关于汽车牵引力的系列问题辩证

沈江天 周和建

(台州市第一中学,浙江 台州 318000)

物理学常以行驶的汽车作为联系实际的应用场景,汽车力学也是项目化学习的理想学材.但由于汽车机械能流转的机制比较复杂,加上缺乏科学系统的参考文献,某些涉及牵引力和轮胎摩擦力的问题一直存在认知的误区,有必要由浅入深逐一探讨.

1 汽车的动力和阻力是什么?

图1

第一,如图2所示,汽车之所以向左加速前进,是因为驱动轮在发动机带动下“主动”逆时针转动,把路面水平向右

图2

推动,产生摩擦力f0,从而让驱动轮受到一个向左的反作用摩擦力f.地面施加的f就是包括轮子在内的汽车的动力.所以“发动机施加的动力”这种说法说错了施力物体.发动机作为汽车整体的一部分,其作用只是通过内力做功让驱动轮主动转起来,不可能作为施力物体直接对汽车施加能产生整体加速度的外力,就像一个人不可能抓住自己的头发把自己提起来.

第二,此题解答中认为地面对汽车的摩擦阻力为μmg,其中包含了两个错误.

首先,如果全部轮子都是驱动轮(如四驱型越野车),地面对汽车的摩擦力全部都是动力,不存在摩擦阻力.如果存在非驱动轮(如前驱型普通家用轿车),地面对非驱动轮的摩擦才是阻力.非驱动轮所受的支持力显然小于整辆汽车的重力mg,解答却以为非驱动轮承载了整辆汽车的重力.

其次,地面对非驱动轮的摩擦阻力有人称为滚动摩擦,严格地说,并不存在滚动摩擦的概念,[1]滚动摩擦本质上是以静摩擦为主的阻力.因为非驱动轮绕着润滑良好的轴承转动,这一阻力远远小于轮子在同样压力下完全不转动时的滑动摩擦力,解答中却错误地把这个很小的阻力用滑动摩擦力的公式计算.

实际上只有全部车轮都不转动,整辆汽车像一个僵硬的物块一样滑动时,才能认为摩擦阻力等于μmg.发明轮子是人类历史上最伟大的进步之一.此类习题却让汽车退化为可笑的“滑块”.

小结:汽车前进的动力是地面对驱动轮的摩擦动力,此力因发动机而生,并非发动机所施;汽车的阻力包括空气阻力和地面对非驱动轮的摩擦阻力,此摩擦阻力通常远小于μmg.

2 地面对汽车的摩擦力有没有做功?

在路面坚硬且轮胎完全不打滑的理想状态下,触及地面的轮胎表面相对于地面静止,与地面不接触时才运动.也就是说,轮胎表面与地面接触的部分受到摩擦力却没有位移,分离时有位移却不受摩擦力.因此驱动轮受到的摩擦动力和非驱动轮受到的摩擦阻力都不做功.

当然,实际上汽车轮胎与地面之间不可能完全不打滑.

正常行驶时,对于驱动轮(如图2所示),轮胎在地面支持力作用下发生竖直方向的形变,与地面形成一个近似矩形的接触面.同时,矩形接触面上的轮胎表面受到向前的摩擦动力的作用,将出现向前的切向形变.接触面上靠后(图2右侧)的一小部分轮胎表面在即将离开地面时,压力快速减小,最大静摩擦力随压力减小而减小,静摩擦将无法阻止向前的切向形变向后快速恢复(即向着与向前的摩擦动力相反的方向滑动),所以此处出现少许滑动是不可避免的,且滑动摩擦力对轮胎表面做负功.同理,对于非驱动轮,接触面上靠后的一小部分轮胎表面也会滑动,滑动摩擦力也要做负功.无论驱动轮还是非驱动轮,滑动摩擦力一般都仅仅出现在即将与地面分离的很少一部分接触面上,其大小远小于静摩擦力,所做的负功都可忽略.

非正常行驶时,例如大油门启动、超高速行驶、紧急制动、急转弯、路况不佳等等,打滑现象会明显增加,滑动摩擦力做的负功也可明显增加.以紧急制动为例,现在的汽车几乎都装有ABS系统(制动防抱死系统),轮胎滑动率最大值一般控制在20%左右.[2]此时地面对轮胎的滑动摩擦力做的负功显著增加,成了机械能快速耗散的重要途径,不过比起刹车片摩擦发热耗散的机械能,还是相对较少.正因为如此,长下坡连续刹车时需要注意轮胎磨损和发热的隐患,更需要注意刹车片过热造成刹车失灵的隐患.

小结:正常行驶时,路面对驱动轮和非驱动轮的摩擦都以静摩擦为主,静摩擦力不做功,同时存在的滑动摩擦力做少量的负功.非正常行驶时这个负功可以显著增加.

3 能做正功的牵引力究竟是什么?

推动汽车前进的摩擦动力不做正功,那为什么平常所说的牵引力却能做正功呢?牵引力到底是什么?

牵引力与摩擦动力做的功截然不同,显然不是一样的概念.这一点也获得了主流观点的认同.遗憾的是,究竟何谓牵引力的争议从未停息,以至于至今尚未形成公认的牵引力定义.

主流观点中文献[3]提出的看法相对比较合理:如图3所示,汽车向左运动,“汽车的驱动轮所受地面的静摩擦力f并不是汽车的牵引力,而驱动轮施加在车轴上的、方向向前的推力F才是汽车前进时的牵引力”.

图3

该文把平动的车身与转动(同时在平动)的车轮分开作为研究对象.以车身为研究对象时,作用在车身轴承上的推力(即牵引力)F成了外力.文章认为这个牵引力F大小和方向都与摩擦动力f相同,性质和作用点都与f不同.这个定义既保留了牵引力产生车身加速度的功能,又解释了f不做正功而F却能做正功(受力点有向左的速度)的疑问.

可是,如此界定牵引力,又会带来一个新的问题.以车身为研究对象用外力F计算加速度时,要把车轮的质量排除在外;当车轮质量m及其平动加速度a的乘积ma不可忽略时,F与f显然不相等.而我们平常所说的牵引力,却是可以产生汽车整体平动加速度的外力,理论上必须与f大小相等.因此,文章尽管为解决牵引力做正功的悬疑提供了富有启发性和创造性的简明思路,还是不够完美.

笔者认为,我们计算汽车整体平动的加速度时,实际上已经很自然地把整辆汽车的质量集中到了质心,看成了一个质点,对车轮的转动已视而不见.此时地面对驱动轮的摩擦动力也被自然地“假想”迁移到质心上.这个被迁移到质心的摩擦动力,保持原来的大小和方向不变,因而对汽车整体平动的加速度没有任何影响.另一方面,把汽车简化为质点之后,发动机和驱动轮都不再“存在”,内力做正功使汽车动能增加的内部机制已经在研究者的视野中“消失”,而本来作用在驱动轮上不做正功的摩擦动力,变成了作用在平动质心上能做正功的牵引力,恰好等效补偿了内力做正功机制的“消失”.所以,与其把牵引力看作驱动轮对轴承的水平推力,留下与摩擦动力可能不相等的遗憾,不如把牵引力简单地视为作用点被迁移到质心的摩擦动力.赋予迁移后的摩擦动力做正功的能力,是把汽车理想化为质点时理所当然的等效变通.

小结:牵引力是因为作用点被“假想”迁移到汽车的质心而附加了做正功能力的摩擦动力.

4 牵引力的功是不是驱动力矩做的功?

传统汽车理论还给牵引力下了一个模糊的流行定义:牵引力是汽车发动机对驱动轮的驱动力矩使汽车前进的力.据此多数文献认为“牵引力做的功就是驱动力矩做的功”.[4]还有研究者进一步深刻分析了能量转化机制,指出:“可将发动机的驱动力矩和(地面对)驱动轮的摩擦力的综合作用等效为牵引力.”[5]这些研究清晰揭示了汽车动能来自发动机而不是地面,丰富和发展了汽车力学理论.

然而,通过以下推导,笔者发现牵引力做的功与驱动力矩做的功还是存在着本质的区别.

把驱动轮理想化为刚体,不考虑制动等特殊的状态,设发动机对驱动轮的驱动力矩大小为M驱;地面对驱动轮的摩擦力f对平动而言是动力,对转动却是阻力(参见图3),设其力矩大小为Mf;轴承摩擦和空气对转动也有阻碍,设其合力矩大小为M阻;若驱动轮转动惯量为J,在驱动轮转过角度θ的过程中,初、末角速度分别为ω1、ω2.则它们的关系可表示为

(1)

可见即使在常规情况下,由于轴承和空气对驱动轮的阻力矩做了负功-M阻θ,以及可能的车速变化导致ω的变化,驱动力矩做的功M驱θ与驱动轮克服地面摩擦力矩做的功Mfθ也可以不相等.

如果出现特殊的情况,这两个功差值可能变得更大.例如,设想一种极端的状况——地面光滑,或者驱动轮因路面起伏暂时离开地面,司机仍踩下油门,则驱动轮将在驱动力矩的作用下快速空转,汽车将完全丧失前进的动力,驱动轮的转动动能将完全丧失转变为汽车平动动能的途径,只能通过克服轴承和空气的阻力矩做功而耗散.此时M驱θ>0,Mfθ=0,两者的区别更是显而易见.

从(1)式还可看出,Mfθ表示Mf对转动动能的“吸收量”,那么这部分被吸收的转动动能是否等于牵引力做的功呢?若驱动轮半径为r,牵引力大小为F引,汽车平动位移大小为x,则按照公认的计算习惯,牵引力做的功等于F引x.唯有再加上不打滑的条件,才能导出Mfθ=frθ=F引rθ=F引x,才能认为被Mf吸收的转动动能全部以牵引力做的功F引x为量度,转化为汽车整体的平动动能.然而,如前文所述,无论汽车是否正常行驶,打滑都不可避免,即Mfθ>F引x.

总之,从数值上看,M驱θ≠Mfθ≠F引x.正常行驶时这3个功差异并不显著,非正常状态时可以明显不同.

其实不只是数值,站在物理意义的角度考量,它们也有区别.由(1)式可知,驱动力矩做的功M驱θ是来自发动机的能量向着驱动轮转动动能转化的量度,Mfθ是摩擦动力对转动动能的吸收量的量度.而牵引力做的功F引x是被Mf吸收的转动动能最终向着平动动能转化的量度.

小结:无论从数值上看,还是从能量转化的意义上看,牵引力做的功与驱动力矩做的功都不相同.