熔融金属吊车能量和光滑整形防摆控制器设计

刘惠康，鄢梦伟，柴 琳，孙博文

（武汉科技大学信息科学与工程学院，湖北武汉 430081）

1 引言

由于近年来冶金工业的快速发展，熔融金属转运吊车得到了广泛的使用，为保证最大程度安全生产，操作工人需具有丰富的工作经验，但由于吊运过程操作难度大、工作强度高，稍有不慎便容易引发安全事故，而且在冶金业中液态金属的吊运作业对它的安全性能提出更高的要求［1］。为了保证吊车摆角在精准定位的同时并减小摆角的晃动，提高吊车在运输过程方面的安全性，广大学者针对吊车做了大量的研究工作。文献［2］提出了一种利用广义预测控制整定PID参数的方法，使得传统的PID控制器能够有效地抑制和消除起重机吊钩的游摆，取得了较好的控制效果。文献［3］设计了能抑制系统及干扰影响的吊车防摆定位全过程自抗扰控制器，将繁琐的控制系统参数化为容易实现的单参数调整，提高了吊车作业效率。文献［4］将非线性反馈纳入控制设计当中，引入摆角抑制因子，提出三维空间的桥式吊车控制方法。文献［5］通过分析二级摆桥式吊车系统的无源性以及引入一个广义的信号，设计了一种带有控制输入约束的能量耦合控制方法，仿真实验证明该方法具有良好的鲁棒性。文献［6］提出了一种能产生光滑指令的零振动指令光滑器来消除吊车摆动的残余振动，然而，上述方法并没有考虑吊车在吊运高温熔融金属时液态负载造成的波动干扰，不能消除外界造成的干扰波动。而在熔融金属转运实际运行过程中，液态负载波动对系统运行造成的影响不可避免，现有方法大部分都是对吊车进行线性化的特点设计控制器，但是负载液态由于在防摆过程中会产生剧烈晃动，严重时易系统固有频率达到一致时容易诱发谐振，进而造成外在波动太大使系统摆角超过近似线性化范围，导致振荡抑制效果较差。

基于上述问题，基于吊车系统的无源性对吊车进行建模对吊车进行分段分析建立了一个能量控制器，并通过实验证明其具有良好的鲁棒性。再利用光滑整形器对系统原始操作命令进行卷积处理，不仅可以消除负载液态的波动晃动干扰并进一步减小摆角振幅，增强防摆效果。

2 二维桥式吊车动力学模型的建立

由于实际吊车系统比较复杂，系统除了具有非线性和强耦合性的特点之外，还会受到各种干扰（如小车与导轨的摩擦）的影响，通过分析吊车系统的特点对吊车进行简化模型处理并作出如下假设：

（1）忽略钢丝绳的质量；（2）不考虑钢丝绳在吊车摆动过程中发生的长度变化；（3）负载只能于铅垂面内摆动运动，且吊具与负载视为一摆动的质点；（4）空气阻力和风阻忽略不计；（5）小车驱动力为u，忽略加减速器、电机等传动机构非线性影响；（6）吊车摆动过程中液态负载产生的阻力为fb；（7）不考虑系统在防摆过程中产生的弹性形变；

结合以上的假设条件，根据拉格朗日方程建立固定绳长二维桥式吊车动力学模型［7］如下：

式中：M—小车的质量；m—载荷的质量；L—小车与负载间的绳长；fr—小车与导轨之间的摩擦力；θ—载荷摆动摆角；g—重力加速度；fb—液态负载产生的波动阻力。

吊车系统水平移动的动力学模型可简化成，如图1所示。

图1 二维桥式吊车示意图Fig.1 Schematic Diagram of Two−Dimensional Bridge Crane

其中，液态负载产生的波动阻力大小与单摆摆动的角速度大小成正比，且由于摆动过程中角度非常小，把阻力方向近似看为水平方向。

式中：kb∈R+—控制增益。

3 控制器的建立

桥式吊车系统的控制框图，如图2所示。首先基于吊车无源性的特点对吊车系统进行逐段分析并构造相应的储能函数，首先考虑负载相对于吊车的运动的能量函数，进一步考虑负载与吊车同步运动时的动能及负载与吊车位置之间的“距离势能”，并将它们组合成新的系统储能函数，当且仅当吊车台车速度、定位误差、负载摆角、角速度和角加速度都为0时，储能函数才为0，根据构造的能量函数设计出相应的控制器并利用Lyapunov 方法和La⁃Salle不变性原理证明了系统状态渐近收敛到目标位置，能量控制器的建立可以使吊车保证快速精准定位并达到有效的消摆效果，而由于吊车在能量控制器的作用下防摆过程较快，会引发液态金属负载的波动干扰进而导致系统难以稳定，因此引入光滑整形器对原始控制命令进行卷积积分处理来抑制液态负载对系统产生的振荡，它的工作原理如下：操作员给出的原始操作命令经过与光滑整形器的卷积处理产生一个新的光滑整形命令，该光滑整形命令用来驱动系统，实现对吊车控制系统的平滑驱动，在保证吊车能快速精准的实现防摆过程的同时消除由负载液态产生的晃动干扰。进一步减小吊车系统摆幅、增强系统防摆能力。

图2 桥式吊车系统控制框图Fig.2 Control Block Diagram of Overhead Crane System

3.1 能量控制器的设计

在熔融金属吊车运输液态钢水的过程，要实现吊车能准确快速的到达目标位置，同时保证运输过程中吊车摆角能快速的衰减至零，即：

式中：xd∈R1—目标位置，为此，定义台车的定位误差e(t)如下：

将负载的运动分解为水平方向和竖直方向上的运动，首先考虑在竖直方向上时负载相对于台车的运动进而构造出能量函数，然后分析在水平方向上负载与台车共同的运动，最后分析负载根据位移指令达到目标位置之后的“距离势能”，最终确定吊车系统的储能函数如下。

式中：kp，kE∈R+—控制增益，可以看出，当且仅当吊车台车速度、定位误差、负载摆角、角速度和角加速度都为0时，储能函数V(t)才为0，因此只需设计控制率使得储能函数V(t)为0，则可将所有的系统状态镇定到目标位置。

对式（5）进行求导，可得：

为了能使吊车系统的储能函数V(t)能量逐渐衰减至0，即(t) ≤0，可得吊车系统的加速度为：

式中：kd—正的控制增益，不考虑液态负载产生的阻力fb结合式（1），我们设计反馈控制器如下：

将设计的能量控制器用于吊车消摆，设置吊车位移为2m，通过simulink仿真得到系统的动态响应，如图3所示。

图3 能量控制器作用前后的仿真实验结果Fig.3 Simulation Experiment Results Before and After the Action of the Energy Controller

由图3可以看出，系统在未加入在任何控制作用之前，吊车在达到目标位置之后仍然处于运行状态，吊车摆角几乎无衰减，系统状态难以达到稳定；单独加入能量控制器作用后，不考虑液态重心干扰，台车在大概8s 时到位目标位移地点，吊车最大摆角为3.08°，设计的能量控制器能实现吊车的快速精准定位，且负载摆角不大并且镇定时间缩短了很多，实现了良好的瞬态和稳态性能。

3.2 加入模拟液态金属重心干扰

在熔融金属转运吊车转运过程中，考虑液体重心波动干扰fb，由于能量控制器使得吊车系统防摆过程时间缩短，会导致液体重心波动较大引起晃动，甚至会引起系统的谐振造成设备侵翻。采用一个近似于系统固有频率的波动干扰来模拟熔融金属重心变化对负载摆角造成的扰动，且考虑干扰信号会随着摆角的减小而减弱。在加入干扰信号之后，能量控制器难以保证负载仍能准确平稳的到达目标位置，造成防摆失败，其作用效果后系统响应结果，如图4所示。系统响应时间为20s，台车到达目标位置之后仍难以收敛，吊车摆角难以衰减，系统近似于产生一个等幅振荡，此时吊车在能量控制器的作用下难以达到平衡，严重时甚至容易造成吊车侵翻，造成安全事故。

图4 液态重心干扰对系统输出的影响Fig.4 The Influence of Liquid Gravity Center Interference on System Output

3.3 光滑整形器的设计

由于负载为高温液态金属的特殊工况，能量控制器控制的高温熔融金属转运吊车在液态重心的干扰下难以达到预期效果，为了进一步达到良好的防摆效果，消除液态金属负载带来的干扰，增强吊车的防摆稳定性，引入了一种光滑整形技术，对操作命令进行预处理，设计了一个光滑整形器与能量控制器相结合共同作用，这种光滑整形器可以在固有频率模型误差−19%到无穷大范围内提供5%的抗干扰抑制效果。由参考文献可知桥式吊车系统为二阶振荡系统，将熔融金属吊车模型简化看作为一个单摆系统［8］。由于吊车看作为单摆可确定它的摆动频率公式为：

吊车系统在液态重心阻力fb干扰下的光滑整形函数y(τ)的二阶振荡响应为：

式中：ω、ζ—系统的自然频率和阻尼比。

则系统响应式（10）的振幅为：

其中，

很多情况下瞬态振动对机械系统有很大影响，如冶金工业上钢水的运输，在运输的过程中不允许液体溅出，除此之外，为了确保光滑后的命令不对后续系统防摆输出量产生影响，光滑整形函数的积分还要被约束等于1：

根据式（11）~式（14）可解出具有最短调节时间且连续的光滑整形函数：

式中：T—阻尼振荡周期模型，y0满足：

在吊车达到稳定状态之后，吊车角速度为0，即fb也为0，即此时液态重心停止晃动，光滑整形函数在消除了液态重心干扰之后也停止作用，不影响吊车的预操作任务。

在引入光滑整形技术之后的仿真结果，如图5 所示。通过对比图3~图5 的吊车位移响应结果相比较可以看出：系统在能量控制器单独作用是系统可以平稳且快速的达到指定目标位置，但是在引入负载液态重心的干扰后，系统在能量控制器的作用下在达到目标位置之后难以达到稳定，在引入了光滑整形技术之后，由负载液态重心引起的位移干扰可以得到一个有效的清除。

图5 结合能量控制器引入光滑整形技术后吊车摆角响应Fig.5 After the Smooth Shaping Technology is Introduced in Combination with the Energy Controller the Crane Swing Angle Response

不仅可以消除由液态负载重心带来的摆角干扰，还可以在固有频率模型误差范围内提供一定的振动抑制效果，在加入光滑整形器作用后耗时5s左右；且有效的减小了系统的摆角和摆幅，实现系统的精准定位。设计的光滑整形器在设计点（模型频率和阻尼比）处具有零振荡特性。

4 仿真实验及分析

为进一步验证能量结合光滑整形控制方法的有效性，对吊车模型进行了建模并搭建了Simulink模型，根据仿真实验的调试设置了Matlab/Simulink仿真参数，其中吊车系统参数：

M= 4kg，m= 16kg，L= 2m，g= 9.8m/s2，u= 16N，fr= 8N。在进行了充分的调试后，能量控制器的参数增益选取：kb= 1.2，kp=0.3，kd= 3.2，kE= 1.4；将上述参数代入式（8）并进行仿真，选取Simulink仿真周期T= 20s，并从0时刻开始输入指令xd= 2m，可得到图3、图4能量控制器控制下的吊车位移和吊车摆角响应。光滑整形器参数为ζ= 0.2，ω= 2.2，即通过式（16）可得出y0≈0.3，按照此参数设置控制器，从图中可以看出，吊车从收到位移指令后到达系统目标并维持稳定耗时大概为8s，并且超调量为0，最大摆角为2.38°。并将光滑整形器与能量控制器相结合的控制方式和文献［9］设计的PID控制器效果及其文献［10］设计的LQR控制器效果进行对比（PID 控制器和LQR 控制器均未考虑熔融液态金属干扰）；对比效果图，如图6所示。得到控制效果对比，如表1所示。

表1 控制器控制效果对比Tab.1 Comparison of Controller Control Effect

图6 三种控制器吊车位移控制效果对比图Fig.6 Comparison of Crane Displacement Control Effects of Three Controllers

从表1中可以看出，在引入能量和光滑整形控制的设计方法明显要优于PID 控制器和LQR 控制器，设计的优化PID 控制器能保证系统无超调量的到达目标位置，但是系统响应时间过长，且最大摆角相对能量结合光滑整形控制设计方法摆角更大，影响整个系统的工作效率；而LQR 控制器虽能较好的保证台车运动的时间最优性，且相对PID控制器摆角较小，但是系统易发生超调，而且其加权矩阵比较难设计，易出现较大的误差，同意不利于吊车稳定。

在能量控制的基础上引入光滑整形的方法可以将负载摆角的摆动范围进一步减小，且在负载发生摆动后吊车摆角的大小得到了迅速的衰减，而且在系统响应时间为3s时，光滑整形器在克服液态重心干扰的情况下还能进一步缩小吊车的摆角振幅，响应时间更快。

为进一步验证系统的鲁棒性，考虑到吊车在运行过程中可能会受到外界的空气阻力干扰或者发生一下小碰撞，导致载荷发生异常扰动。为模拟此种工况，在15s时对系统施加大小为5倍单位冲击响应大小的力，仿真效果，如图7所示。

图7 施加外部干扰对系统输出的影响Fig.7 The Impact of External Interference on System Output

从图7 可以看出，当系统运行到15s 时，对系统施加外部干扰，在该控制方法下，系统很快就能重新达到稳定状态，外部干扰很快就被消除，证明了该方法具有很强的鲁棒性。

5 结论

熔融金属转运吊车在冶金行业中具有非常重要的意义，由于特殊工况下其转运的负载为高温液态金属，在实现吊车防摆控制的过程中产生的晃动干扰会严重影响吊车在防摆定位下的控制效果，先是设计一个能量控制器是吊车系统能快速且稳定的消除系统载荷摆动并实现系统的精准定位并且可降低系统驱动能耗，进而提出一个模拟吊车固有频率的波动干扰诱发系统谐振，可以看出系统发生等幅振荡，系统难以达到稳定，因此提出了一个光滑整形技术来消除在吊车转运过程液态重心波动带来的干扰，该技术不影响吊车消摆的预定操作，并且进行实现验证发现光滑整形器能够进一步减小系统摆角，减小系统振荡，通过实验验证了系统的有效性和鲁棒性。