数学文化视角下的高中数学试题命题探究

陈国林

数学作为一门基础学科，一直以来由于其抽象性使得在大多数学校的教学活动中多以理论知识的传授为主，这样的教学方式一方面难以激起学生的兴趣，另一方面也忽略了数学在实际生活中的应用价值，将会导致“学用分离”的局面.诗歌作为一种抒情言志的文学体裁能够生动形象的反映社会生活.将诗歌文化及其数学艺术融入到课堂之中，不仅能够给课堂教学注入新的能量，还能够实现文化自信.

近年来以数学文化为命题素材，以诗歌文化为命题导向的问题在数学中多有体现，我们主要以数学文化为命题背景，展现数学文化在中学试题中的命题方向，进而促进考生更好地理解数学文化命题的方向.

一、诗歌引领，问题导向

【例1】 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”一座山峰总是高低起伏不同，已知某山峰可以近似的用函数f（x）=（x2+2x）（x2－6x+8）来表示，则f（x）的最小值为        .

【解析】 因为f（x）=（x2+2x）（x2－6x+8），

所以f′（x）=（2x+2）（x2－6x+8）+（x2+2x）（2x－6）=3（x3－3x2－2x+4）=4（x－1）（x－1－ 5 ）（x－1+ 5 ），

当x<1－ 5 或1

当x>1+ 5 时，f′（x）>0，

所以f（x）  min =f（1+ 5 ）=f（1－ 5 ）=－16.

【点评】 诗歌文化与数学试题的融合给人以美感，诗歌作为一种文学体裁和数学的交融让数学变得更加有趣，有力，有味.

二、素材背景，强化应用

【例2】 如图所示是迪拜的一个双曲线的建筑，该建筑外形酷似一条双曲线，若记该双曲线 x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）的离心率为e，左焦点为F（－c，0），已知A，B是双曲线两条渐近线上的两点，且有k AB=k AF=1，M为AB的中点，如果 FM =c，则e2=       .

【解析】 设双曲线 x2 a － y2 b2 =1的渐近线方程为y=± b a x，直线AB的方程为y=x+c，

联立方程  y= b a x，y=x+c，  解得  x= ac b－a ，y= bc b－a .

同理，联立方程  y=－ b a x，y=x+c，  解得  x= ac －b－a ，y= －bc －b－a ，

不妨令A  ac b－a ， bc b－a  ，B  ac －b－a ， －bc －b－a  ，

因此可得AB的中点坐标M  a2c b2－a2 ， b2c b2－a2  ，

故有 FM =   a2c b2－a2 +c 2+  b2c b2－a2  2 =  2 b2c  b2－a2  =c，即 2 b2c=c b2－a2 ，

因为c≠0，所以 2 b2= b2－a2 ，所以 2 b2=b2－a2（矛盾，舍去）或 2 b2=a2－b2，

所以a2= 1+ 2  b2.

所以b2=  2 －1 a2，所以c2=a2+b2= 2 a2，因此可得e2= c2 a2 = 2 .

【點评】 以建筑、雕塑外形为背景得数学命题，是比较常见得一种命题模式，它能够有力得展现出数学之美在实际生活中得应用，当然，我们对于这类问题不能拘泥于“外形”的命题，还应注重“内在”的展现，例如：断臂维纳斯结合黄金分割比例相互结合的命题.

三、五育并举，德育先行

【例3】 杭州某高校为迎接2023浙江杭州亚运会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首次先选派1名志愿者，然后每次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列 a n ，保持数列 a n 中各项先后顺序不变的情况下，在a k与a k+1（k=1，2，…）之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列 b n ，

按照新数列 b n 的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（  ）

A .2091

B .2101

C .2110

D .2112

【解析】 因为a n=1+（n－1）×1=n，由于在a k与a k+1（k=1，2，…）之间插入2k，

所以在数列 b n 中有10项来自 a n ，10项来自 2n ，

所以S 20= 1+10 2 ×10+ 2（1－210） 1－2 =2101.

【点评】 该题命题角度新颖独特，以常规的数列问题为命题素材，以不一样的设计形式为制高点，结合服务意识为命题选材，较好地对考生的思维能力进行了检测.

四、数学建模，解答问题

【例4】 随着城市化的进程，道路交通压力一直是困扰人们出行的重要课题，为了对道路通行能力N进行研究，可通过N= 1000v c 1v+c 2v2+d 0 来估计，其中v表示车速，c 1表示司机反应时间，c 2表示比例系数，d 0表示车身的标准长度与两车之间的安全距离之和，则N的最大值为（  ）

A . 1000 c 1+2 c 2d 0

B . 1000 c 1+2  c 2 d 0

C . 500 c 1+ c 2d 0

D . 1000 c 1+ 2 c 2d 0

【解析】 因为N= 1000v c 1v+c 2v2+d 0 ，所以N= 1000 c 1+c 2v+ d 0 v  ，当v=  d 0 c 2  时，N的最大值为N  max = 1000 c 1+2 c 2d 0  .

【点评】 该试题选材来自于实际生活，以同学们熟悉的交通问题为命题背景，给出了道路通行能力的数学模型，体现了数学服务生活的理念.

五、阳光体育，健康成长

【例5】 2023年全国“行走大运河”全民健身健步走活动启动在即，已知某非大运河沿线省份因地制宜，开展了“每天健步1小时”活动，若报名参与者参加锻炼的天数X服从正态分布N（149，612），已知此次参与该活动的人数共有3000人，则坚持参与“每天健步1小时”活动超过21天的人数约为（参考数据：P（μ－σ≤X≤μ+σ）=06827；P（μ－2σ≤X≤μ+2σ）=09545；P（μ－3σ≤X≤μ+3σ）=09973）（  ）

A .450

B .465

C .470

D .476

【解析】 因为P（μ－σ≤X≤μ+σ）=06827，

所以P（X>21）=P（X>149+61）= 1-06827 2 =015865，

所以3000×015865=47595≈476人.

【点评】 以球类运动和身体健康为背景的数学问题是高考较为喜爱选取的命题素材之一，该类试题多考查概率统计问题，类型多以比赛规则的设计考查离散型随机变量的分布列和数学期望为主，对于牵涉到的连续型随机变量问题则会考查正态分布问题.

结语： 我国拥有上下五千年的历史，创造出了许许多多的科学和技术成就.在数学的发展史上，曾多次出现百家争鸣，思想活跃的时期，例如：我国古代的数学泰斗刘徽创立的割圆术.

数学文化与数学试题的完美融合能够渗透理性思维，构建学生的数学建模素养和逻辑推理能力，数学以诗歌文化为命题背景，能够有效地帮助学生理解相关概念，例如在王安石的《梅花》一诗中就可以结合逻辑用语从数学的角度来看，“洁白”是“雪”的必要不充分条件.在高考试题中也曾出现以诗歌远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增.共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯的命题素材，这类素材的运用，给数学问题增加了很多的人文素材.这样的设计不在只是把数学孤立出来，而更多的体现了数学的美育和应用功能.数学是浪漫的，是有色彩的，数学的学习是具有文化气息的.

跟踪练习：

2022年世界杯在卡塔尔举行，此次世界杯的会徽蕴含了许多的数字元素，其对应的主视图酷似为伯努利双纽线.具体定义为：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F 1 －a，0 F 2 a，0 的距离之积等于a2 a>0 的点的軌迹称为双纽线C.若P x 0，y 0 是双纽线C上的一点，则下列说法正确的是（  ）

A ．双纽线C是中心对称图形

B ．－ a 2

C ．双曲线C上满足 PF 1 = PF 2 的点P有两个

D ． OP 的最大值为2a

【解析】 由双纽线的定义可知，  x+a 2+y2 ×  x－a 2+y2 =a2，

将 －x，－y 替换方程中的 x，y ，方程不变，故双纽线C是中心对称图形.

根据等面积法得 1 2  PF 1 · PF 2 · sin ∠F 1PF 2= 1 2  F 1F 2 · y 0 ，

则 y 0 = a 2 · sin ∠F 1PF 2，

所以－ a 2 ≤y 0≤ a 2 .

令x=0，得 a2+y2 × a2+y2 =a2，

解得y=0，所以双曲线C上满足 PF 1 = PF 2 的点P有一个.

由于PO = 1 2  PF 1 +PF 2  ，故PO 2= 1 4   PF 1  2+2 PF 1  · PF 2  · cos ∠F 1PF 2+ PF 2  2 ，

根据余弦定理有4a2= PF 1  2+ PF 2  2－2 PF 1  · PF 2  · cos ∠F 1PF 2，

故PO 2=a2+ PF 1  · PF 2  · cos ∠F 1PF 2=a2+a2· cos ∠F 1PF≤2a2，

即 PO  的最大值为 2 a.

（基金项目：赣东学院教改项目）

责任编辑  徐国坚