例探圆锥曲线问题中的易错点

孙微微

圆锥曲线是高考中重点考查的内容，主要重点考查圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.本文就针对圆锥曲线中的几类易错点进行举例分析.

易错点1：忽视圆锥曲线标准方程要焦点位置的讨论

例1 已知双曲线mx2+ny2=1的渐近线方程为y=±3x，则该双曲线的离心率为（）.

A．2或23/3 B．6或23/3

C．2或3 D．2或6

解析：当双曲线的焦点在x轴时，b/a=3，所以e=c/a=c2/a2=a2+b2/a2=1+b2/a2=2.

当双曲线的焦点在y轴时，a/b=3，所以e=c/a=1+b2/a2=23/3.故选A.

易错警示：双曲线方程因焦点位置不同导致对应的渐近线方程也不一样，因此要讨论焦点的位置.

知识点拨：当双曲线的焦点在x轴时，标准方程为x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），对应的渐近线方程为y=±b/ax；当双曲线的焦点在x轴时，标准方程为y2/a2－x2/b2=1（a>0，b>0），对应的渐近线方程为y=±a/bx.

易错点2：忽视椭圆中a、b、c的大小关系

例2 已知直线y=kx+2与椭圆x2/9+y2/m=1总有公共点，则m的取值范围是（）.

A．m≥4B．0

C．4≤m<9D．m≥4且m≠9

解析：因为直线y=kx+2恒过（0，2）点，要使直线y=kx+2与椭圆x2/9+y2/m=1恒有公共点，只需点（0，2）在椭圆上或椭圆内，所以02/9+22/m≤1，即m≥4.又m≠9，所以m≥4且m≠9.故选D.

易错警示：本题容易错选A，方程x2/a2+y2/b2=1中a=b表示圆，不是椭圆.

知识点拨：方程x2/a2+y2/b2=1中，若a>b>0，则表示椭圆；若a=b，则表示圆.

易错点3：忽视检验结论

例3 已知Rt△ABC的斜边为AB，点A（－2，0），B（4，0），则点C满足的方程为．

解析：设C（x，y），由于直角三角形斜边上的中点为M（1，0），如图1所示，则半径为3，即得圆的方程为（x－1）2+y2=9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0.因此C点满足的方程为（x－1）2+y2=9（y≠0）．

易错警示：忽视检验结论致错.点C是直角三角形的頂点，即C点不能在直线AB上，所以y≠0．

知识点拨：画图，通过数形结合找到解题方法及限制条件.

易错点4：忽视隐含条件.

例4 已知2x2+y2=6x，则x2+y2的取值范围为．

解析：由已知得y2=6x－2x2，因y2=6x－2x2≥0，故0≤x≤3，故x2+y2=－x2+6x=－（x－3）2+9.当x=0时，x2+y2有最小值为0；当x=3时，x2+y2有最大值9，故x2+y2的取值范围是［0，9］.

易错警示：题中条件包含两个意思：一是y2=6x－2x2，即y2可以用x的代数式表示，二是y2=6x－2x2≥0，即0≤x≤3，这个条件往往被忽略，产生错解.

知识点拨：利用函数与方程的思想是解决本题的突破口.

易错点5：忽视Δ>0这一前提条件

例5 已知椭圆x2/4+y2=1，过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.

解析：设直线l的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x1，y1），把直线l的方程代入椭圆方程得（4k2+1）x2+16kx+12=0，△=16（4k2－3）>0，得k<－3/2或k>3/2.x1+x2=－16k/4k2+1，x1x2=12/4k2+1，因为∠AOB为锐角，所以OA·OB=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=4（4－k2）/1+4k2>0，解得－2

综上，k的取值范围为（－2，－3/2）∪（3/2，2）.

易错警示：在解决直线与圆锥曲线相交且有交点时，需考虑一元二次方程根的判别式大于0，否则容易出错.

知识点拨：运用“一元二次方程根的判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有交点的重要方法.