指向深度学习的教学实践与思考

金永涛

深度学习，是在教师引导下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习活动［1］.深度学习强调教师主导下的学生主动参与、积极建构、强调学生的教育性发展.在这一过程中，学生通过掌握学科核心知识，把握学科本质和思想方法，理解学习过程，形成积极的内在学习动机并获得发展.

数学教学是思维的教学，罗增儒教授指出：数学家创造了数学知识，数学教师创造了对数学知识的理解.只有教师具有深度教研的意识、能力和素养，在日常教学中一贯坚持指向深度学习的教学设计与实践，才能更好地培养和提升学生的数学思维能力和思维品质，落实数学核心素养.

1 问题提出

在高一指数函数与对数函数的教学中，经过系统研究函数性质后得到了它们的图像.学生在完成课后练习时，常会遇到了函数y=2x－1/2x+1、y=log22－x/2+x、y=lg（x+x2+1）及相关的问题.借助换元法、整体代换与复合函数的方法对问题给出解答后，学生提出了一个共同的疑问：以往对函数的学习，都是通过研究函数的性质并作出图像.能否系统研究上述函数的性质呢？基于这些函数的性质能作出它们的图像吗？学生提出的新设想，是尝试应用函数性质的研究方法研究陌生函数的需求和愿望，这是开展深度学习、提升数学学习能力的最佳契机，本文笔者将自己的教学设计实施与大家分享交流.

2 指数相关函数的对称性探究

题目1 研究函数f（x）=2x－1/2x+1的性质并作图.

学生的解答过程如下：

研究可知，f（x）是定义域为R的增函数且为奇函数，函数的零点为x=0.在研究單调性时，观察解析式代数结构，将其整理为f（x）=1－2/2x+1的形式，可识别出f（x）为增函数；通过判断f（－x）与f（x）的关系得到了奇函数这一结论.结合上述性质，学生基于经验作出了f（x）的一个错误的图像（图1）.

2.1 学生的困惑与疑问

虽然得到了f（x）的图像，但学生并不能理解，为何指数函数不具有对称性，而f（x）却具有对称性；指数函数存在渐近线，f（x）是否存在渐近线.

2.2 指向深度学习的教学设计

为了引导学生深入探究f（x）的函数性质及其内在联系，提出如下思考问题.

引导思考1 你知道哪些与指数函数有关的奇函数、偶函数？

学生回顾并给出形如y=2x、y=2x+2－x是偶函数，y=2x－2－x、y=2－x－2x是奇函数.引导学生梳理已有知识储备和学习经验，为进一步发现、探究指数相关函数的对称性做好铺垫和准备.

引导思考2 上面的奇函数和偶函数与f（x）有什么关系呢？怎么探究它们之间的关系呢？

学生分析后发现，由熟悉的奇函数和偶函数可以构建出新的奇函数、偶函数.如y=2x+2－x/2x－2－x、y=2x－2－x/2x+2－x均为奇函数，在形式上与f（x）很类似；学生进一步探究发现，如果将函数y=2x－2－x/2x+2－x的分子、分母同时乘以2x，变形可得y=4x－1/4x+1，这与f（x）的解析式的结构是一样的. 类比可知，对f（x）进行如下变形，f（x）=2x－1/2x+1=2x/2－2－x/2/2x/2+2－x/2，这样f（x）就化成了一个奇函数与一个偶函数的商的形式.

引导思考3 f（x）是否存在渐近线？

引导学生回顾指数函数的渐近线，不仅在函数图像上有所呈现，也可以借助解析式从数量关系上给出描述，启发学生借助f（x）的解析式研究渐近线的数量关系.

学生思考后指出，由f（x）=1－2/2x+1可知f（x）<1，图1是错误的.因为当x→+∞时，f（x）<1且f（x）→1，即y=1是函数的一条渐近线，再由奇函数可知

y=－1也是函数的渐近线，从而得到函数f（x）的图像应该是图2. 教师指出，基于函数性质的作图过程，是对函数性质的深刻理解与准确应用，是对函数性质的最佳呈现.

2.3 教学反馈与评价

为了巩固、强化学生的认识和理解，教师提出下列问题.

探究思考 研究函数f（x）=2x/2x+1的性质并作图.

学生整理得到f（x）=1－1/2x+1，定义域为R；可判断出f（x）在R上单调递增；当x→+∞时，f（x）<1且f（x）→1；当x→－∞时，f（x）>0且f（x）→0，即y=1和y=0是函数的两条渐近线，作出函数图像（图3），观察图像，学生给出猜想：f（x）的图像关于点0，f（0）成中心对称. 学生观察图像大胆猜想，是对函数性质的深度思考.教师鼓励学生进一步探究：怎么检验这一猜想呢？

学生尝试1 判断f（x）的图像是否关于点0，f（0）成中心对称，等价于验证函数是否满足f（－x）+f（x）=1恒成立，整理可得上述结论是成立的.

学生尝试2 运用联系的观点，借助奇函数与中心对称的关系，判断f（x）的图像是否关于点0，f（0）成中心对称，只需验证y=f（x）－1/2是否为奇函数即可.

3 对数相关函数的奇偶性探究

题目2 判断函数f（x）=log22－x/2+x的奇偶性.

学生的解答：函数的定义域为（－2，2），且对任意的x∈（－2，2），都有－x∈（－2，2）；f（－x）=log22+x/2－x=－f（x），所以f（x）是奇函数. 或者，可化为f（x）=log2（2－x）－log2（2+x），也能判断出f（x）是奇函数.

3.1 学生的困惑与尝试

虽然问题给出完整解答，但学生不能准确理解f（x）为何是奇函数，函数的什么性质是使其成为奇函数的核心因素；既然f（x）是奇函数，能否进一步研究函数的性质，尝试作出函数的图像.

尝试1 函数f（x）中的真数u（x）=2－x/2+x的图像具有中心对称，整理可得u（x）=－1+4/2+x，所以u（x）的对称中心为点（－2，－1），图像如图4. 但由定义域为（－2，2），只涉及图4的实线部分， u（x）的这部分图像不具有对称性. 这说明函数u（x）的中心对称性不是f（x）为奇函数的原因.

尝试2 系统研究f（x）的其他性质（单调性、零点、渐近线等），尝试作出f（x）的图像.

（1）函数的单调性：由u（x）在（－2，2）上递减；根据单调性的定义，对任意的x1，x2∈（－2，2）且x1u（x2），进而一定有f（x1）>f（x2），所以f（x）在区间（－2，2）上单调递减.

（2）函数零点：易知x=0是函数唯一的零点.

（3）渐近线：当x>－2且x→－2时，u（x）→+∞则f（x）→+∞；当x<2且x→2时，u（x）>0且u（x）→0则f（x）→+∞. 可知，x=－2和x=2是f（x）的两条渐近线.

根据f（x）性质可作出函数的图像（图5）.

3.2 指向深度学习的教学设计

基于上述尝试，引导学生从“数”与“形”两个方面，探究、思考f（x）成为奇函数的影响因素.

引导思考1 观察函数u（x）、f（x）的图像（图6），你能从u（x）的取值分布判断出f（x）的奇函数性质吗？

观察图像后，学生很难由u（x）判断出f（x）为奇函数. 教师指出，函数图像固然直观，但有时很难呈现函数性质的深层次信息，要借助解析式从数量上给出精准的刻画.

引导思考2 对于函数关系式f（－x）=－f（x），真數u（x）具有什么性质？

由f（－x）与f（x）互为相反数，可知u（－x）与u（x）互为倒数关系，即u（－x）=1/u（x）. 引导学生归纳出，对于定义域内任意的x和－x，当真数u（－x）与u（x）互为倒数时，f（x）是奇函数.

3.3 教学反馈与评价

为了巩固、强化学生的认识和理解，教师提出下列问题.

思考问题1 你能给出一个与对数有关的函数且为奇函数的例子吗？

学生从定义域的角度给出实例，如f（x）=log23－x/3+x，f（x）=log22－x/2+x（－1

思考问题2 研究函数f（x）=lg（x+x2+1）的性质，并试着画出函数图像.

有了前面的经验积累，学生能够有意识地研究函数性质，得到函数为奇函数这一结论.

（1）定义域为（－∞，+∞）.

（2）奇偶性：f（－x）+f（x）=lg（x2+1－x）（x2+1+x）=lg1=0，所以f（x）是奇函数.

（3）单调性：记u（x）=x+x2+1.当x∈［0，+∞）时，易知u（x）递增，则f（x）递增；

当x∈（－∞，0］时，由奇函数的对称性，可知f（x）递增，进而u（x）递增.

（4）取值趋势与渐近线：当x→+∞时，u（x）→+∞，u（x）→2x且u（x）>2x，则f（x）→+∞；当x→－∞时，u（x）→0且u（x）>0，则f（x）→－∞. 从上述分析可得y=2x与y=0是u（x）的两条渐近线.

基于上述分析，作出u（x）的图像（图7），在绘制f（x）图像时，很多学生参考u（x）的图像作出f（x）的图像（图8）. 此时，教师进一步引导学生思考：①这样作图的根据是什么？②绘制f（x）图像时，我们可使用的信息有哪些？学生思考后发现，由y=2x是u（x）的一条渐近线，当x→+∞时，f（x）→lg2x，从而判断出图8中f（x）的图像是错误的；当x<0时，由f（x）是奇函数，作出f（x）的图像（图7）.

4 教学反思

4.1 发现问题和提出问题是开展深度学习的最佳支点

问题是数学的心脏. 发现和提出问题，是自主学习与深度学习的最佳支点. 对题目1和题目2的教学，都是在学习过程中发现并提出了学生普遍存在的一个共性问题，对学生有一定的挑战性，学生通过解决问题实现了对知识与思维的深刻理解，有助于学生形成科学、规范的研究方式. 好的数学问题，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能启迪学生的思维，促进学生对数学的深层次理解. 创设恰当的情境，鼓励学生发现和提出问题，有利于提升数学思维能力，有利于提升学生的研究能力和创新意识，有利于培育学生的批判思维和理性精神.

4.2 深度教研是深度学习的根本前提

深度学习开展的效率与质量，究其根本取决于教师的深度教研意识、能力和素养. 只有教师不断践行指向深度学习的教学设计与实践，以学生的认知发展规律为基础，以实现知识理解的系统性和深刻性、探究和把握数学知识本质为根本，以揭示知识蕴含的数学思维、灵活运用数学思想方法创造性地分析和解决问题为核心，才能更好地培养学生的高阶思维能力，落实数学核心素养.

4.3 学法指导是深度学习的根本保障

教师不仅要研究教学，还要研究学法，站在学生的视角审视数学学习.在题目1中，学生习惯于“就题论题”，通过设置有梯度、有层次的思考问题，引导学生将思考不断引向深入，逐步探究问题的本源，有助于培养学生的理性精神与批判思维.引导学生有效开展观察与分析、数学运算与逻辑推理、交流与反思，提升学生的数学综合能力.培养学生深度学习的意识，提升高阶思维能力；培养学生的探究意识，努力揭示知识的本质和问题的本源；培养学生的多元思维，提升迁移能力、发散思维和创新意识.

参考文献

［1］ 郭华.深度学习及其意义［J］.课程·教材·教法，2016（11）25-32.

［2］ 程华. 数学课堂思维教学若干问题的思考［J］.数学通报 2018（3）.

［3］ 姜志远，潘超.理解越深刻 解题越高效［J］.数学教学，2020（10）：33-37.