大概念引领下的高中数学单元教学设计*——以“数列求和”为例

黄晖明|福建省厦门市集美区灌口中学

一、大概念及其分类

现行数学教材以知识的内在逻辑关系为基本依据编排.编写者先对“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合，以形成相对完整的单元模块，再按研究数学对象的基本套路（背景—概念—要素—表示—分类—关系—运算—性质—应用）为线索划分课时，最后设计符合知识自然发生发展及学生认知规律的问题情境，以便教师展开单元整体教学.用于统摄和组织上述单元教学的便是大概念.

大概念可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题，它具有生活价值［1］.按照所在层级，大概念可以分为课程大概念、单元大概念、课时大概念.根据教学功能的不同，这些不同层级的大概念还可以分为以下三类：一是指向内容“是什么”的大概念，如“几何图形的性质是什么”“解析几何的数学思维方式是什么（先用几何眼光观察，再用代数解决几何问题）”等；二是指向内容“怎么学”的大概念，如“借助单位圆研究三角函数”“通过运算研究数列问题”“运用导数研究函数性质”等；三是指向内容所蕴含数学基本思想的大概念，如“向量是自由的，是沟通几何与代数的桥梁”“三角函数性质是圆几何性质（主要是对称性）的直接反映”等.从教学功能看，大概念具备知识技能和研究方法双重属性，能将离散的知识结构化、方法系统化，能统领课堂教学的有序展开.

二、大概念引领下的单元教学设计要点

大概念是高度抽象的，其与具体对象的关联以及在解决问题中的引导作用并不是显而易见的；大概念也不可能一蹴而就地学会，而是要经历一个从接触到熟悉到领悟再到自觉运用的“生长”过程.因此，高中数学单元教学设计的关键在于大概念的引领，主要包含大概念的提取、生成和驱动.

（一）多角度关联，提取大概念

多角度提取大概念是教师理解数学、理解教学、理解学生的基点，也是单元教学设计的起点.大概念可以通过课程标准、核心素养、专家思维、学习难点等路径来提取，但经常是几条路径相互关联、共同作用的结果.如人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第二册第四章中的“数列求和”知识：其内容本身涉及课时大概念“前n项和公式是数列的一种表示”、单元大概念“数列是一类特殊函数”；从研究方法角度可以提炼课时大概念“减项求和是数列求和的原理”、单元大概念“通过运算研究数列相关问题”；从学生学习难点出发可以提炼单元大概念“数列求和化简要立足数列的性质”；从核心素养角度出发可以提炼课程大概念“数学运算”等.

（二）设计挑战性学习任务，生成大概念

专家思维是以大概念来组织的，常常镶嵌在具体情境之中，大概念的层次越高，越需要更多的具体案例来支撑.生成大概念往往需要具体与抽象思维协同作用，因此在实际教学中，“具体—抽象—具体”是一种常用的生成机制，而挑战性学习任务则是承载大概念生成的重要依托.围绕大概念，在学生的最近发展区设计挑战性学习任务，将大概念渗透于学习任务的逐步解决中，是单元教学设计的重要考量和关键环节.

笔者将“数列求和”知识整合为1个单元4个课时，并设置了7项挑战性学习任务，具体如下.

第一课时：（1）求1+2+3+···+n；（2）推导一般等差数列前n项和公式；（3）用其他方法得到等差数列前n项和Sn公式.

第二课时：（4）等差数列前n项和公式的应用.

第三课时：（5）棋盘麦粒数问题；（6）求一般等比数列前n项和Sn公式.

第四课时：（7）等比数列前n项和公式的应用.

通过以上学习任务，学生既经历“首尾配对—倒序相加”的知识发现之旅，循序渐进地积累代数推理的数学活动经验，又经历从特殊到一般再回到特殊的等差、等比数列前n项和的公式推导及应用过程，逐步生成、渗透、应用大概念.这样螺旋上升地安排学习任务，可让大概念（数列求和化简要立足数列的性质）得到反复理解的机会，使学生深度体验解决数列求和问题的思考结构、思维方式，并能在新的求和情境中激活、运用，从而感受大概念在问题解决过程中的引领作用.

（三）设置问题链，驱动大概念

问题链是大概念的“门窗”，为大概念的渗透“铺路”，为大概念的理解提供脉络化探索路径，为核心素养的培育提供现实载体.数学问题链是根据教学内容及其所蕴含的思维脉络，立足学生的认知水平而设计的具有系统性、层次性、结构化的一系列问题，由横向的主干问题及纵向的追问组成.教师要以从整体到局部的结构化思想为指导，先融合学习任务及其所蕴含的思维主线，设置主干问题，搭建问题链整体框架，构建思维层次，再细化局部，设计追问，延展思维深度.主干问题是驱动数学知识发生、发展过程中的核心问题；追问是遵循学生认知过程、联结主干问题间的思维跨度、指引学生深入思考的重要问题［2］.

三、大概念引领下的单元教学设计案例

笔者综合考虑从各个角度提炼出来的大概念，确定以“数列求和”为主题进行单元教学的原则：组织教学内容时，以课时大概念“前n项和公式是数列的一种表示”、单元大概念“数列是一类特殊函数”、课程大概念“数学运算”为统领；梳理教学思路、设计问题链、开展教学活动时，以“怎么学”方面的大概念“减项求和是数列求和的原理”“通过运算研究数列相关问题”为思维引领.

在具体的教学设计中，笔者将教学重点放在公式推导的“思想方法”上，引导学生感受代数推理的一般方法，经历探究数学公式的代数思维过程.如在“等比数列前n项和公式”的教学中，笔者按照“多角度并联—设计挑战性学习任务—设置问题链”的单元教学流程，设计了如下探究过程及问题链.

【环节一】创设情境提出问题

［问题情境］棋盘中的麦粒数问题

主干问题1：棋盘中麦粒总数的问题可以转化为一个什么数学问题？你准备如何解决这个问题？

［师生活动］学生自主抽象出等比数列模型，并将实际问题转化为求首项为1、公比为2的等比数列前64项和的数学问题；学生独立思考求和方法后，与同桌交流解决方案.

设计意图：数学源于生活，用一个有趣的实际问题情境引入等比数列求和问题，激发学生的探究欲望；让学生尝试解决数学问题，积累解决问题的经验，为后续学习提供思考空间.

【环节二】合作探究推导公式

主干问题2：如何求一个数列的前n项和公式？你有哪些求和的经验可以借鉴？

［师生活动］教师引导学生归纳数列前n项和公式的推导是将Sn=a1+a2+a3+…+an中的省略号部分消除，然后用“有限”项数的式子表示，经常用基本量来表示；学生回顾首尾配对、分组求和、迭代、倒序相加等求和经验.

追问1：你能归纳出等差数列求和的原理吗？

［师生活动］教师引导学生再次归纳数列求和单元的大概念“减项求和是数列求和的原理”“通过运算研究数列相关问题”“数列求和化简要立足数列的性质”.

追问2：等比数列前n项和公式可以用上述方法推导吗？

［师生活动］学生借鉴等差数列求和方法（倒序相加），对等比数列的前n项和进行直接相加、相减、相乘、迭代运算，发现都达不到消项的效果.教师再引导学生在大概念“数列求和化简要立足数列的性质”的思维引领下进行运算，考虑乘以某数再两式相加或相减，观察①Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1与②qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn的联系，发现①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn⇒(q≠1)，再联系其他情况，最终可得Sn=

追问3：考虑等比数列的性质，还有其他推导方法吗？

［师生活动］学生回想并罗列等比数列性质=q（n≥2），教师引导学生将其与前n项和Sn相关联，对上述连等式变形化简可得到(q≠1)，注意验证n=1时等式是否成立.根据关系Sn-1=Sn-an(n≥2)及等比数列性质，进行如下变形Sn=a1+a2+···+an=a1+q(a1+a2+···+an-1)=a1+qSn-1，控制变量留基本量，得Sn=a1+qSn-1=a1+q(Snan)，化简可得(q≠1)，注意验证n=1时等式是否成立.

追问4：以上三种思路各有何特点？你是如何想到这些求和方法的？

［师生活动］学生回顾思路1“根据等比数列前n项和的特点，运用乘比错位相减”，思路2“运用等比数列定义及合比定理”，思路3“运用an与Sn关系巧妙构造”，都能达到减项求和效果.教师引导学生归纳这三个思路的由来，学生发现它们都是基于大概念“通过运算研究数列相关问题”“数列求和化简要立足数列的性质”“减项求和是数列求和的原理”的思维引领而进行的化简求和.

设计意图：如何避免“强行”得到错位相减法是教学设计过程中需要重点突破的问题，而这主要是由学生思想方法层面（化多为少，化繁为简）的知识准备不充分造成的.在学生经历了第一环节的“试错”后，立即引导其回顾总结归纳出数列求和的原理（即大概念）.学生基于大概念，从两个方向思考：一是消项思想贯穿整个数列求和单元；二是要抓住等比数列定义和性质再进行代数运算.这可强化大概念在求和过程中的思维引领作用，化解求和过程中“想不到”的尴尬.然后通过追问，引导学生总结该课时所学的错位相减法与另外两种思路“形异神似”，本质上都是利用等比数列的定义，通过不同的方式进行消项，其中错位相减法对定义的利用更充分、适用性更强，也更易于理解和操作.最后通过不同思路的公式推导过程，让学生多次经历基于等比数列性质，寻找代数运算技巧，将多项、不同数求和化归为相同数求和的过程，从而切实掌握求和中的代数变换技巧.

主干问题3：当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，那么，等比数列前n项和公式又跟什么函数有关联呢？

［师生活动］学生思考后小组交流、展示结论.当q=1时，Sn=na1是关于n的一次函数，当q≠1时=kqn+b是一个特殊的指数型函数.

追问5：你觉得故事里的国王能够兑现承诺吗？

［师生活动］利用推导出来的公式解决实际问题，让学生感受数学的实用性，及指数爆炸式增长的“威力”.

设计意图：通过问题引导学生进行知识的多元联系，感受教学过程的前后逻辑连贯性，加深对公式的理解，建构知识的结构.

四、大概念引领下的单元教学实践反思

（一）大概念让单元教学有逻辑可循

核心素养是对教学目标的描述，而素养形成的前提是理解大概念，形成专家思维.单元是素养目标达成的单位，大概念是单元教学设计的“灵魂”，为单元教学“引路”.在大概念的引领下进行单元教学设计，将散布在教材中“具有关联性”的知识按“是什么”的大概念进行串联、整合、重构，找到单元整合的依据和标准，可使单元教学设计有逻辑可循.而“怎么学”的大概念，则为单元教学提供了整体设计思路，引领教师开展课堂教学实践，实现单元教学的“上接下联”（即上接学科核心素养、下联课时教学目标）、上位学科核心素养与下位课时教学目标的贯通，促进学科核心素养的落地.

（二）问题链促进大概念的具象化

大概念看不见、摸不着，具有内隐性.大概念引领下的数学问题链设计应以大概念渗透为核心目标，教学过程中需要借助具体研究对象，以问题为载体，将大概念的生成融于有逻辑、有结构的问题链中，让学生更容易直观感知大概念及内隐化的数学基本思想和方法.教师还要适当变化问题情境，让学生应用大概念解决新问题.这样设计问题链，能有效地细化、具象化大概念，破解大概念的抽象性.问题链为大概念的渗透和理解提供脉络化探索路径，能够引发与大概念相关的持续性思考，不断激活具体经验，逐步引领学生经历大概念的建构过程，进而建立复杂认知结构，达成对知识的深度理解.

（三）大概念可提供解决问题的思维支架

大概念引领下的单元教学以培养学生解决真实问题的专家思维为核心目标.通过重组的单元教学内容，学生有机会反复体验同一类属知识建构过程中的大概念，对知识背后的逻辑、方法关联有更深刻的体会.教师要设计一系列紧密联系的问题，将大概念引领问题解决的思维过程具象化，构建解决实际问题的思维支架，使学生体会问题解决过程中专家的思维方式，而不仅仅是记住“专家结论”.由此，学生在面对新问题时就能从模仿自然过渡到应用，最终学会像专家那样思考.