带形状参数的五次Bezier曲线的光滑拼接

孙明灿，师 晶

（闽南理工学院信息管理学院，福建石狮 362700）

曲线光滑拼接是计算机辅助几何设计中的重要研究内容[1]，它不仅能满足工业曲线复杂化、多样化的需求，而且广泛应用于电子信息、工业制造及流体力学等领域。

Bezier曲线是曲线造型的常用方法，它具有图形直观、方便调控等优点[2-3]。由于改变Bezier曲线的控制顶点，会影响曲线的形状，所以其不能构造较复杂的工程曲线和曲面[4-5]。另外，随着曲线求导次数的增加，计算量逐步增大，并且容易出现一些难以察觉的不可导的点，这些缺点限制了Bezier曲线在曲线造型中的应用[6-8]。

研究了带形状参数的五次Bezier曲线的光滑拼接问题，并给出曲线基函数和曲线的性质，得到了曲线间不同条件下的光滑拼接定理。通过计算实例说明曲线的光滑拼接定理不但能构造较复杂的工程曲线，而且还可为高次曲线的拼接提供参考。

1 曲线定义及性质

定义1设λ∈[-2,1],t∈[0,1]，称关于t的多项式为带形状参数λ的五次Bezier 曲线基函数。式（1）中的基函数满足以下性质：

（1）非负性：

bi,5(t) ≥0,t∈[0,1],(i=0,1,2,3,4)。

（3）对称性：

bi,5(t;λ)=b4-i,5(1-t;λ)(i=0,1,2,3,4)。

（4）端点性质：

b0,5(0)=b4,5(1)=1,bi,5(0)=0,(i=1,2,3,4),

bi,5(0)=0,(i=1,2,3,4)(0)=0,(i=2,3,4),

bi,5(1)=0,(i=0,1,2,3)(1)=0,(i=0,1,2)。

（5）退化性：当形状参数λ=0 时，五次Bezier 曲线基函数退化为传统的五次Bernstein基函数。

（6）线性无关性：基函数{bi,5(t) }(i=0,1,2,3,4)是线性无关的。

（7）最大值：基函数bi,5(t)(i=0,1,2,3,4)在区间[0,1]上有一个最大值。

当λ=1时，式（1）中的基函数的图形如图1。

图1 基函数图形

定义2 给定R3空间中5 个控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4)，定义带形状参数的五次Bezier 曲线为Pi，其中，t∈[0,1]。

带形状参数的五次Bezier 曲线p(t)具有如下性质：

（1）端点性质：曲线p(t)自首端点P0开始，至末端点P4结束，并且在首末端点的切矢模长分别等于控制多边形首末边边长的（λ+4）倍，即

p(0)=P0,p(1)=P4,p'(0)=(λ+4)(P1-P0)，

p'(1)=(λ+4)(P4-P3)。

证明由式(1)及定义2可得：

将t=0,t=1 分别代入上式可得p(0)=P0,p(1)=P4，故曲线p(t)分别插值于首末两端点P0,P4。又因为

将t=0,t=1 分别代入上式后整理可得故曲线p(t)分别与直线P0P1,P3P4相切，且在首末端点的切矢模长分别等于控制多边形首末边边长的（λ+4）倍。

（2）几何不变性：曲线p(t)的形状仅与控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4)有关，而与坐标系的方向和位置无关。

证明对控制顶点为Pi(i=0,1,2,3,4) 的曲线p1(t)进行线性变换M和平移变换N后，得到控制顶点为Qi(i=0,1,2,3,4)的曲线p2(t)，即：

故曲线具有几何不变性。

（3）凸包性：曲线p(t) 在其控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4)构成的凸包内。

证明 因为基函数bi,5(t) ≥0，且(0 ≤t≤1;i=0,1,2,3,4)，所以当t∈[0,1]时，p(t)是特征多边形各顶点的加权平均，且权因子为基函数，即曲线p(t)是控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4)的凸线性组合，故曲线p(t)落在控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4)构成的凸包内。

（4）对称性：将曲线p(t)的控制多边形的次序取反后，控制顶点Pi(i=0,1,2,3,4)定义的曲线与控制顶点P4-j(j=0,1,2,3,4)定义的曲线相同，仅方向相反，即

p(t;λ;P0,P1,P2,P3,P4)=

p(1-t;λ;P4,P3,P2,P1,P0)

λ∈[-2,1],t∈[0,1]。

证明由定义2得

故曲线满足对称性。

（5）变差缩减性：曲线p(t)比其控制多边形的波动小，即曲线p(t)的光滑性不低于其控制多边形的光滑性。

（6）保凸性：当曲线p(t)的控制多边形是凸多边形时，曲线p(t)是凸曲线。

2 曲线拼接

分别为控制顶点Pi,Qi(i=0,1,2,3,4)定义的带形状参数的五次Bezier曲线。

定理1两条带形状参数的五次Bezier 曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处G1光滑拼接的充要条件是：

其中：δ>0。特别地，当δ=1 时，两曲线在连接点P4=Q0处达到C1光滑拼接。

证明若两曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处G1光滑拼接，则它们在连接点处具有相同的一阶切矢方向，即

由曲线的端点性质得

将上式代入式（4）化简得

(λ1+4)(P4-P3)=δ(λ2+4)(Q1-Q0)。

又因为P4=Q0，整理后可得式(3)是两曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处G1光滑拼接的充要条件。

当δ=1 时，即成立时，两曲线在连接点P4=Q0处具有相同的一阶切矢，此时这两条曲线达到C1光滑拼接。

为方便讨论两条曲线在连接点P4=Q0处G2和C2光滑拼接的情况，设P3P4与-2(12+5λ1)P3+4(2λ1+3)P4组成的平行四边形的面积为S1，且P3P4与 4(2λ2+3)Q0-2(12+5λ2)Q1+2(6 +λ2)Q2组成的平行四边形的面积为S2。

定理2两条带形状参数的五次Bezier 曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处G2光滑拼接的充要条件是：两曲线满足G1光滑拼接，并且有

证明两曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处G2光滑拼接的充要条件是：两曲线除满足G1光滑拼接外，还需在连接点处具有相同的曲率矢:

由曲线的端点性质及式（2）得

将式（7）和式（8）代入式（6）整理后即可得出式（5），得证。

定理3当形状参数λ1=λ2=1时，两条带形状参数的五次Bezier 曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处C2光滑拼接的充要条件是：两曲线满足C1光滑拼接及

证明两曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)在连接点P4=Q0处C2光滑拼接的充要条件是：两曲线除满足C1光滑拼接外，还需在连接点处具有相同的二阶导数，即

将C1光滑拼接及式（8）代入式（9）整理后即可得出结论，得证。

3 计算实例

在曲线造型中，适当选取控制顶点，构造带形状参数的五次Bezier 曲线。通过调整参数取值可以灵活改变Bezier 曲线的形状。根据曲线间的光滑拼接定理，可设计较复杂的工程曲线和曲面。

3.1 实例一

在构造高脚酒杯曲面时，母线需要两条五次Bezier曲线拼接而成。

首先，根据控制顶Pi,Qi(i=0,1,2,3,4)分别计算出两条五次Bezier 曲线p1(t;λ1)和p2(t;λ2)。然后，在控制多边形P0P1P2P3P4和Q0Q1Q2Q3Q4中，分别调整两个形状参数λ1,λ2以获得较满意的曲线。当λ1=0.6，λ2=0.2 时，根据定理2 将两条曲线在连接点P4(Q0)处进行光滑拼接，拼接后生成的高脚酒杯曲面的母线，如图2。最后，将母线旋转即可得到高脚酒杯曲面，如图3。

图2 高脚酒杯曲面的母线

图3 高脚酒杯曲面

3.2 实例二

在构造烛台曲面时，母线需要4 条五次Bezier 曲线拼接而成。

首先，根据控制顶点分别计算出4 条五次Bezier曲线p1(t;λ1)，p2(t;λ2)，p3(t;λ3)和p4(t;λ4)。然后，在4 个控制多边形中，分别调整4 个形状参数λ1,λ2,λ3,λ4以获得较满意的曲线。当λ1=0.89,λ2=0.05,λ3=0.13,λ4=0.51时，根据定理1和定理3将四条曲线分别在连接点处进行光滑拼接，拼接后生成的烛台曲面的母线如图4。最后，将母线旋转可得到烛台曲面，如图5。

图4 烛台曲面的母线

图5 烛台曲面

4 结语

研究带形状参数的五次Bezier 曲线的光滑拼接问题，得到了曲线基函数性质、曲线性质及曲线间的G1、G2、C1、C2连续性条件。通过计算实例验证了曲线间光滑拼接的有效性。在今后的工作中将对高次Bezier 曲面的光滑拼接进行探索。