着眼知识整体架构 注重概念生成过程

陆春霞

章建跃博士认为，概念教学要返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目；要让学生参与概念本质特征的概括过程中来；要体现研究一个数学对象的“基本套路”，使教学过程连贯且逻辑严密；同时要发挥核心概念及其蕴含的数学思想方法的纽带作用，使教学具有思想方法的一致性［1］.在教学调研中，笔者发现不少教师在《反比例函数的概念》教学中往往对概念引入一带而过，甚至直接给出反比例函数的概念，然后列出若干注意点，将大量的时间用在训练所谓的“经典题型”上.因为教师们认为问题情境在于引出概念，所以越简洁越好；反比例函数概念是形式定义，只要让学生记住解析式的形式和几个注意点就行.因此，他们就把更多的时间用来让学生反复训练“经典题型”，以熟化知识的运用.表面上看，学生貌似已经掌握了反比例函数的概念，会做与之相关的一系列“经典题型”，估计考试成绩也不会差.但是，在概念教学中无视知识整体架构和概念生成过程，不利于学生领悟数学概念的真正内涵，不利于学生形成良好的认知结构，无助于学生数学思维和数学学科素养的提升.因此，概念教学应把概念的的知识架构和生成过程作为课堂教学的重心，要着眼知识整体架构，注重概念的生成过程.具体可以从以下几个方面着手.

1.将新授概念同化到学生的知识系统结构中加以考量

数学概念从来不是孤立的.我们在教授数学概念时要将新授数学概念置于整个数学知识网络系统中加以审视，找准它的位置，厘清它与学生认知结构中已有数学概念之间的关系，进而找到它的教学生长点.

在小学阶段，学生已经掌握了反比例关系的概念；到了初中，学生又学习了函数的概念和表示方法，知道函数是描述变化规律的一种数学模型；并且在本章之前，学生已经研究了正比例函数、一次函数、二次函数，对具体函数的研究已经有了较为成熟的思路.因此，反比例函数的概念教学，我们可以从反比例关系入手，列一个变量关系表，自变量x和对应函数值y都由学生完成.引导学生在填表的过程中发现两个变量之间的内在联系（积为定值），从而当一个量（自变量）变化时，将引发另一个量（因变量）的变化；同时，当自变量确定，则因变量也唯一确定.这样的概念教学，无论从知识还是方法上都有“源头”，学生也就更容易将其纳入到自己已有的知识体系当中.

2.引导学生熟悉运用概念学习的“基本套路”和研究方法

义务教育课程标准（2022年版）指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.［2］”而对知识的理解，需建立在对所学知识的全方位认知基础之上，即让学生知道“为什么要学”、“学什么”、“从何处来”、“到何处去”、“怎样学”，掌握学习的“基本套路”.

函数是初中数学的核心概念，对所有具体函数的研究方法也是一脉相承的.其思路都是通过研究现实世界和数学内部量与量之间的相互关系，归纳概括抽象出具体函数的概念.其“基本套路”都是从特殊到一般、从具体到抽象的方式展开，需要学生在对实例进行分析、比较、综合的基础上，归纳得到它们的共同特征（本质属性），并用文字语言和数学符号语言加以表征.然后从正反两方面举实例对概念进行辨析，厘清概念的内涵和外延，引导学生分析概念中关键词的含义.最后，通过利用概念研究函数的图象性质和实际运用，进一步加深学生对概念的理解.反比例函数的概念教学，我们可以从多个实例（数学的、物理的、生活中的）入手，让学生在分析、比较、综合的基础上归纳出反比例函数的概念，并用y=kx加以表征，通过正反实例厘清其中各个字母的含义（各自代表什么，常量还是变量，有无范围限制等等）.在后续课堂教学中，再通过利用反比例函数的概念探求反比例函数的图象与性质，并加以实际运用.这样的教学，更能让学生掌握数学概念学习的一般方法，也就实现了“教是为了不教”的目的.

通过以上分析，我们不难发现：本节课作为《反比例函数》一章的起始课，其重心在于让学生思维实现从“静态”的反比例关系到“动态”的反比例函数的飞跃，让学生通过具体实例体会两个变量之间的关系进而再次感受变化规律的数学模型——函数，明确反比例的两个量是一种函数关系，将反比例函数纳入到函数体系中，同时再一次加深对函数这一抽象概念的理解.

3.以知识内在联系为纽带驱动学生积极探索驱动概念的生成

概念作为思维的细胞，是人类进行一切思维活动的基础.我们在实施课堂教学时，要以知识内在联系为纽带创设合適的问题情境，注重概念的知识生成过程，舍得花时间让学生经历知识的抽象和规律的探索过程，让学生在探求的基础上总结并有所“发现”.只有这样“生长”出来的知识才具有生命力，才能经受住考验.同时，学习概念的过程本身也是一个积极探索的思维过程，学生在概念生成的过程中思维得到培养.

教材［3］在《反比例函数》这一章的章前图和引言中给出路程一定时平均速度与运行时间之间的反比例关系并引导学生从函数角度审视表达式v=st.注意到这种做法对大部分学生来说比较抽象，因此教材在具体介绍反比例函数概念之前，特意在“思考”栏目中给出了现实世界和数学中具有反比例关系的三个问题来引出反比例函数的概念.教材中三个引入问题的选用编者是花了心思的.在具体操作时，我们就可以直接选用这三个问题作为情境问题先抛给学生，然后在学生列表表征两个变量间的反比例关系的基础上引导学生发现：每个问题都是三个量，一个常量两个变量；两变量中一个量随着另一个量的变化而变化；当一个量确定，则另一个量也随之而唯一确定.具备这种特征的两个变量间是什么关系？为什么？此时，教师看破不说破，让学生自己去“悟”.学生自然想到这种特征和前面学过的正比例函数、一次函数、二次函数是相同的，也是符合函数定义的，进而我们把这种关系定名为反比例函数.接着，教师追问：我们在前面是怎么研究正比例函数、一次函数、二次函数？学生自然回忆起研究的“基本套路”，如有不太完整的地方，教师可以让其他学生予以补充或教师自行补充.然后提醒学生：我们能不能用上面的方法来研究反比例函数？给学生指明前进的方向.学生顺势得出反比例函数的解析式y=k／x后，教师再次追问：解析式中各个字母代表什么含义？哪些是常量？哪些是变量？它们有范围限制吗？然后回扣到章引言的表达式v=s／t，让学生体会这两个表达式形式不同，本质一样.

4.将例题教学作为概念的应用和延伸深化学生对概念的理解

教材中的例习题都是专家精心设计编写的，给学生学习、辨析概念提供了很好的素材，我们必须引起足够的重视.比如，教材第3页练习2就是辨析概念的优质素材.我们可以在学生完成該练习的基础上作进一步点拨：为什么y=－（2／x）和xy=-2是反比例函数，而题中所给的其余几个关系式都不是？你的判断依据是什么？如果是y=－2x－1呢？让学生回归概念，厘清形式定义下的本质特征，并进一步理解反比例函数概念的本质.同时，让学生对y=k／x中常数k的取值范围有新的认识.教材上的例1意在让学生理解反比例函数的解析式特征，采用待定系数的方法求解.我们要让学生领悟：一旦k的值确定，则该反比例函数就唯一确定.而作为例1拓展问题的练习3，我们可以在学生回答后追问：y与自变量x成反比例关系吗？再次引导学生回顾定义，对概念作进一步的认识.这种做法，让学生真正学会从定义的角度去认识和解决问题，比给出所谓的反比例函数解析式的几种形式让学生套用更具教学价值.另外，书上的练习1以实际问题（注水速度与注水时间）、数学问题（长方体的高与底面积）、物理问题（压强与接触面面积）让学生写出函数解析式.此处，我们的教学不能止步于学生得到结果，而应让学生再次体会反比例函数来自现实生活和学习的需要，再次从函数的角度感受理解变量的依存关系，感受函数的动态变化，让每一个数学问题发挥出潜在的教学价值.

总之，教育是一门科学，也是一门艺术.作为一门科学，我们要尊重知识的内在联系和学生的思维认知发展水平，按教育规律办事；作为一门艺术，我们需要沉下心来，研透教学内容、研透教材，从整体上把握教学内容，在充分利用教材的基础上将教材进行“二次开发”，精心进行问题设计，注重知识生成的过程，让学生的思维得到有效培养.这是保证课堂教学质量，提升学生的数学学科素养和创新能力的需要；也是提高教师专业水准和教学能力的需要.

参考文献

［1］章建跃.把数学教好是落实核心素养的关键［J］.中小学数学（高中版）.2016，（5）：66.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京师范大学出版社，2022.

［3］人民教育出版社课程教材研究所.数学（九年级下册）［M］.人民教育出版社，2018，6.

［4］何振华.给学生需要的数学概念课堂——三角函数周期性的教学实录与反思［J］.中学数学研究（江西），2015，（8）：8-12.

［5］张华林.充分暴露数学思维过程加强知识发生过程教学［J］.福建中学数学，2007，（1）：2-4.

［6］夏吉伟.基于核心素养下概念课教学的思考——以弧度制教学设计为例［J］.中学数学研究（江西），2019，（9）：1-2.