基于案例分析和数学实验的“概率论与数理统计”教学改革探究与实践

摘 要：“概率论与数理统计”是一门应用性较强的重要的数学基础课，在教学过程中选用经典案例和数学实验进行直观教学，借助在线课程平台进行资源整合，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：概率论与数理统计；案例教学法；教學改革；数学实验

2018年6月21日，教育部召开新时代全国高等学校本科教育工作会议，会议强调要创新本科教学方法和激励机制［1］，这表明在科技教育及高等学校从精英教育向大众化的转变过程中，对教育教学模式的改革要求越来越高。而应用型本科高等教育在积极探索“教学做合一”的新培养模式方面，对培育应用型人才起到了关键作用。

“概率论与数理统计”是专业性和实践性较强的一门课程，是人们用来探究随机事件变化规律的一门重要的通识基础课，该科目在保险精算、工业试验设计、大数据科学与技术等领域有广泛的应用，因此在教学过程中必须高度重视培养学生的实践意识，增强学生运用知识解决生活中实际问题的能力。但是笔者在应用型民办本科教育教学中发现，现阶段该学科在教学中缺乏对学生应用能力及应用意识的培养，导致很少有学生能够学以致用。产生这个问题有许多因素，其一是课时限制问题，本门课课时设置为48学时，教师在课堂上更多讲授基本概念与定理等理论部分，使得数理统计思想和统计分析实例讲解较少，而许多理论与实际应用关系比较密切的教学内容，例如回归分析和方差分析等未设置到课程教学计划方案中。其二则是课堂教学方式较落伍，教师没有及时改变教学理念，在教学方法上，多数教师使用多媒体配合板书加以授课，而教师以讲授为主，学生课堂学习较被动，课程中案例较少且没有实践性强的内容和必要的数学实验教学环节，这样不但培养不了学生自主学习能力，更会造成学生无法直接体会到知识的应用过程，进而让学生觉得本门课程学习起来比较枯燥乏味，致使在课堂上经常会出现个别学生听课不认真等现象，影响了教学质量。其三是期末考试平时成绩考核也只是考查出勤与作业完成情况，这样不但会导致学生不能提高解决实际问题的能力，还会出现考前临时抱佛脚的情况出现，不利于应用型人才培养目标的实现。

一、应用导向的教学改革实施方法

根据当前“概率论与数理统计”课程教学中出现的问题，笔者根据有关课程教学实际，可以进行以下几个方面的改革探索。

结合实际教学案例进行该课程的教学。案例教学能增强课堂的开放性和互动性，使学生学习达到事半功倍的目的，同时能够培养学生学习兴趣，因此教师可以选择贴近实际生活且针对性强的案例和习题进行讲解。

（一）列举知识点：乘法公式

例如在讲到概率中乘法公式这一节时，学生很容易把乘法公式与事件独立性的公式弄混淆，应用时难免出现问题，所以教师在讲解乘法公式时可以列举实际生活中常遇到的“抓阄”问题，加深学生的理解，从而更清晰地掌握公式用法。

引入例子：一场知识竞赛胜出的八个人中有一人能够获得一张电影票，班长决定以抓阄的方法安排这一名额，进行了一个共八人的抓阄，只有一张有奖，你希望自己抓阄顺序排多少？引入生活中会遇到的实际问题可以引起学生学习兴趣，学生展开讨论并发表了不同的观点。这时教师可以通过讲解乘法公式原理，引导学生应用乘法公式的内容解决这个问题。设Ak=第k人中奖，k=1，2，…8，第一个人中奖的概率P（A1）=18，因为A2A1，于是奖券被第二个人摸到的概率P（A2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=78×17=18。如此类推，可得P（A3）=P（A4）=…P（A8）=18。得出结果表明八个人无论抓阄顺序如何，每个人在抽签前不知自己前面抽签结果，则每人抽到电影票的概率是相等的，在实际生活中分房问题、学生分班及短缺物资的调配问题等，都采用“抓阄”的方式进行处理是有其合理性的。学习了概率后遇到抓阄问题不要争先恐后，同学们应发扬风格让他人先行。通过对案例的讲解及把复杂问题进行合理转化，使学生能很好地掌握公式并了解对其的应用，明白做事的道理。

（二）知识点举例：简单随机抽样

在讲解简单随机抽样中，以往学生只能依照课本理解简单随机抽样的特点，这样知识掌握起来往往较教条化，理解不够全面，从而脱离了实际应用，教师应通过随机抽样在实际应用中出现的具体情况，更加全面地、更贴近现实地让学生学习简单随机抽样并了解现实抽样中会面临的问题，从而激发学生学习热情，指导学生学以致用。

引入例子：2004年，我国某知名电视机生产公司为了调查该企业电视机品牌的市场占有率，派出市场研究部的两组员工就这个问题开展调查：请列举您会选择的电视机品牌。两组调查结果令人大跌眼镜：A组发现36%的消费者在购买时愿意选择该公司的电视机；B组的结果却仅仅16%，公司很纳闷，不明白同样的抽样方法为何产生如此不同的结果，究竟是哪里出了问题？真相究竟如何？

教师引导学生从抽样方法的选择和抽样会带来风险的方面对该案例进行了热烈讨论，可以总结出抽样中的风险可能来自于随机误差和系统性误差，该公司问题在于市场调查人员在抽样过程中引入了非随机误差（如图1），可能存在被访者受询问员诱导出现了弄虚作假等现象，使得结果产生很大误差。

教师在结合案例讲解过程中还可以达到教书育人的目的，即让学生明白每种获取数据的方式都会有优点及不足，除了依靠科学技术外，更要具备批判性思维，能从数据中分析出隐藏的问题，同时在工作中要有责任心、诚实的态度和专业精神，否则会对社会生产带来严重误导，也不利于个人发展。

二、教学结合数学实验加强学生应用意识

为使课堂教学变得更加直观，并具有可视化，教师在课堂教学上还可以适当增加数学实践活动，向学生介绍怎样利用数学软件处理数学问题，以加深学生对知识的理解，并充分调动学生学习的积极性。

（一）列举知识点：泊松分布

泊松分布在排队论、生物学、医学以及服务行业等领域有着广泛的应用，泊松分布较为抽象，教材一般只给出了以λ为参数的概率分布，课堂上教师可以结合实际背景进行案例教学，让学生更能明白泊松分布的来源与应用。介绍下面这个案例：某运输公司有600辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.005，每辆参加保险的汽车每年交保费1000元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿100000元，计算保险公司一年赚钱不少于200000元的概率。

学生经过分析发现直接用二项分布计算比较困难，这时教师通过该例子，讨论出二项分布的一个近似公式，并得到泊松分布的分布律。故该案例采取泊松分布近似计算，之后和学生一起探究什么情况下采用泊松分布对二项分布近似计算效果较好，为了解决这个问题，教师运用Matlab的图像绘制功能绘制了二项分布和泊松分布计算所得的概率值，并加以对比分析，实验得出当n较大，p较小时，泊松分布的近似情况较好（如图2）。师生对知识的探究加深了学生对该内容的理解，提高学习者对理论知识的运用能力和实践水平。

（二）列举知识点：假设检验的两类错误

假设检验是利用样本的信息，依据某种准则对总体的假设做出接受还是拒绝的决策。在假设检验过程中容易犯两类错误：用α表示犯第一类“弃真”错误概率，用β表示犯第二类“取伪”错误的概率。在讲解这两类错误的重要性过程中，如果直接给学生证明这两类错误的关系，过程往往比较复杂和生硬，学生容易产生畏难的情绪，从而失去学习信心。而兴趣是最好的老师，首先教师提供一个课题让学生展开思考以引起学生兴趣，提出把一个有罪的人误判为无罪和把一个无罪的人误判有罪，哪一个后果更严重？而这个问题实际上可看成统计学中的两类错误：弃真和取伪。

在讨论过程中，教师为使学生理解犯两类错误的概率的关联，在课堂上结合数学实验进行动态演示，通过演示学生观察讨论得出结论，尽管人们希望犯这两类错误的概率越小越好，但在样本容量一定的条件下，犯这两类错误的概率不能同时降低，减少其中一个，另一个往往会增大（如图3）［4］。类似的有医学检测中可能会出现假阴性和假阳性的两类错误，而人们认为控制假阴性率远远比控制假阳性率重要，因此也将重点放在控制第一类错误上，进而做显著性检验［5］。通过以上例子探讨及讲解帮助学生降低理解难度，加深学生对复杂问题的理解，为后续学习打下坚实基础。

（三）加强网络资源平台建设辅助教学

对于教学时长相对有限的情形，教师一方面充分利用网络技术工具进行辅助教学，另一方面通过超星学习通等教学工具创建“概率论与数理统计”课程，通过插入网络资源或进行微课教学等多种方式给学生的课前预习和课后复习提供方便，使学生更好地把握知识的重难点。教师在课堂上还可以通过发布签到、抢答、课堂测验、小组讨论等内容对案例进行解析，从而使课堂教学内容变得更加丰富多彩，也大大加强了师生之间的互动和沟通，促使学生深入思考，加强对知识点的理解。另一方面在统计部分中与实际应用联系更为紧密的内容，比如方差分析、回归分析等，教师可以借助于网络教学资源进行补充，以便使学有余力的学生进一步了解有关概率统计更广阔的知识，拓宽学生的视野，防止授课只局限于课本内容。

针对学生平时不努力学习考试前临时抱佛脚的现象，教师也可以通过学习通或雨课堂等教学平台发布学习任务，根据学生话题参与讨论程度、视频观看时长等情况形成个人记录，进而作为平时成绩的依据，同时也方便教师对学生进行个性化辅导，并根据学生完成任务情况调整后续教学（如图4）。

结语

针对应用型民办高校，在“概率论与数理统计”的基础课程教学中，教师面临学生对课堂理论知识运用能力欠缺，部分学生上课学习积极性不高等各种问题，通过积极探索结合相关案例分析和数学实验直观演示等方法来代替抽象的理论证明，并利用网络教学平台加强教师对学生平时学习情况的监督和检查，教学中充分调动学生学习的主观积极性，以此来大大提高教学工作效率，使学生学习效果得以增强。

参考文献：

［1］谌永荣，杨占英.基于案例和实验教学的《概率论与数理统计》教学改革探究［J］.科技视界，2019（28）：2.

［2］施明华，岳芹，袁国军，等.双创背景下“概率论与数理统计”课程教学改革研究——以皖西学院为例［J］.2021（20206）：2932.

［3］阳平华，吴丽镐.概率论与数理统计［M］.北京：航空工业出版社，2018.

［4］安建业，罗蕴玲，李乃华，盧志义主编.概率统计及其应用（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［5］杨轶莘.大数据时代下的统计学［M］.电子工业出版社，2015.

基金项目：广州城市理工学院质量工程项目“以应用为导向的概率论与数理统计教学改革与实践”（JY211401）；广州城市理工学院校级“高校公共数学课程思政教学团队培育”项目（S20421005）

作者简介：李海荣（1989— ），女，汉族，吉林人，硕士，讲师，研究方向：生物数学。