基于可视化教学的解题研究

徐守军

古有朱熹《观书有感》云：“半亩方塘一鉴开，开光云影共徘徊.问渠那得清如许，为有源头活水来.”笔者结合自身辅导竞赛的经历，一直在思考，如何让课堂清新如许，学生心有灵犀？竞赛试题难度上高于高考，却离不开高考，技巧性强，但大多数时候最后落叶归根，追本溯源，都可以回归到高考试题的常规解法中，细细体会，让思维可视化，还可以拨开云雾，看透实质，使得问题原形毕现.本文以一道2018年浙江预赛试题为例予以探析.

2.2 知识关联可视化

由上述解法可以看出，解法一的核心是使用了极化恒等式，这是泛函分析中的一个概念：设（X，（·，·））是内积空间，则对任意x，y∈X，有（x，y）=14＼[‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2＼].在实数域内，等式右边后面两项为零，欧式空间中，内积可诱导出向量的“长度”当知识储备不完善，方法技巧不熟悉的情况下，极化恒等式是比较难想到，是否有更加普遍的解法可以解决问题.一般地，涉及到内积，必定涉及到两个向量的模长与夹角的余弦值，与余弦定理有紧密的联系，求取值范围方法甚多，不等式、线性规划都是不容忽略的手段.

2.3 题目探源可视化

在2015年全国高中数学联赛试题中有这样一道題：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足|DP|=|BQ|，则向量PA与向量PQ的数量积的最小值.

对于这种问题，涉及到平面上矩形内部求内积的动点问题，学生会首先想到建立平面直角坐标系.这是常用的方法，建系设点，利用函数的观点求最值.在此基础上，学生对于本文中的这道预赛题就会有新的体会，可以给出下列解法：

如图4，以A为原点，AB方向为x轴，垂直AB方向y为轴建立平面直角坐标系.

依题意可知，P到AB的距离不小于3，S△PAB=12PA·PB·sin∠APB.

设PA=a，PB=b，∠APB=θ，则S△PAB=12abcosθtanθ.

∴abcosθ=2Stanθ.要使PA·PB的最小，则abcosθ要最小，则S△PAB尽可能小，θ要尽可能大.

由于底边长AB已定，则AB边上的高尽可能小，最小值为3.

∴P在y=3这条直线上，且位于AB的中垂线上即可.解得P的坐标为（5，3）.

到此，问题的本质就清晰可见.就是平面上动点到定直线的位置关系，最后只转变成θ一个变量进行讨论，使得问题变得简单明了.

3.教学反思

透过现象看本质是解题的基本能力和要领.正如罗增儒老师所说：“对题目的结构，不仅注重外形上的分析，而且注重内容上的理解，能从一个孤立静止的数学形式中找出关联活动的数学内容.方法是对内容的理解，方法寓于概念之中.”数学竞赛不仅考查学生的能力，也考查学生的思维，而数学问题万变不离其宗，思想方法之间有千丝万缕的联系，在教学上不仅要教给学生解题的技巧与方法，还要教会学生学会思考，学会挖掘，学会把问题简单化，把数学问题进行转化，注意从内容的联系上寻找解题思路，才能使思维的高度更上一层楼.