对一道几何最值问题的探究

涂成浪　谷留明

一、初识题目

题目 在矩形ABCD中，AD长为3，AB长为4，动点E在矩形ABCD的四边上运动，如图1，求点E到点A和点B的距离之和的最大值？

初看这道题时，以为只需简单地作一个对称，再利用三边关系求解，但发现此题求的是最大值，并非常见求最小值问题.经过简单的分析，容易确定所求线段和最大时，点E应在线段CD上，下文中只分析这种情况，且点E不在线段CD两端.根据直觉，觉得当点E应该在与点D或点C重合时，所求线段和取得最大值.

为了严谨地求出最值，先利用函数来对线段和进行表达，然后求出它的最大值.

设点Ea，3，其中0

二、讨论交流

经讨论之后便出现了两种简单且巧妙的方法.我们从几何角度来考虑这个问题的.下面只分析点E在线段AB上（不含两端）时的情况，证DA+DB>EA+EB.

方法一：如图2：作点A关于点D的对称点F，连接BD，FE.延长BE交DF于点G.此时，DA+DB=FD+DB=FG+GD+DB>FG+GB=FG+GE+BE>FE+BE=EA+EB.

运用此法，可以证明随着点E从线段AB中点向点D靠近时，EA+EB逐渐变大.当点E与点D或点C重合时，EA+EB取到最大值8.

方法二：如图3，构造一个以点A，B为焦点，长轴长为DA+DB=8的椭圆，在上半椭圆上取点D，C，使四边形ABCD为矩形.结合图形得线段CD上两点之间的点都在椭圆内，所以EA+EB<8=DA+DB.故当点E与点D或点C重合时，EA+EB取到最大值8.

以上两种方法都是从几何角度来思考这个问题的.方法一从三边关系来证明不等式，方法二构造椭圆，利用椭圆的第一定义来转化边，类似于根据点在园内，得到该点到圆心的距离大于半径.

三、“自我斗争”

虽然以上两种几何方法已得出结果，是否可将代数与几何相结合来解决这个问题？于是经过一番思索，我得到了以下数形结合的方法.

目標是证明DA+DB>EA+EB，即证FD+DB>FE+EB，即证FG>FE+EB.如图4建系，设Ea，30

接下来，以点F为圆心，以FG长为半径作圆F；以点E为圆心，以BE为半径作圆E；延长FE交圆E于点H.则FE+EB=FE+EH=FH，所以即证FG>FH，只需证点H恒在圆F内部，从而只需证圆E内含于圆F.证明如下：

圆F：x2+y－6=64，圆E：x－a2+y－32=a2+8a+25.两式相减得直线l：ax－3y－4a－6=0.因为圆心E在圆F内部，只需证圆E和圆F均与l相离.利用点到直线的距离公式，得点F到直线l距离为d1=4a+24a2+9.要证d1>8，即证a+62－4a2+9=3a（4－a）>0，因为08成立.同理点E到直线l距离为d2=a2－4a－15a2+9，圆E半径EB=a2－8a+25.d2>EBa2－4a－152>a2+9a2－8a+254a>a2，因为0EB成立.从而DA+DB>EA+EB，最终EA+EB的最大值为DA+DB=8.

相比于一般求最值的题目，本题难点在于求两条线段的和，这个方法的基本思路在于用圆的半径等长，将折线段转化为一条直线段，然后将要证的大小关系，转化为两圆的位置关系.

参考文献

［1］邱均儒，谷留明.一道不等式题的多种巧证和结论推广［J］.中学数学研究（江西师大），2021（09）：31-32.

本文系2020年合肥市教育科学科学规划课题《“数学写作”促进高中数学学习的实践研究》（项目编号：HJG20100）的阶段性研究成果.