矢量圆法在高中物理解题中的应用

2023-08-11刘宏松

教学考试(高考物理) 2023年4期

刘宏松

(广西柳州铁一中学)

科学思维作为物理学科四大核心素养之一,主要包括模型构建、科学推理、科学论证、质疑创新等要素。新课标要求学生基于观察和实验,建构物理模型,应用数学等工具,通过科学推理和论证,形成系统的研究方法和理论体系。因为受到应试教育的影响,部分教师在讲授习题课时重视讲授题目答案,轻视物理规律的形成过程,不利于学生形成良好的科学思维习惯,为了解决这一问题,本文通过介绍矢量圆法的应用,帮助学生养成注重物理规律形成过程的思维方式,促进学生核心素养的提高。

圆作为一个数学工具在中学物理涉及的较多,巧妙地应用圆,有利于把抽象的过程直观化。若物理矢量是变化的,且其矢端始终落在一个圆周上,作出这个圆,便是矢量圆。利用矢量圆法解决一些高中物理问题时,可以直观地显示各个物理量的变化过程,帮助学生拨开层层迷雾,加深对物理规律的理解,启迪学生的思维,有助于物理学科科学思维的形成和发展。下面介绍矢量圆法在高中物理的一些应用。

一、矢量圆在力学平衡问题中的应用——求合力和一个分力的夹角范围

对于大小恒定、方向不定的矢量,为了能够形象地描述它,我们以矢量长度为半径作一圆,则从圆心向圆上任一点的有向线段代表矢量的一种可能值。

【例1】已知合力F=10 N,它的一个分力F2=8 N,求另一个分力F1与F的夹角取值范围?

【分析】如图1所示,作出合力F的力的图示,以F的矢量箭头为圆心,以力F2的大小为半径画圆。从O点向圆上一点引一条有向线段,即为分力F1的一个可能值。由图结合数学知识可知,F1与F的夹角的最大值出现在F1与圆相切时,分力F1与F的夹角最大值满足sinθ=0.8,夹角最小值为零。

图1

二、矢量圆在运动的合成与分解中的应用——小船以最短位移渡河

【例2】某人划船,船在静水中的速度v1=3 m/s,若船在流速为v2=5 m/s的河中行驶,要使船渡河的路径最短,则他应该怎样控制船的航向?

【分析】理论上最短渡河路径垂直河岸,但是因为船的静水速度小于水流速度,导致无论船的航向如何,都不可能垂直河岸渡河。考虑到船的静水速度大小恒定,方向不定,可以引入矢量圆。

图2

三、矢量圆在匀速圆周运动中的应用

1.竖直面内的匀速圆周运动

【例3】如图3,一轻杆一端固连一小球,在竖直面内绕O点做匀速圆周运动。在小球运动一周过程中,轻杆的弹力怎么变化?

图3

【分析】对小球受力分析如图4,小球的向心力mω2r大小恒定,方向时刻指向圆心,重力mg不变。小球的向心力mω2r的矢量将做匀速圆周运动。向心力mω2r的矢量起点形成一个圆,从圆上一点向重力矢量起点引一条有向线段即为杆的弹力F。由图4可知,随着向心力矢量方向绕圆心旋转,小球通过最高点时,力F的最小值为Fmin=mg-mω2r;小球通过最低点时,力F的最大值为Fmax=mg+mω2r。

图4

2.倾斜面内的匀速圆周运动

图5

【分析】在很多参考答案中,都是直接给出结论,即物体在最高点时静摩擦力最小,最低点时静摩擦力最大,至于原因是什么,都避而不谈。这样的处理方式很不利于学生科学思维的形成,容易引起学生的困惑。本题若采用矢量圆来处理,可以形象直观地看到不同位置摩擦力的变化情况。方法如下:以物体的向心力mω2r的矢量长为半径作一圆,重力沿斜面的分力mgsinθ的矢量方向始终竖直向下,长度一定。

从圆上一点向mgsinθ的矢量图的起点引一条有向线段,即为静摩擦力f。mgsinθ与mω2r的大小关系不知道,需要分三种情况讨论:

mgsinθ>mω2r mg sinθ=mω2r

由图6、图7、图8可知,在最高点时静摩擦力最小,最低点时静摩擦力最大,三种情况的结论一致。故只要保证最低点物体与圆盘不相对滑动,即可保证在其他地方都不相对滑动。