妙用数学定理，解决生活问题

康海芯

三角形内角和定理及其外角性质是初中数学证明的重要内容之一，揭示了三角形的内角、外角数量关系。它在生活中有广泛的应用，下面我们举例说明。

一、善用三角形内角和，计算视角度数

例1 如图1，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数为__________°。

【解析】要求∠ACB的度数，可以考虑连接AB，构造△ABC，先求出∠CAB与∠ABC的度数，然后利用三角形內角和定理即可求解。

解：连接AB，如图2。

∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，

∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，

∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°

-110°=70°。

【点评】本题是一道考查三角形内角和的应用题，解答本题的关键是连接AB构造三角形，利用三角形内角和定理求解。

二、活用三角形内角和，确定客机飞行角度

例2 如图3，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（AB）18°飞到了C地（即∠A=18°），经B地的导航站测得∠ABC=10°。此时，飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地。那么，这一方向与水平方向的夹角∠BCD=____________。

【解析】要求∠BCD的度数，结合已知条件，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”求解。因为∠A=18°，∠ABC=10°，所以∠BCD=∠A+∠B=28°。

【点评】本题是一道考查三角形外角性质的应用题，解答本题的关键是抓住所求角度与已知角之间存在的数量关系，直接利用三角形的外角性质求解。

三、巧用三角形外角性质，检验零件合格性

例3 一个零件的形状如图4所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°。检验工人量得某个零件∠BDC=148°，就断定这个零件不合格。这是为什么？

【解析】本题只要求出合格零件的∠BDC的度数即可，可以适当添加辅助线，如延长CD，交AB于点E，根据三角形的外角性质求出∠DEB，再利用三角形外角性质求得∠BDC。

解：如图5，延长CD，交AB于点E，

∵∠A=90°，∠C=32°，

∴∠DEB=∠A+∠C=90°+32°=122°。

∵∠B=21°，

∴∠BDC=∠DEB+∠B=122°+21°=143°。

∵工人量得这个零件的∠BDC=148°，

∴此零件不合格。

【点评】本题是一道考查三角形外角性质的应用题，解答关键是添加辅助线，构造三角形，两次利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”进行求解、验证。

四、妙用三角形内角和，科学调整椅子角度

例4 图6是折叠式沙发椅的示意图，相关数据已经标注在图中。AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E的大小保持不变。为更舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=120°，则图6中∠D应____________（填“增加”或“减少”）____________°。

【解析】如图7，延长EF，交CD于点G。先利用三角形内角和定理求出∠ACB=75°，再利用“对顶角相等”可得∠GCE=∠ACB=75°，然后利用三角形的外角性质可得∠FGD=105°，最后利用三角形的外角性质，求出调整后∠D的度数为15°。所以∠D应减少5°。

【点评】本题是一道考查三角形内角和以及外角性质的综合题，解答本题的关键是添加辅助线，构造新的三角形，利用三角形的内角和及外角性质进行求解。

（作者单位：广东省深圳市龙华中学）