“小先生制”在高中数学课堂中的应用初探

吴静

陶行知先生倡导的“小先生制”指引人人都要将自己认识的字和学到的文化随时随地教给别人；爱德加·戴尔的金子谈学习理论认为“教别人”或者“马上应用”可以记住90%的学习内容.可见参与式学习是最有效果的.加入“小先生”的课堂，学生自幼即教人，为服务社会的实际工作，有利于培养学生的社会适应性；加入“小先生”的课堂，学生充分进行数学语言、数学思维及胆量的训练，促进学生能够大胆地将自己的见解通过语言表达出来，进而形成自己的独立见解；加入“小先生”的课堂，优化了教学环节，为学生创设一个能够充分表现自我的氛围，为每个学生个体提供更多的机遇，促进学生综合素质的全面发展，激发学生学习数学的兴趣，活跃了数学课堂.本文将结合在三个日常教学情境中实施的“小先生制”案例，谈谈如何在常规课堂中应用“小先生制”，进而达到数学教育像空气一样普遍.

一、各抒己见百思齐放

“仁者见仁，智者见智”解决数学问题时常有很多种解法，在处理一些多解法问题时可以请学生上台交流解决方法，为何选此法，能否推广一般，引导学生对比方法，教会学生从不同的角度分析问题，加深理解，发展思维，提升能力.此种情境下，会解题的学生即为小先生，他们站上讲台，表达自己的所思所想.

案例1如图1，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=5，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则EP·BP的最小值是．

师：数量积的解法我们常用的是四种：数量积公式法，投影向量定义法，平面向量基本定理转化成基底法，建系转化成代数运算（坐标）法.针对本题你有什么样的做法呢？为什么选择这个做法，能否推广到一般情形？

生1：此处有等腰梯形，可以以A点为坐标原点建立直角坐标系，转化成坐标运算.如图2，易得B（4，0），E（2，2），C（3，2），则直线BC对应的函数是一次函数y=－2x+8，于是可设P（x，－2x+8），x∈［3，4］，此时EP=（x－2，－2x+6），BP=（x－4，－2x+8），则EP·BP=5x2－34x+56=5（x－17/5）2－9/5，故当x=17/5∈［3，4］时，EP·BP最小值为－9/5.

方法推广：以后在方便建系的情况下都可以建立直角坐标系转化成坐标运算，比如有直角或者等腰条件，还有一些特殊角，比如30°，45°，60°，120°，135°，150°等也可以.重点在于要写清楚各个点的坐标，准确转化到代数运算，突破方法是提升学生的运算素养.

生2：这道题四边长都知道，也很容易算四个角，因此我想采用平面向量基本定即基底转化法，将EP用四边向量基底表示再用定义即可.

易知EP=EC+CP，cosC=－cosB=－5/5，于是EP·BP=（EC+CP）·BP=EC·BP+CP·BP=|EC||BP|cosC+|CP||BP|cosπ =－5/5|BP|－（5－|BP|）|BP|=|BP|2－65/5|BP|=（|BP|－35/5）2－9/5，所以当|BP|=35/5时，EP·BP最小值为－9/5.

方法推广：当所求向量数量积长度和夹角不明确时，可以选择其他合适的向量来表示进而完成运算，一般是题中已知向量或者已知模长和夹角的都适合做基底.重点在于准确选定基底，有时不止一对基底，且夹角也要小心不能出错，突破方法是提升学生的数据分析的素养.

生3：本题直接用定义感觉不好做，长度和夹角都在变，于是考虑作出向量EP在向量BP上的投影向量，投影一作角度不变，长度在变.具体操作：如图3，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，则向量EP在向量BP上的投影向量为FP，而在RtΔEFC中 EC=1，cosC=－cosB=－5/5，则FC=EC·cos（π－C）=5/5.于是

EP·BP=FP·BP=|FP||BP|cosπ=－|BP|（65/5－|BP|） =（|BP|－35/5）2－9/5，所以当|BP|=35/5时，EP·BP最小值为－9/5.

方法推广：投影向量法是向量数量积几何意义的表达，所以能够采用投影法求数量积大小尤其是取值范围问题是非常省时省力的一个方法.重点在于理解向量数量积的本质意义，能够在具体的问题中准确找到一个向量在另一个向量上的投影向量，这对学生思维的深度是有一定要求的，需要学生多加练习，体会知识发生的过程，突破方法是提升学生的逻辑推理素养.

生4：因为EP·BP=PE·PB是共起点的两个向量求数量积，觉得可以取BE中点G然后用极化恒等式，即PE·PB=PG2－GB2，易得|GB|=2，则当|PG|最小时，EP·BP有最小值.如图4，P是线段BC上的动点，当PG⊥CB时，|PG|有最小值.易得sin∠CBA=2/5，sin∠EBA=2/2，于是sin∠PBG=sin（∠CBA－∠EBA）=10/10，从而|PG|=|GB|·sin∠PBG=5/5，（EP·BP）min=（|PG|min）2－|GB|2=（5/5）2-（2）2=－9/5.

方法推广：对于共起点的两个向量求数量积通过取两向量终点连线的中点运用极化恒等式可以起到事半功倍的效果.重点在于此法适合的是“共起点”的两个向量求数量积，具有一定的特殊性，突破方法是提升数据分析、逻辑推理等素养.

数学课堂上一题多解的情境是非常之多的，很多教师也会请学生讲解方法，但是缺乏思维的提炼，而“小先生制”的数学课堂，让学生扮演教师对一个问题解法从思维的切入点到具体操作再到方法的推广以及对学生能力素养要求一一剖析，真正体现了“先生”的传道授业解惑.对于分享解法的学生而言，参与了研究学习，必定印象深刻，增強信心；对于听得学生而言，则是在集体的思维中畅游，积累了更多感悟，必将激发思维，正像英国作家萧伯纳所说：“如果你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们每个人就有了两种思想，甚至多于两种思想.”

二、孰对孰错辩中求真

数学中有许多容易混淆的概念、知识点，他们既有相似之处也有不同，学生在解决此类问题时经常会因概念不清导致不同结果.此时教师不要做“法官”直接下结论，而是交由学生组织“搜证”辩论，对比结果反查过程.此种情境下，慎辨析的学生即为小先生，他们汇总一些易混点，深度挖掘剖析理解.

三个同学不同的解法得到三个不同的答案，孰对孰错呢？教师引导学生成立讨论小组，反查过程，寻找错因.

经讨论发现，生1做法错在认为复数满足x2=|x|2，事实上从代数运算上看，设复数x=a+bi（a，b∈R），则x2=a2+2abi－b2，|x|2=a2+b2，当且僅当b=0时x2=|x|2成立，即x为实数时成立，生1的解法确实所得都是实数解；从几何意义上看，x2是复数的乘法，表示了向量的旋转，而|x|2是复数模的平方，表示的是长度，两者没有等价关系.

生2的做法错在解方程过程中忽略了范围，从而产生增根.事实上，当a=0时，－b2－5|b|+6=0，若b≥0则－b2－5b+6=0，解得b=－6（舍）或1；若b<0则－b2+5b+6=0，解得b=6（舍）或－1，即是两组解a=0，

b=±1；而当b=0时，a2－5|a|+6=0，若a≥0则a2－5a+6=0，得a=2或3（都符合）；若a<0则a2+5a+6=0，得a=－2或－3（也都符合），即是b=0，

a=±2，±3.

生3的做法是可以和生1，生2的做法形成对比的，先待定系数设复数代入，然后再实数范围内解含绝对值的方程利用实现等价转化，避免了讨论，结果正确.

复数集是在实数集上的扩充，很多的运算法则也是类比推广的，而复数的几何意义对应向量，复数加法、减法运算也对应了向量的加法、减法运算，因此三者有着很紧密的联系，既有相似但也存在区别.针对这个混淆点，教师再次引导各小组翻查资料提出一些向量、实数与复数运算的对比，供学生深度辨析.这里总结各小组提出的辨析问题：

数学课堂上当不同结果出现时，老师如果简单判定给出正确答案，则学生不知为何而错，而“小先生制”的数学课堂，让学生对比结果判定正误，搜集资料，参与设计辨析题，意在通过多角度大范围地对比辨析，真正体会知识发生的过程，掌握方法的迁移而不是知识简单的复制，从而提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养.

三、开放探究发散创新

发散思维是思考者根据已有的知识、经验等，从不同角度、沿不同的方向、进行各种不同层次的思考，多触角全方位的寻求与探索新知识.一堂开放的探究课堂上，每一个有思想的学生即为小先生，他们自由地展示自己的想法，不论好差.

这是一个开放的话题，学生根据所学函数比如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数，结合四则运算、绝对值、分段等能够构造很多的函数.每个学生从提出函数到研究函数得到结果再和同组同学交流纠正，无论所举函数简单或复杂，小先生们都相当于在上“幂函数”一课，一遍遍阐述如何研究函数的图象与性质，领悟数形结合的思想方法.

一般地，对于一些重要的思想方法，涉及内容知识较多，可开展开放活动探究课，此时小先生登台，教师只需事先给学生分工，学生提前做好准备，先小组交流，学生进行自评，互评，最终进行各小组成果的汇报课，小组成员进行自评，互评，教师点评.此情境下的“小先生制”数学课堂，人人参与，意在将教育化为“春风风人，夏雨雨人”一样，人人有得到施展的机会.

结语：“小先生制”在高中数学课堂的应用是广泛的，文中提到的三种情境基本上是在习题讲评中，笔者还将继续探索在新授课及试卷讲评课等中的应用.“小先生制”的应用将培养学生深度理解，充分表达，拓宽视野，发展思维．因此，教师要充分发挥“小先生制”的优势所在，不断在课堂上合理践行，从而使“小先生”成为课堂的常客，扎实提升学生的核心素养．路漫漫，“小先生”课堂研究之路任重而道远，学生核心素养的养成之路循序而渐进.

参考文献

［1］章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考［J］.课程·教材·教法，2016，36（7）：44-49.

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［3］卢毅，郭树玺.“小先生制”模式促进理想课堂构筑的有效策略［J］.数学学习与研究， 2022（11）：104-106.

［4］徐雅玲．数学课堂中“小先生制”的实施与思考［J］．基础教育研究，2017（14）：28－29，31.