跨学科融合培养高中数学建模素养的探究

杨光

数学建模是高中数学学科核心素养之一，其培养需要在问题应用情境中开展。除本学科模型之外，其他学科中也有丰富的模型可以引导学生加以发现和解决。通过跨学科融合探究，提升学生数学建模素养，帮助学生掌握研究问题的基本方法路径。

一、问题提出的背景

人教版高中物理必修第一册第三章第一节中涉及重心知识。在跨学科听评课活动中遇到如下题目：

例题：一个水桶装满水，桶底部有一个小孔，在水从小孔不断流出的过程中，桶连同桶中水的共同重心将（）

（A）一直下降（B）一直上升（C）先升后降（D）先降后升

答案是重心先下降后上升。从物理学科角度，该知识点学生可以定性的分析清楚就已经达成了教学目标，但是问题也随之出现。下降的过程重心是匀速变化吗？重心最低可以降到什么位置？重心回升的过程是什么样的规律呢？可以引领学生发现和提出问题，并将这个物理问题抽象为数学模型，进一步进行更加精准的定量分析，最终对物理结论重新加以解释，体现从数学角度对问题进行观察、思考、表述的现实意义。

二、水桶重心变化模型的解决过程

（一）模型假设

水桶和桶内变化的水体构成了物质系统。质心是整体认知这个系统质量重心的假想平均位置，本文中用高中生更为熟悉的重心概念代替表述。

（二）模型建立

经过师生研讨，使用解析几何的思路在模型假设基础上建立模型。如图1所示，将水桶轴截面放置在平面直角坐標系xoy内，重心在y轴上。桶底重心为固定点O，设G为水桶重心位置，此点位置不变，G1为桶内水体的重心，虽然位置不断变化，但是始终位于水体正中，用其点的纵坐标进行表示。设定G2为桶与水视为整体时的重心（质心）。m′表示变化过程中的质量，根据比例可以表示为hm。

由质心公式建立数量关系：

代入数据即得到：

整理成yG2关于h的函数，并记为f（h），得到：

，h∈［0，1］

至此得到水桶中水流出过程中重心变化的函数模型。

（三）模型求解

由于学生接触这个物理问题是在高一年级，因此根据学生知识基础，可选择以下方法进行解决。

将函数            变形可以得，          ，这个函数符合“对勾函数”的形式特征。对于这个函数可以使用基本不等式求取最小值，当且仅当时          ，即         时取得最小值。

随着学生掌握数学知识方法的不断丰富，也可以采用求导的方式对函数性质进行解决。

（四）模型意义的解释

以上过程利用数学方法解决了从物理问题抽象出的数学模型，均是在       时取得最小值    ，即重心下降到最低时距离桶底距离为     。现在需要将数学结论回归到物理背景下进行解释。面对得出的结论，由于一般化结果比较抽象，不够直观，学生遇到了困难。此时引导学生思考将一般结论进行特殊化的方法——使用特殊值辅助直观理解。

以m=5时为例，即当               时，重心降低到距离桶底0.29时开始回升直到水全部排空后回到距离桶底  处。

为了能让学生更加直观的看出变化规律，利用软件《GeoGebra》做出m=5时的图象，坐标系的横轴意义是水面距离桶底的高度h，纵轴意义是整体重心距离桶底的距离。通过图2可以看出函数的单调性变化规律和极值情况。

对于一般规律和特殊值直观结论，鼓励学生从不同角度解释结论，师生通过讨论得到以下对物理结论：

1.由函数图象单调性，特别是每点处切线斜率变化规律得出结论：重心回升速度比下降时快，显然这是符合客观事实的。

2.由一般结论到特殊值验证，发现无论m取何值，函数f（h）的极（最）小值点都落在直线f（h）=h的图象上，由此得到了一个令人“难忘”的结论：随着水面下降，水体重心下降导致整个物理系统（桶和水）的重心下降，当水面下降到恰好“追及”整体重心时，重心开始回升。这是一个体现了变化中不变的规律。

三、跨学科融合建模实践的价值与意义

经历在实际情境中发现、提出、分析问题，建立模型，确定参数计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题的过程，进而发展“四能”，帮助学生实现“三会”，即会用数学的眼光看、会用数学的思维想、会用数学的语言表达现实世界。

当数学建模基于问题研究的广泛性、基础性涉及其他学科时，其价值与意义再一次得到扩展和提升。

（一）体现数学基础学科的学科价值

“数学是有用的”应当在使用中体现，而且不能拘泥于数学本身知识与方法，更要运用数学原理和思想方法描述和解决现实世界中规律性的东西。

对于高中阶段的学生最直观的感受就是能用数学方法解释其他学科中的具体问题，例如用球面距离的计算解决地理中两城市航线最短问题，用概率计算解决生物遗传规律。但这其实远远不够，还有很多类似本文中提出的问题，其学科的教学目标仅要求学生做了解，做定性分析即可，但是学生的求知欲有时不止于教学目标，学生希望看到更多的现象背后的本质与规律。此时，数学建模教会了学生如何运用数学方法和知识探究本质与规律，这也帮助学生实现了深度学习。

（二）体现数学建模育人的价值意义

对于数学建模的育人价值和作用，《普通高中数学课程标准（2017版）2020年修订》中有如下概括：

通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

跨学科融合建模可以使学生有更加宽广的眼界，有普遍联系认知世界的观点。在师生跨学科融合建模教学经验不断积累中，激发学生自主思考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识与实践能力，最终把学生培养成为适应现代社会要求的可持续发展的建设者。

（三）实现整体单元教学设计的途径

高中新课程处处体现单元教学设计的思路，这更加体现知识与思想方法的逻辑性线索，有利于学生整体掌握知识，理清知识之间的内在联系，以及不同知识章节之间的关联。单元教学设计可以按照主干知识概念为线索开展，也可以按照数学的思想方法主线梳理，甚至可以将某些贯穿教学始终的知识作为主题，统领各章节与其相关知识，形成跨章节单元教学设计。

这些实践经验帮助我们进一步扩展思路，尝试基于问题的单元教学设计，开展课程延伸类的校本教学，生发点始于师生在各学科教与学中发现的问题，目标指向学生综合素养的提升。

学科设置的目的一定不是阻隔知识之间的联系，但是现阶段师生教与学事实上是各行其是，跨学科融合建模研究应该成为现阶段比较具有可行性的一个途径。

（徐德明）