三法一体 有序提升

朱旭平 徐旭琴

人教版小学数学教材六年级上册“鸡兔同笼”一课，以独立的方式呈现了解决这一问题的三种方法，分别是猜想列表法、假设法、列方程法。如果再深入分析这三种方法的内在特点及思考根源，可以发现它们并不是孤立的教学点，而是存在着内在的有机联系。笔者以具体的教学实践为例，来谈谈自己的思考。

【教学过程】

一、化繁为简

1.出示用古文表述的鸡兔同笼问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，問雉兔各几何？

师：这就是著名的鸡兔同笼问题，是大约一千五百年前，我国古代数学著作《孙子算经》中记载的一道数学趣题。读一读，这道题的意思你明白吗？

2.根据学生回答，用白话文表述的鸡兔同笼问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

师：这个问题你能解决吗？感觉有点难度，我们可以先从简单的问题入手。

3.出示简单的鸡兔同笼问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

[评析：从《孙子算经》引入鸡兔同笼问题，并对这一问题进行语言表述上和数量多少上的简化，旨在传递鸡兔同笼问题的数学文化气息，渗透解决较复杂数学问题所经常运用的化繁为简的思想，有助于学生把握数学知识发展的脉络，初步感受问题中所蕴含的数学思想。]

二、猜想提升

1.解读题意。根据第一个条件“从上面数，有8个头”，猜一猜，有几种可能？根据学生的回答，有序地整理成下表，想一想，你们是怎么猜的？如果兔有x只，鸡有几只呢？

…2.哪一种可能是对的呢？要根据哪一个标准去判断？（根据鸡兔一共有26…只脚）你会计算每种情况鸡兔的总脚数吗？根据学生计算呈现表2。

师：都算对了吗？你是怎样算的？每只鸡有2只脚，只数×2=脚数，每只兔有4只脚，只数×4=脚数。哪一种情况是对的？谁来解释一下？有3只鸡，5只兔，列出算式是2×3+4×5=26只脚。

教师总结：我们用列表的方式，找到了正确答案：鸡有3只，兔有5只。

3.教师指着表格中用未知数x…表示的数，提问：谁来说说2（8-x）+4x…表示什么意思？只有当它的值等于26时候，求出的x值是正确的。你能根据刚才的思考，用列方程的方法来解决这道题吗？根据学生回答，课件呈现用方程解决问题的过程。

解：设笼子里的兔为x只，那么鸡为（8-x）只。

[评析：猜想列表法与方程法具有相关性，可以说方程中的未知数及含有未知数的式子是猜想列表中数量及用数量计算脚数的一种模型。具体分为两个方面：一方面根据题中的一个条件（共有8个头）进行有序的猜想并形成表格，这种总数量不变，而其中的两部分数量互变的函数思想已转化为学生熟练的猜想技能，进而根据内在关系将猜想列表提升为用未知数模型表达这两部分数量；另一方面是让学生用脚数去验证，计算方法是鸡头数×2+兔头数×4=总脚数，这一方法在含有未知数的等式中就更加清晰地呈现出来。在这两个方面提升的基础上，用方程解决鸡兔同笼问题就水到渠成了。]

三、规律揭示

1.仔细观察表2，你还发现了什么？从左往右看，1只鸡换作1只兔，就多了2只脚，从右往左看，1只兔换作1只鸡，就少了2只脚。然后在电脑上用图的变化进行定型（见图1）：鸡兔互换1只，脚数相差2。

2.如果先猜鸡兔只数分别是8、0，怎么调整到3、5呢？学生指着表格说，1只鸡换作1只兔就多2只脚，2只鸡换作2只兔就多4只脚，3只鸡换作3只兔就多6只脚，4只鸡换作4只兔就多8只脚，5只鸡换作5只兔就多10只脚，这样脚数就是26只，调整了5次，然后在电脑上用图的变化来巩固学生的思考。（见图2）

3.怎样才能一步就想到将5只鸡换作5只兔呢？鸡、兔只数分别是8、0，总脚数是16只。而要求总脚数是26只，那16只脚到26只脚总共还少了10只脚，1只鸡换作1只兔，就增加2只脚，而10里面有5个2，因此是5只鸡换作5只兔，增加了5个2只脚，即增加了10只脚，这样就得出兔是5只，鸡是3只。接着用算式规范学生的思考：假设笼子里都是鸡，2×8=16（只）脚，26-16=10（只）脚，4-2=2（只）脚，10÷2=5（只）兔，8-5=3（只）鸡。

4.运用假设法。如果假设笼子里都是兔，该怎么计算？用算式完整地表示出来。假设笼子里都是兔，4×8=32（只）脚，32-26=6（只）脚，4-2=2（只）脚，6÷2=3（只）鸡，8-3=5（只）兔。然后让学生指着算式说思考过程。

5.两种假设法进行归纳比较，总结出假设法的解题方法与经验：都是用总相差的脚数除以每只相差的脚数。要注意：开始假设都是鸡的，先求出的是被换的兔的只数；开始假设都是兔的，先求出的是被换的鸡的只数。

[评析：假设法是对猜想列表中内在规律的挖掘与提炼，其中需要实现两个方面的提升。一是观察表格发现1只鸡和1只兔互换，相差的脚数是2，进而提升到几只鸡和几只兔互换，相差的脚数是几个2；二是在顺向观察的基础上，进而提升为逆向思考“怎样才能一步就得到5只鸡换作5只兔呢？”并能用算式记录思考过程，从而形成解决问题的方法。]

三种解决问题的方法是相关联的，皆出于学生对问题猜想的原生态思考。本教学正是着力于三种方法之间的联系，将一般以孤立零散的方式进行的教学提升到以整体联系的方式进行教学，培养学生整体联系的思考方式，有利于改变学生为学方法而学方法的不良状态。