一维线性谐振子相干态随时间的演化

吴桐，公丕锋，张金锋

一维线性谐振子相干态随时间的演化

吴桐，公丕锋，张金锋

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

线性谐振子在量子力学中是非常重要的一个理论模型．通过引入湮灭算符和产生算符，把线性谐振子的哈密顿量转化成粒子数表象下的形式，避免了复杂的运算，容易导出一维线性谐振子的能量本征值和本征函数．把相干态展开为谐振子本征态的线性叠加，最后得到一维线性谐振子相干态在坐标表象下随时间的演化关系．发现其相干态是以不同频率随时间振动的一系列波包.

一维谐振子；相干态；量子力学

线性谐振子在量子力学、量子光学等课程中都是非常重要的理论模型[1-2]．当前关于谐振子的讨论也是比较热门课题之一，周文渊[3]等对简单谐振子系统进行了数值模拟模和理论计算，直观地展示了谐振子在不同能级下的本征波函数随位置坐标的变化规律；冯璐[4]等利用微扰法对电磁场作用下的线性谐振子的能级和波函数进行了研究；徐浩[5]利用Wigner函数的性质研究了一维无限深势阱和一维谐振子这2种束缚态模型，发现其能级都是分立的；张迪[6]把线性谐振子的能级和对应的波函数进行了可视化的仿真模拟；线性谐振子在研究光场的Fork态、相干态和压缩态等量子态中也显得非常重要[7-8]．尤其是相干态在理想激光器中是普遍存在的一种基本量子态，其部分量子属性非常接近于经典场的态[9]．当光场被量子化以后可看作多模谐振子的振动，可把光场的电场强度、磁感应强度用产生算符和湮灭算符来表示．量子力学中的一条基本原理就是测不准关系，在相干态下坐标算符和动量算符的误差关系正好符合最小测不准关系．本文利用湮灭算符和产生算符之间的对易关系与狄拉克符号求解了一维线性谐振子的薛定谔方程，得到了坐标表象下的本征态波函数．讨论光相干态与一维谐振子本征态之间的关系，得到了线性谐振子的相干态在坐标表象下随时间的演化关系．体现了狄拉克符号方法在量子力学公式推导中的优越性．

1 一维谐振子本征态函数

激光的光子场是一种玻色子场，湮灭其中一个光子并不影响整个激光场的各种性质，所以用相干态来描述激光场是非常方便的，这样一来相干态就显得非常重要，推导一维谐振子相干态的波函数的具体形式．

一维谐振子的薛定谔方程[10]为

用狄拉克符号可表示为

由于坐标算符和动量算符为厄米算符，所以其本征值一定为实数

一维谐振子的时间演化波函数可写为

湮灭算符、产生算符与坐标算符和动量算符之间的线性关系分别为

其对易关系为

一维谐振的哈密顿算符

若用粒子数算符可表示为

由于哈密顿算符与粒子数算符对易，二者应有共同本征函数，则哈密顿算符的本征方程可写为

粒子数算符与产生算符和湮灭算符的对易关系可写为

易得

（14）

所以

粒子数算符的本征态可写为

可得一维谐振子本征态在坐标表象下的波函数为

2　一维谐振子相干态随时间的演化方程

由于相干态是湮灭算符的本征态，其本征值方程为

相干态展开为粒子数态的线性组合

证明相干态的表达形式，令

代入式（19）可得

又由于

相干态的完备关系也可以通过粒子数态的完备关系而得到

（26）

因而可得在坐标表象下的相干态表示为

这样可得一维线性谐振子相干态的时间演化方程

3 结语

利用狄拉克符号和产生算符与湮灭算符的对易关系求解了一维谐振子的定态薛定谔方程并得出谐振子坐标表象下的本征态函数，展示了狄拉克符号在量子力学公式推导中所体现出来的便捷性．证明了相干态能以一维线性谐振子的本征态为基矢量来进行展开，得到一维谐振子的相干态随时间的演化方程．加深了对单模光场湮灭算符本征态的认识，也有利于对激光器所产生的单模光场的理解.

[1] Walls D F，Milburn G J．Quantum Optics[M]．Berlin Heidelberg：Springer-Verlag，1994：10-15．

[2] Scully M O，Zubairy M S．Quantum Optics[M]．Cambridge United Kingdom：Cambridge University Press，2018：9-13．

[3] 周文渊，张伯宇，罗世平，等．一个简单谐振子系统模型的模拟与计算[J]．大学物理，2020，39（11）：72-75．

[4] 冯璐，吴云飞，张海丰．电磁场作用下线性谐振子的能级及波函数讨论[J]．贵阳学院学报：自然科学版，2019，14（4）：1-3．

[5] 徐皓．Wigner函数的性质及其在一维无限深势阱和一维谐振子中的应用[J]．原子核物理评论，2011，28（1）：44-50．

[6] 张迪．量子力学中线性谐振子的可视化研究[J]．运城学院学报，2015，33（3）：34-36．

[7] Glauber R J．The Quantum Theory of Optical Coherence[J]．Phys Rev，1963，130：2529-2531．

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[10] 周世勋，陈灏．量子力学教程[M]．北京：高等教育出版社，2022：38-44．

Evolution of the coherent states of one-dimensional linear harmonic oscillator

WU Tong，GONG Pifeng，ZHANG Jinfeng

（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

The linear harmonic oscillator is a very important theoretical model in quantum mechanics．By introducing the annihilation operator and the generation operator，the Hamiltonian of the linear harmonic oscillator is transformed into the form under the representation of the particle number，which avoids complex operations and tends to derive the energy eigenvalue and eigenfunction of the one-dimensional linear harmonic oscillator．The coherent state is expanded as a linear superposition of the eigenstates of the harmonic oscillators，and finally the evolution relationship of the coherent states over time under the coordinate representation can be obtained．It is found that the coherent state is a series of wave packets vibrating with time at different frequencies．

one-dimensional linear harmonic oscillator；coherent states；quantum mechanics

1007-9831（2023）07-0048-04

O483

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.010

2023-03-14

安徽省高等学校科学研究重大项目（2022AH040068）；安徽省质量工程项目（2021sysxzx027，2020zyrc143，2020SJJXSFK2147）

吴桐（1998-），女，黑龙江大庆人，在读硕士研究生，从事中学物理教学理论与实践研究．E-mail：1351925378@qq.com

公丕锋（1977-），男，山东临沂人，讲师，硕士，从事量子光学、量子信息研究．E-mail：tuhan2010@126.com