雅可比变换理论的来源初探 *

徐 快，李 威

（西北大学 科学史高等研究院，陕西 西安 710127）

0 引言

椭圆函数是19 世纪的中心学科，为复变函数、数论等其他学科提供了重要的方法和思想。欧拉（Leonhard Euler， 1707-1783）、勒让德（Adrien - Marie Legendre， 1752 - 1833）、高斯（Carl Friedrich Gauss， 1777 - 1855）和阿贝尔（Niels Henrik Abel， 1802-1829）等许多伟大的数学家先后都尝试在这一领域有所突破，而雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi， 1804-1851）无疑是最重要的人之一。他和阿贝尔各自独立地创立并发展了椭圆函数，共同建立了一个新的理论。在此之后，尽管魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）等人将椭圆函数引入更严格的理论和更复杂的应用，但雅可比的椭圆函数仍然是更一般的理论中具体例子的重要来源。［1］429

椭圆函数发展之初，椭圆积分的变换是个难题，经过半个多世纪的发展，最终形成椭圆函数的变换理论。研究椭圆函数的变换实际上是研究具有不同双周期椭圆函数间的关系。［2］雅可比就是从椭圆积分的变换来展开研究的，这在某种程度上影响了他后来绝大多数重要的理论，比如模方程、乘积理论和著名的θ函数等，都是在初步研究第一类椭圆积分的变换问题时提出的。［3］530变换理论不仅是了解雅可比椭圆函数论的关键，而且在之后椭圆函数的发展过程中也扮演着重要的角色，所以研究雅可比的变换理论对其整个工作和椭圆函数的发展，甚至19 世纪的数学都是极其重要的。

早 在1775 年 和1818 年，兰 登（John Landen， 1719-1790）和高斯就已经分别发表了二次变换的两种形式，19 世纪初勒让德也给出了椭圆积分的二次变换和三次变换。1827 年，雅可比将椭圆积分的二次变换推广至任意阶的情形并给出了一般变换定理及其证明，但是该变换还只是在椭圆积分之间进行。最终，雅可比在他的著作《椭圆函数基本新理论》中将椭圆积分反演，才正式建立起椭圆函数的变换理论。目前，许多数学史著作都包含雅可比及其椭圆函数的内容，不过大多数学者都专注于雅可比最重要的两个成就——椭圆积分的反演与θ函数理论，［1，4-6］仅有一小部分专题史会涉及雅可比的变换理论。以上研究对于“雅可比的变换理论是如何来的，在什么样的背景下形成的，以及为什么会产生椭圆函数的变换问题”涉及较少。［7-8］因此，笔者将从这些数学家的原始文献出发，在“为什么数学”的研究范式下，［9］试图提出并回答这样一个问题：雅可比为什么会建立椭圆函数的变换理论？笔者尝试厘清雅可比在1827 年的两篇论文和1829 年的著作《椭圆函数基本新理论》中的变换思想以及它们与勒让德之间的关系，从中寻找椭圆积分变换问题的背景和来源，能够使人们更好地理解雅可比变换理论的起源和发展。

1 椭圆积分变换的早期形成

到18 世纪末，数学家已经对椭圆积分进行过很多研究并取得了一些进展，其中加法定理和兰登变换被看作早期椭圆积分理论中的两大重要支柱。［10］欧拉的加法公式来源于一类重要的曲线——双纽线。1718 年，意大利数学家法尼亚诺（Fagnano dei Toschi，Uiulio Carlo，1682-1766）发现了双纽线的一些性质，其中最重要的是在研究双纽线弧长测量方法时给出了它的倍弧长公式［11］15：

在1751 年拿到法尼亚诺的论文后，欧拉很快就将其推广到更一般的椭圆积分加法公式［12］：

对双纽线积分和椭圆积分加法定理的研究极大地促进了椭圆积分的发展，也加快了数学家对椭圆积分的理解和应用。

与欧拉的加法定理类似，兰登变换也来源于曲线的求弧长问题。1771 年，兰登提到了一个一般性定理，这个定理可以用两条椭圆弧长来求任意双曲线的弧长。［13］兰登于1775 年3 月23 日发表的一篇文章中详细地阐述了该定理的内容和方法，而这篇文章就包括椭圆积分的二次变换，也称为兰登变换。兰登在该文章中对他发现的这个新定理作出如下评价：

“如果本文的内容被应用得当，那么将表明给定（以及许多其他）的弹性曲线和等凹曲线都可以只通过椭圆的修正来构造，并且不会在任何点失败。”[14]289

兰登变换可以概括为下面的定理：

如果有sin (2φ-θ)=ksinθ，那么

随着椭圆积分被广泛应用，它的数值计算也变成了非常棘手的问题，兰登变换为这个问题提供了一个非常好的工具，所以后来的许多数学家都用它来进行椭圆积分的数值逼近，甚至解决其他的数学问题，比如拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）将兰登变换用于椭圆积分的近似数值计算，进而发现了两个数的算术几何平均数。［15］18至19 世纪初期，椭圆积分已经被应用于很多学科，尤其是在天文学中占据了重要的地位。高斯在该领域作出了很多贡献，特别是他在1818 年发表的一篇关于一颗行星受到另一颗行星影响的轨道位置变化的论文，其中也包含了二次变换的思想，［16］正是高斯的这篇论文促使雅可比迈出了研究椭圆函数的第一步。［3］531

更一般的椭圆积分加法定理促进了18 世纪早期椭圆积分理论的发展，在曲线求弧长问题的催生下，兰登在“用两条椭圆弧长求双曲线弧长”的几何外衣下发现了椭圆积分间的二次变换，与此同时，其他分支广泛使用椭圆积分也为数学家研究椭圆积分的变换提供了动力。这些具体问题刺激了椭圆积分二次变换的产生，同时这些早期发现又促进椭圆函数变换理论的进一步发展，但是关于曲线求弧长和椭圆积分的计算问题还没有完全解决，需要之后的数学家进一步进行研究。总之，经过这一个多世纪的发展，椭圆积分变换比较简单的情形已经出现。不久之后，勒让德将椭圆积分带入一个更丰富的理论，椭圆积分的变换也将逐渐出现更高次和一般化的情况。

2 勒让德的二次变换

18 世纪末，勒让德开始研究椭圆积分并取得了一系列成果，他提出可以将一般椭圆积分归为三种类型，即第一、第二、第三类椭圆积分，并在《椭圆函数论》中给出了椭圆积分表。尽管如此，勒让德在数学领域最深刻的思想还是提出了一般椭圆积分的变换问题。［17］149

受到兰登定理的启发，勒让德在《积分练习》中建立了一种变换，后来被称为“二次变换”。勒让德在该著作中这样介绍他的二次变换：

“我们将要证明，通过一个非常简单的定律就可以形成无穷大的第一类椭圆函数。它们之间的模和幅角不同，但它们具有非常显著的性质能够保持关联。”[18]81

通过对这些方程的变换进行一系列迭代，他得到了具有不同参数椭圆积分之间的关系，勒让德非常重视这种关系，特别是它在计算方面的意义。［1］419不久，雅可比就将这个二次变换推广为三次变换，将其发表在他1825 年的著作《椭圆函数论》中。

勒让德是椭圆函数理论的奠基人，用了几十年的时间将椭圆积分发展为一个成熟的理论，并把椭圆积分的变换变成了一个专门的研究主题，但是他还只停留在二次变换和三次变换，并未解决更高次的情形。除此之外，椭圆积分的变换问题要成为完整的变换理论还需要至关重要的一步，即椭圆积分的反演。

3 雅可比的变换理论

雅可比是椭圆函数的创立者之一，在椭圆函数的发展过程中提出并建立了很多重要的理论，特别是他的变换理论。受勒让德工作的影响，雅可比开始研究椭圆函数，他晚年的密友狄利克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805-1859）这样回忆道：

“这位年轻的数学家曾经在很多方向上尝试过并取得了成功，但很长一段时间以来，他似乎在椭圆函数理论方面的进展不是很顺利。有一天，他的一个朋友发现他心情不好，这位朋友问他为什么不高兴，雅可比回答说：你看我正要把这本书（勒让德的《积分练习》）还回图书馆，但我非常不走运。每当我研究一项重要的工作时，它总会激发我的想法，并且给我带来一些东西。这一次我空手而归，丝毫没有受到启发。”[19]7

在不清楚勒让德的三次变换已经出现的情况下，雅可比于1827 年6 月13 日在《天文报告》发表了椭圆函数方面的第一篇论文。他在论文一开始就指出给定形式的椭圆积分之间的变换不仅有已知的二次变换，还有三阶变换和五阶变换，甚至其数量和质数一样多，并给出了一般情形之间的变换［20］33：

设n为任意质数，令我们可以得到：

再以同样的方式将sinψ变成sinθ，最终就有：

在这篇论文中，雅可比将三阶变换和五阶变换作为两个例子，验证他提出的一般变换定理。在这两个例子之后，雅可比像勒让德一样给出了如何近似计算椭圆积分的详细步骤，其中得到了一个表达式F(k，φ)=μF(λ，ψ)，表达式中的两个参数λ、μ也给出了计算方法。虽然雅可比在第一篇论文中给出了一般变换定理，但是他还不能给出其严格证明，这也是勒让德立刻敦促雅可比给出一个证明的原因。

在1827 年的第二篇论文中，雅可比补充了该定理的证明［21］：

设U、V和T都是有理积分函数，有

那么表达式

其中M为常数。在推导过程中，他首先利用勒让德的积分得到(1 - sinσ)(1 - sinϑ) 的表达式，进而出现一个等式

而在(1 -y) 的表达式中恰巧包含该等式的一部分结构，所以经过替换后就可以得到y，进而可以确定U、V、M、λ的表达式。此外，雅可比还定义了

在上述两篇文章中，雅可比沿用了勒让德的模和幅角等概念，即令其中0 ≤c≤1，则勒让德称c为函数的模，φ 为函数的幅角。同时使用了他的积分及其他结果，并按照勒让德的方式去计算积分值表，可以看出雅可比提出一般变换定理并给出其证明受到了勒让德工作的直接影响。

此时，雅可比和阿贝尔两人以惊人的速度发展椭圆积分，勒让德知道后一直以非常欣赏和鼓励的态度对待年轻人，他在与雅可比的通信中说：

“我已经知道了阿贝尔在《克雷尔杂志》上的出色工作，但你让我很高兴的是用你的语言对这些结果进行分析，这与我的语言更加接近。看到像你和他这样的两位年轻数学家成功地培养了一个分析分支，这一直是我最喜欢的研究对象，但在我自己的国家没有得到应有的重视，我感到非常满意。”[22]407

两年后，雅可比出版了《椭圆函数基本新理论》，这是他的第一部杰作，也是椭圆函数领域的经典著作。该著作分为两个部分，第一部分主要研究椭圆函数的变换理论，第二部分致力于将椭圆函数用无穷级数乘积和傅里叶级数表示的问题。［23］

如果变量x的多项式函数A、B、C、D、U、V以下面的方式给出，V+U=（1+x）A2，VU=（1-x）B2，V+λU=（1+kx）C2，V-λU=（1-kx）D2

在1.8 节中，雅可比引入了sinamu、△amu等新的量，将椭圆积分反演得到新的椭圆函数后，在1.9 节整理了大量的关于椭圆函数的基本公式，比如sin σ、cos σ、Δσ、sin σ + sin ϑ 等的表达式。得到这些新的椭圆函数后，雅可比就在后面的部分重新给出椭圆函数变换公式中的一般解析表达式和证明，并得到了椭圆函数的虚变换和补变换等。在雅可比之前，变换理论只是在椭圆积分之间进行。而雅可比将椭圆积分反演后，这些变换理论就可以在椭圆函数之间使用了。从此之后，对椭圆积分的研究就正式转变成椭圆函数理论，而椭圆积分的变换问题也演变为椭圆函数的变换理论。

关于上述证明，雅可比是这样评价的：

“因此，现在所有关于椭圆函数变换理论的一般解析表达式都得到了证明。现在所提出的证明来自于我们在舒马赫编辑的《天文报告》第127 号中的证明，其中ω代替了代替了M，而其它所有量都是相同的。”[24]48

尽管我们没有详细地介绍该证明，但从雅可比的这段话可以知道该著作中的证明与之前雅可比给出的证明大抵上是相同的。

在1827 年的两篇文章中，雅可比给出了椭圆积分的一般变换定理及其证明，还有三阶变换和五阶变换等。1829 年，雅可比在著作《椭圆函数基本新理论》中将椭圆积分反演，进而得到了关于椭圆函数的许多性质和定理，然后利用其中的一些椭圆函数去解释之前椭圆积分的结果，就可以得到椭圆函数的一般变换定理及其证明。可以看出，此时雅可比已经给出了椭圆函数的变换理论。

4 结 语

椭圆函数变换理论的起源可以追溯至18世纪的求曲线弧长问题。在“用两条椭圆弧长求双曲线弧长”的定理中，兰登运用了二次变换，在天文学等其他领域使用椭圆积分时也出现了二次变换，这些具体问题推动了椭圆积分变换的早期发展。但此时求曲线弧长和求解椭圆积分的问题并没有被完全解决，勒让德将这些具体问题中的二次变换抽离出来，并建立起一个成熟的椭圆积分理论，他的工作极大地促进了椭圆函数变换理论的产生，但是他只能解决椭圆积分的二次变换和三次变换，却无法给出更高次的椭圆积分变换。受勒让德工作的影响，雅可比将椭圆积分的二次变换推广至三次变换和五次变换，并给出了一般变换定理及其证明。之后，雅可比在《椭圆函数基本新理论》中将椭圆积分反演，得到了大量的变换公式，最终正式形成雅可比的椭圆函数变换理论。不重视椭圆积分的逆函数和对虚数的恐惧是勒让德无法进入椭圆函数的两大重要原因，而雅可比观察到了这些问题，并将它们应用于自己的研究中，最终得到了这个重要的理论。