聚焦“序”，提升学生的数学学习力

刘贤桴

［摘  要］ 学生数学学习之“序”是开放性、灵动性的。在小学数学教学中，教师要把握数学学科本体之序，把握学生认知之序、活动之序、思维之序，让学生的数学学习真正、深度、灵动、高效发生。教师要致力于推进学生“有序”“有向”“有法”“有道”的数学学习，要善于处理好学生数学学习“有序”与“无序”的辩证关系，引导学生从“无序性”学习过渡、发展、提升到“有序性”学习，不断提升学生的數学学习效能，让学生的数学学习能力最大化、持久化。“有序”与“无序”构成了学生数学学习的规定，构成了学生数学学习的闪亮“坐标”。

［关键词］ 小学数学；有序学习；学力提升

理论物理学家、物理化学家普里戈金认为，“一切事物都是按照相对有序的状态发展”［１］。“序”是自然法则，也是人类认识的法则。有时，无序本身也体现为一种“序”。绝对无序是不可能的。在数学学科教学中，教师同样要认识、把握“序”。这里的“序”，主要包括两个方面：一是数学学科本体知识产生、法则之序；二是学生数学认知、思维、探究之序。只要致力于推进学生“有序”“有向”“有法”“有道”的数学学习，就能促进学生数学认知、思维等的发展，就能有效提升学生的数学学习能力和数学核心素养。序，能提升学生的数学学习效能，让学生的数学学习能力最大化、持久化。

一、把握学科本体之序，让学生的数学学习真正发生

数学是一门结构性科学，数学学科知识的产生是有顺序的。在小学数学教学中，教师要把握学科知识本体之序，要遵循数学知识发生、发展演进的逻辑，才能让学生的数学学习真正发生。尤其是，在相关知识链条中的核心知识、关键知识处，要让学生充分感受、体验这些知识的形成过程。一般来说，数学学科知识的发生、发展是逻辑递进的，是螺旋上升的，是一个由低级迈向高级、由简单迈向复杂、由零散迈向集约和概括的过程。

记得法国数学家嘉当这样说过，“数学的知识点犹如一个个蜂眼，但最后却以整个的‘蜂巢’示人”［２］。数学学科知识看似由一个个的知识点构成，但这些知识点之间有着千丝万缕的联系。在教学中，教师不仅要引导学生厘清数学知识点的来龙去脉，还要引导学生把握知识整体。例如教学“多边形的面积”这一部分内容时，教师有必要引导学生回顾长方形面积、正方形面积的推导历程，让学生认识到多边形面积的推导顺序，认识到长方形面积公式属于基础性、基本性的面积公式，而其他的多边形面积公式都是导出性的面积公式。通过这样的回顾，学生经历了多边形面积公式的推导过程，洞察到了多边形面积公式之间的逻辑关系。如在长方形面积公式的基础上，推导平行四边形的面积公式；在平行四边形面积公式的基础上，推导三角形、梯形的面积公式……引导学生把握数学学科知识的顺序时，教师还要增强学生对数学知识层次性、系统性、结构性的认知。

在数学学科教学中，教师要引导学生对已学知识进行整理、优化，要引导学生将数学外在的知识结构转化为认知结构。教师要以数学学科知识为母体，孕育学生的认知结构发展、生长。在数学学科教学中，教师不仅要让学生认识到“知识从哪里来”，还要让学生认识到“知识到哪里去”，从而展现数学学科知识本身的魅力。在这个过程中，教师不仅要把握数学学科知识之序，还要把握学生的数学学科思想方法之序。

二、把握学生认知之序，让学生的数学学习深度发生

聚焦“序”，能有效提升学生的数学学习能力。教师不仅要把握数学学科知识之序，更要把握学生认知之序。如果说，数学学科知识之序是学生数学学习的逻辑起点，那么学生认知之序就是其数学学习的现实起点。如果说，把握数学学科知识之序，为教师实施有序性教学提供了可能性，那么把握学生认知之序，就让教师实施有序性教学有了现实性。教师把握学生认知之序，能让学生的数学学习深度发生。

把握学生认知之序，要求教师分清知识教学的“主”与“次”，分清知识教学的“先”与“后”。不同的学生，对于同一数学知识的理解，其认知结构、特质、倾向不尽相同。因此，了解学生的具体学情与普遍学情同样重要。了解学生的具体学情，就是揣摩学生个体的认知倾向、认知风格，认识到学生个体的数学学习特质；了解学生的普遍学情，就是把握学生的年龄、心理特征，认识到学生的阶段性数学学习特质。因此，在数学课堂教学中，同样的教学设计，会引发学生不同的应答，让学生产生不同的表现。例如教学“正比例的意义”这一部分内容时，笔者发现，有部分学生喜欢用表格将两种变量相对应的值列举出来，然后根据表格里的直观、形象的值进行思考，并做出精准的判断；有部分学生则喜欢绘制正比例函数的图像，借助图像进行研判；而另外一部分抽象思维比较突出的学生，则能有效借助数量关系进行研判。对于不同认知倾向的学生，笔者以学生的认知偏好为教学出发点，引导学生的数学学习逐步进阶。同时，借助学生的认知偏好可以进行有效辅导。实践证明，从学生的具体学情出发，能让教师的教学富有针对性、实效性。

把握学生认知之序，不能将其简单地理解为“把握学生认知次序”或“把握学生认知顺序”，而是“把握学生认知特质、认知倾向”。认知特质、认知倾向是一种更为内隐的顺序。实践证明，学生的数学学习是一个生动活泼的、主动的、富有个性化的过程。教师要洞察每一位学生的认知通道，睿智地加以引导。可以这样说，具体学情为学生的数学认知、探究铺设了一条通往成功的康庄大道。

三、把握学生活动之序，让学生的数学学习灵动发生

活动是学生的智慧根源，也是学生数学经验建构的方式，因此教师要精心设计活动，让活动具有层次性、序列性，使活动引发学生的数学思维不断进阶。教师通过把握学生活动之序，能让学生的数学学习灵动发生。

学生的活动方式是丰富的，如抽象与概括活动、推理与建模活动等。引导学生有序活动，说白了，就是让学生有序地看、有序地做、有序地想、有序地说。例如教学“9加几”这一部分内容时，教师可以有序地呈现资源、素材等，如“9+2”“9+3”“9+4”……“9+9”。在此基础上，可以让学生分小组合作探究，进而让学生的数学课堂实践具有目标性、针对性和实效性。例如有小组探究“9+3”，就借助“小棒”进行操作：有学生将3根小棒中的1根拿出来与9根小棒合成1捆小棒（共10根），这就是“凑十法”的数学模型。在这个过程中，教师要引导学生操作。可以这样说，只有操作有序的实践活动，才能催生学生有序思维、有序认知，才能助推学生有序学习。学生探究“9加几”的方法有很多，尤其是各种个性化的方法。对于这些方法，教师一方面要积极给予肯定、评价，另一方面要加强引导，比如可以让学生比较多种方法，让其感受、体验“凑十法”的简便、快捷、科学、合理等。在有序的数学活动中，学生的数学学习能够灵动发生。比如在这个过程中，有学生发现，“和的个位上的数总是比第二个加数少1”。对于这样的发现，教师一方面要积极给予评价，另一方面要积极追问：“为什么和的个位上的数总是比第二个加数少1？”追问能引发学生深度思考，让学生进一步理解“凑十法”的算理，把握“凑十法”的内在精髓。

有序活动是循序渐进、有条有理的活动。在小学数学教学中，引导学生学习相关知识，教师不能“和盘托出”，更不能“简单告诉”，而必须循序渐进地引导学生活动，让学生充分经历“数学化”的过程。在这个过程中，教师不仅要着眼于学生活动的方法，还要着眼于学生活动的状态、活动的质量、活动的品质。“序”应当成为活动的一种特质，成为活动的一种内在特性。通过有序活动，能让学生逐步、有序地建构、创造数学知识。引导学生有序活动是数学教学的应有之义、应然之举。

四、把握学生思维之序，让学生的数学学习高效发生

“数学是思维的体操”［３］，学生的数学学习从某种意义上来说就是数学思维的学习。思维指学生的“思维能力”，也指学生的“思维状态”“思维品质”等。教师必须引导学生学会“运思”，从而让学生的数学学习高效发生。把握学生的思维之序，就是让学生思之有物、思之有理、思之有序、思之有向，就是让学生逐渐从形象思维过渡到抽象思维，将归纳推理与演绎推理相结合。

学生的思维往往是内隐的。教师要准确把握学生的思维脉络，触摸到学生思维跳动的脉搏。教师可以引用“可视化”的方法，比如用动作、图像、语言等进行描述、展示。例如教学“圆柱的体积”时，引导学生类比、迁移“圆的面积”的推导过程，将圆柱（学具）切拼成近似的长方体后，再引导学生进行有序比较：长方体的长相当于原来圆柱的什么？长方体的宽相當于原来圆柱的什么？长方体的高呢？长方体的体积呢？这样的一种有序性问题，自然能激发学生的有序性思维，促使学生自主建构、创造圆柱的体积公式。在此基础上，教师可以继续追问：如果我们将圆柱转化成的长方体，换一个位置摆放，那么底面积是什么？高是什么？通过这样的一种有序变换，进一步深化学生的有序观察、有序思考、有序探究，让学生自主建构圆柱的另外两个体积公式（“侧面积的一半乘半径”“圆柱底面周长的一半乘半径乘高”）。在教学中，教师可以引导学生借助数形结合选择最佳公式，获得最佳的问题解决方案，促进学生智慧发展。

有序思维不仅指有顺序、有方向的思维，更指有脉络、有灵魂的思维。教师可以通过变换素材、资源的内容和形式，也可以通过变换活动的内容和形式，来催生学生的有序性思维。有序性思维是学生数学学习能力的重要确证与表征，是学生数学核心素养最为生动的体现。有序性思维，能让学生的数学学习如同呼吸一样自然。

数学学习之“序”不是固定的、一成不变的，而是不断变换、转换的，是开放性的、灵动性的。教师要有效处理学生数学学习“有序”与“无序”的辩证关系，引导学生从“无序性”学习过渡、发展、提升到“有序性”学习，再从“有序性”学习发展、提升到“无序性”学习（一种新的“有序性”学习开始）。学生的数学学习就行进在“有序”与“无序”之间。“有序”与“无序”构成了学生数学学习的质的规定，同时也构成了学生数学学习的闪亮“坐标”。

参考文献：

［１］ 李步良. 归纳推理的内涵与小学数学课堂实施［Ｊ］. 小学数学教育，２０１５（０６）：１２－１５.

［２］ 王健. 在有序思考中探寻数学的真谛［Ｊ］. 西藏教育，２０１３（０６）：２４－２５.

［３］ 张海生. 促进学生“有序思考”的教学策略［Ｊ］. 教育理论与实践，２０１５， ３５（２０）：５３－５５.