=c:d当且仅当Φ(a,b,c,d)。现在的问题是如何刻画Φ(a,b,c,d)。关于这个问题，有几种不同的选项。一个选项为欧几里得的“正比”概念（proportionality）。例如，西门（Simons）就建议用它作为量的比例相等的标准：

a和b的比例等于c和d的比例，当且仅当，对于所有的自然数n和m，an大于，等于，或者小于bn，如果相应地，cn分别大于，等于，或者小于dn。（[23]，第40 页）在[1]中，博客尼和潘萨认同西门的观点，并且给出了如何在高阶语言中将这个概念形式化。在[18]中，罗珀建议用“同构”刻画它：Φ(a,b,c,d)当且仅当D和D＇同构，且a和b在同构函数下的象分别是c和d。

第二类解释是库契拉的。他在集合论中重构弗雷格的实数理论，从而实数被当作集合。毫无疑问，集合的相等标准就是外延公理。因此和第一种解释不同，在库契拉那里，判定量的比例相等的标准是已经被给予了的，即外延公理。现在，重要的是如何在集合论中定义“量的比例”。如下，我们深入考察库契拉的解释。

给定一个正类s的量域，我们定义几种量的运算。对于任意的r,t ∈,p ∈s：

库契拉为何认为(D14) 中的量t和r应该满足等式呢？他没有提供理由。弗雷格说，每一个正实数都可以表示为的形式。（[11]，第161 页）库契拉的观点可能基于弗雷格的这一评论。

然而，定义(D14)有三个问题。第一，且最重要的是，(D14)中出现的库契拉给出的定义是错误的。由于我们已经假定存在正类，即存在s使得P*(s)。现在我们需要保证，对于r ∈s，有定义，即它是一个量。

究竟该如何定义C∞呢？根据(C6)，是戴德金连续的。库契拉的意思有可能是根据(A4)，C∞应该被定义为u的s-上确界吗？库契拉绝无这样的意思，因为他根本没有“s-上确界”这个概念，尽管我们确实应该这样定义C∞。为了证明u有s-上确界，只需证明u有s-上界。我们证明，r就是u的一个s-上界。令其中n ∈N-{0}。根据(D14)，r ∈s。不难证明，(i)bn+1＜s bn。另外，不难看出，(ii)Cn≤s b1+...+bn+1。根据(i)和(T3)有：

根据(ii)，对于任意的n ＞0，Cn ＜s r。

(D14)所面临的第二问题是，它所定义的所有实数，其基数是2ℵ0吗？这个问题答案是肯定的。用|x|表示x的基数。令R是实数集。不难证明，|{M:0M∧M ⊆N ∧|M|=ℵ0}|=|R|。20令M1= {M ⊆N : |M|= ℵ0}，M2= {M ⊆N : |M| ＜ℵ0}。因此N 的幂集P(N)= M1 ∪M2。令mn= {M ⊆N : |M|= n}，F= {mn : n ＜ℵ0}。因此，M2=∪F。因为| F |= ℵ0，且|mn|= ℵ0，根据[14]第71 页的定理I.12.14，|∪F| ≤ℵ0。因为M1 ∩M2= ∅，所以|M1 ∪M2|= |M1|+|M2|=。根据基数的加法，|M1|=。此外，容易证明，|M1|= |{M :0M ∧M ⊆N ∧|M|= ℵ0}|。因此，|{(m,M):0|M|=ℵ0}|=|R|；这意味着R(m,M)和R一一对应。

(D14) 面临的第三个问题是，实数被定义为了正类中的量的比例，而非量域中的量的比例。但是，弗雷格的计划是将实数定义为“属于正类的域中的量的比例”。（[11]，第243 页）(D14)符合弗雷格的计划吗？现在对于量域中的任意两个量，总共有9 种情况：(1)t,r ∈s；(2)t-1,r-1∈s；(3)t ∈s,r-1∈s；(4)t-1∈s,r ∈s；(5)t=r=0；(6)t ∈s,r=0；(7)t-1∈s,r=0；(8)t=0,r ∈s；(9)t=0,r-1∈s。因为量的比例被等同为有序对（其第一和第二个元素是量）构成的集合，所以实数作为这样的集合，它必须满足如下条件（还有其它条件）：它的有序对的第一和第二元素可以是如上9 种情况的任意一种。但是，在(D14)中，(5)-(9) 被排除了。排除(5)-(7) 是合理的，因为如果量t和r之间满足条件，那么在r=0 的情况下，没有定义。因为M是由不包括0 的自然数构成的无限集合，所以在(8)-(9)中，如果t=0 而r ∈s（或者r-1∈s），那么，不可能是0，因为M是一个无限集合。因此，如果M是由不包括0 的自然数构成的无限集合，那么(D14)和弗雷格的计划——实数是“属于正类的域中的量的比例”——是一致的。

现在，为了证明(D17)是一个良好的定义，我们需要证明：存在m＇＇和M＇＇满足(Eq)且满足(Eq)的m＇＇和M＇＇是唯一的。因为是戴德金连续的，所以存在性满足。如下我们证明唯一性。

证明：反设存在(m,M)和(m＇,M＇)满足(Eq)，且m≠m＇或者M≠M＇。因此，

如下三种情况至少有一种成立：

[情况1]m≠m＇且M=M＇;

[情况2]m=m＇且M≠M＇;

[情况3]m≠m＇且M≠M＇。

假定(a)。在这种情况下，Ck=Ck-1+0=Ck-1，而Bk=Bk-1+bk=Ck-1+bk。现在我们证明(d):对于任意n ＞0，Ck+n ＜s Bk。Ck+n≤s Ck-1+bk+1+...+bk+n。根据(c)，Ck-1+bk+1+...+bk+n ＜s Ck-1+bk=Bk。于是(d)得证。

现在可以证明Bk是{Cn}的一个s-上界。显然，Ck ＜s Bk；利用(c)，对于∀i ＜k，Ci≤s Bk。再根据(d)，Ck+n ＜s Bk。此外，因为M是无限集合，所以M中一定存在大于k的自然数j，从而Bk ＜s Bj。因为b是{Bn}的s-上确界，所以Bj≤s b。于是Bk ＜s b。因为Bk是{Cn}的一个s-上界，而是戴德金连续的，所以其s-上确界≤s Bk。因为b是{Cn}的s-上确界，所以b≤s Bk ＜s b。但是b ＜s b和0s矛盾。

类似的，假定(b)会导致矛盾。因此我们证明了：如果[情况1]或[情况2]成立，那么有序对(m,M)和(m＇,M＇)不满足(Eq)。显然，如果[情况3]成立，这个结论也成立。Q.E.D.

6 正类的存在和实数的应用

对于弗雷格的实数理论而言，我们必须证明正类的存在。在第4 节中，在给定实数的前提下，我们陈述了弗雷格构造正类的思路。不过，这个思路只有教育启迪的作用，因为对他的实数理论而言，实数自身是它的终点而非起点。我们要做的是如何从自然数理论出发，构造出一个正类。

显然，从ZF 中可以推演出自然数理论。辛德和夏丕罗认为，达米特以自然数为基础构造正类的方法（[6]，第284-285 页）可行。（[25]，第354 页）23令A、B 和C 为任意的由大于0 的自然数构成的无限集合，a、b 和c 是任意的自然数。对于任意的自然数n，我们首先定义“n 对于A 和B 是自由的”：

每一个有序对(

b

,

B

)决定一个关系

R

(

b

,

B

)

。达米特断言，所有的

R

(

b

,

B

)

构成一个正类。 在不做出更进一步讨论的前提下，我满足于指出，达米特的方法似乎不可行。

24

在我们验证所有的R(b,B)构成的集合是正类，即满足(D5)中的条件的时候，我们会遇到困难。

不过，我认为，西门提到的方法（[23]，第38 页）——其用自然数构成的无限集合模拟实数，并以此贯彻弗雷格的思路（[11]，第161 页）——是可行的，尽管据它而构造正类在技术上比较繁琐。

正如在第2 节所言，弗雷格认为，数的应用必须在数的定义中找到根据，而实数的应用是度量。25不难看出，弗雷格的逻辑主义——将基数理论和实数理论还原为逻辑——是有层次的:前者比后者更加根本，即正类的存在——对实数定义必不可少——是在基数理论上加以证明的。实数和基数不属于同一种类，这一断言对于逻辑主义具有重大意义。对于弗雷格而言，基数和实数的不同，根本上是因为其应用不同：前者用来计数，后者用来度量。这种不同被弗雷格植入基数和实数的定义中了。如果基数可以用来度量，实数可以用来计数，那么弗雷格再不能以他定义基数和实数的方式定义它们了。关于数的应用和数的定义之间的联系，详细的讨论见[25]第357-368 页。定义(D14)如何是如何为实数的应用提供根据的？根据第3 节中的(AR)，说量t是r的x倍，就是说x是量t与r之间的比例。每个实数x都和某个有序对(m,M)一一对应。根据(D14)，说x是量t与r之间的比例，就是说x=R(m,M)，即存在一个正类s使得t,r ∈s且

实数的应用中涉及理想化。如果说长度t和长度r的比例是x，那么，根据上一段所说，存在一个包括t和r的正类，即长度构成的正类。但是，我们无法确定这个正类的存在，而这也是我们以自然数为基础构造正类的原因。因此，在做出“某物的长度是x 米”这种陈述的时候，我们假定了一个由长度构成的正类。事实上，这种理想化的假定同样发生在基数的应用中。应用基数的前提是概念的完备性。然而，我们所使用的概念不具有完备性；我们只是假定它具有这种性质。

7 结论

本文详细讨论了库契拉在集合论的框架中对于弗雷格的实数理论的重构。除了如下两点之外,这个重构是成功的。第一，库契拉对于“C∞”的定义是错误的。它无法用(D4)中的“上界”这个概念加以定义，而只能用“s-上界”和“s-上确界”这两个概念加以定义。第二，他对实数加法的定义同样是错误的，因为其在逻辑上预先假定了实数。在库契拉的重构中，他只证明了量域和实数集是稠密连续有序且具有阿基米德性的阿贝尔群。借助于塔尔斯基的(断言1)和(断言2)，我们可进一步推出量域和实数集是戴德金连续的阿基米德有序域。