点子图让“理”更透彻

广东省深圳大学附属教育集团后海小学 杨凌会

北师大版数学教材会使用点子图帮助学生理解算理。但很多一线教师反映，不用点子图，仅用横式展示计算过程，大部分学生能够掌握计算方法并正确计算，用了点子图后有的学生反而会觉得更难，尤其是让学生独立在点子图上圈一圈，再写出相应的计算过程时，经常会出现“牛头不对马嘴”的现象。教材中为什么要加入点子图？在点子图上花时间值得吗？本文将从结构化的角度，梳理北师大版数学教材中运用的点子图的类型，分析点子图在整数乘法教学中的意义与价值。

一、整数乘法教学运用点子图的类型

（一）乘法意义的直观表达

在二年级上册“分一分与除法”这个单元里，学生初步认识乘法后，教材专门安排了“有多少点子”一课，建立乘法的直观模型，帮助学生进一步巩固对乘法意义的理解。从生活中的实物到点子图，虽然都是直观的表达方式，但点子图是对具体事物的抽象表达，一个实物用一个点子表示，一个点子可以代表各类事物。点子图的表达更具一般性，是具体事物抽象到数学符号的过渡，也是对数学模型的直观表达。乘法是求几个相同加数连加和的简便运算，点子按照每行、每列数量相同的方式排列，是几个相同加数连加的直观表达。如7行4列，既可以表示7个4相加，也可以表示4个7相加，它们的得数相同。这不仅可以帮助学生直观感知“交换两个乘数的位置，积不变”，也可以让学生直观感知“积”的实际大小。此外，点子图还可以把生活中的乘法问题抽象化，帮助学生建立乘法模型，如“1支铅笔2元钱，5支铅笔多少钱”，学生可以将2元钱用2个点子表示，5支铅笔多少钱就可以用5行2列的点子表示。学生可以将其画出来，也可以在脑中想象，从而发现这是一个可以用乘法解决的问题。

（二）乘法口诀关系的直观表达

在学习6的乘法口诀时，教材中运用点子图来推算“6×7”的结果，也就是用“五六三十”和“二六十二”两句乘法口诀推算出“六七四十二”，实质上也就是建立“6×5”和“6×2”这两个乘法算式与“6×7”之间的关系。从表面上看，这是为了寻找记忆“六七四十二”这句口诀的方法，实质上，一方面这是对乘法意义的巩固理解；另一方面也是对乘法分配律的渗透。通过把一句乘法口诀拆分成两句口诀，让学生感知乘法可以将一个乘数拆分成两个（或多个）部分，然后分别用乘法算出每个部分的结果，最后再把每个部分的积加起来。学习这样拆分的方法，如果没有点子图的帮助，大部分学生只能机械地掌握拆分再算的过程，而对其意义缺乏真正的理解。这种“囫囵吞枣”的学习所造成的影响，在后面乘法分配律的理解和应用中显露无遗。在这个例子中，将“6×7”拆分为“6×5”和“6×2”，是在建立式与式之间的关系，用一个式子与另一个式子相加，得到一个新的式子，与原来只是针对数进行计算相比，对二年级学生来说，是认识上的飞跃，有一定的难度。但正是点子图的直观呈现，让学生在动态演示的过程中，看到了分的过程和分的结果，建立了式子与点子图之间的联系，使学生对拆分过程有了更加深刻的理解。同时，学生在这个过程中所积累的经验为后续多位数乘法和运算律的学习奠定了坚实的基础。

（三）多位数乘法算理的直观表达

在两位数乘一位数、两位数乘两位数的内容中，教材都使用了点子图，用直观的方式表达多位数乘法的算理，即可以把一个整体拆分成若干个部分，分别算出每个部分的数量，然后再把每个部分加起来。用点子图展示算理，一方面能帮助学生发现不同的算法，使其能结合直观图解释算法的合理性；另一方面，能让学生从多种方法的“异中求同”中感悟运算中的“通理通性”，突出多位数乘法算理的本质，即“先分后乘再合”。这个过程也充分体现了运算律在多位数乘法计算中的重要作用。例如，“14×12=14×6×2”运用了乘法结合律，而“14×12=14×10+14×2”则运用了乘法分配律。在多位数乘法竖式的教学中，将点子图与竖式的每一步一一对应，会使学生对竖式的算理理解更加深刻，从而能将两位数乘一位数的计算方法拓展到两位数乘两位数、多位数乘两位数，直至学生领悟多位数乘多位数的通法，实现学习的融会贯通。

（四）乘法运算律的直观表达

在学生学习乘法分配律时，教材再次用画点子图的方式说明乘法分配律是成立的。在之前乘法口诀以及多位数乘法的学习中，教材已经多次渗透乘法分配律，学生对这个规律已经建立了丰富的活动经验。因此，用点子图解释乘法分配律，是调动学生的已有经验，让学生从意义上理解乘法分配律，突破学习的难点。乘法分配律是乘法运算中蕴含的规律，它的学习建立在学生对乘法意义的理解，以及对“拆分后先乘再加”这一方法的感悟上，如果在前面的学习中学生已经积累了相关经验，那么其学习乘法分配律就没有那么困难了。在这个过程中，点子图功不可没。从作为乘法的直观模型入手，点子图始终在帮助学生从乘法的意义的角度，理解运算的算理，探索运算的方法，直到学生可以用点子图反过来解释发现的规律。可以说，点子图是学生深度理解的推手。

（五）倍数与因数关系的直观表达

在倍数与因数的学习中，点子图沟通了倍数与因数和乘法之间的关系。教材从一个在二年级就已经学过的乘法问题引入，点子图所代表的乘法模型对学生来说已经很熟悉了，而这一次关注的不仅是乘法的意义，还包括两个乘数与积之间的关系。乘法算式用等号连接算式和积，表示两者相等的关系，点子图则直观地展示了两个乘数与积相互依存的关系，而这也正好是倍数与因数的本质特征。点子图既是乘法的直观模型，也是倍数与因数的直观模型，凡是具有倍数和因数关系的数都能用点子图的模型表示。用点子图表示倍数与因数的关系，有利于让学生发现生活中与倍数、因数有关的问题。

以上案例列举了点子图在小学乘法学习中的应用，这些内容相互关联，螺旋上升，体现了乘法作为数学大概念在与之相关内容学习中的统领作用，表现出知识学习的一致性，从结构化的角度展示了点子图在乘法学习中的作用。

二、整数乘法教学中运用点子图的意义

新课程标准倡导学科实践，利用点子图等直观方式探索数学问题，就是一种典型的数学实践方式。它在数学学习中，尤其是在小学阶段，有着举足轻重的作用。

（一）透过现象看本质

乘法是“数的认识和数的运算”主题的核心概念，对乘法意义的理解是小学阶段数学学习的基础，很多知识的学习都与乘法意义有紧密的联系，很多问题的解决需要运用乘法的意义寻找解决的方法。将点子图作为乘法的直观模型，为以乘法为基础的学习提供了实践的支架，教师和学生可以借助点子图，探索知识形成的过程，发掘知识的本质。以两位数乘两位数的计算方法为例，它的思路可以用“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”表示。这种方法如果只是用算式表示，学生可以学会拆分和计算的过程，但对于其中的道理却很难理解。有了点子图（如图1）的帮助，则使图形和计算过程一一对应。学生可以清晰地看到：当两个乘数分别被拆分成两个数后，整体被分成了四个部分，其中每个部分正好是拆分后的数两两相乘的结果。这时学生就真正明白了这种方法背后蕴藏的道理，对多位数乘法拆分后先乘后加的“通性通理”有了更加深入的理解。

图1

对这种方法的理解，也影响到学生后续小数乘法的学习。下面是小数乘法中的一个问题，图2中所展示的学生的方法，看似很有道理，但其实是错的。如何说明它是错误的？错在哪里呢？将上面点子图所呈现的方法迁移到这里，用面积模型来解释，能够让学生清晰地看到，这样计算的过程缺失了两个部分没有算，所以导致计算结果错误。在小学阶段，考虑到学生以形象思维为主的特点，没有揭示形如“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”的公式，但在实际的计算中，会遇到与它相关的问题。利用直观的点子图和面积模型不仅可以解释学生的疑惑，帮助学生从本质上理解算理，而且为其第三学段抽象出公式积累丰富的经验。

图2

（二）发展可迁移的能力

新课标倡导素养导向的课堂，将发展学生的核心素养作为课堂教学的主要目标。核心素养是可迁移的能力，这种能力可被用于学习新知识和解决新问题，而且不会被遗忘。将点子图引入“数与代数”领域的学习，建构数与形的联系，一方面能帮助学生理解、解释与数相关的概念、数的运算律和法则，帮助学生感悟其本质；另一方面也能帮助学生掌握利用图形去探究、描述、分析和解决问题的方法，发展学生的几何直观能力。在小学阶段，除了点子图以外，还有诸如数线、面积模型等多种直观模型。这些直观的方式为学生提供了学习的脚手架，可以帮助学生理解数学学习中的重点和难点，也为学生分析和解决问题提供了方法与策略。例如，教学用乘法口诀求商时，由于学生已经有用点子图计算乘法、用数线计算减法的经验，在提出“‘20÷4’怎样计算”这个问题之后，学生会想到用点子图圈一圈的方法解决问题，也可以想到用数线减一减的方法解决问题。在运用了这些直观的解决问题的方法的基础上，学生发现计算“20÷4”等于多少，就是求20里面有几个4，也就是4×（ ）=20，从而发现乘法与除法之间的联系，找到用乘法口诀求商的方法。

点子图沟通了数与形的联系，引导教师和学生追求理解本质的深度学习，对促进学生掌握学科的基本概念、基本思想和基本方法发挥了重要的作用，这种几何直观能力对学生的终身学习都将产生深刻的影响。点子图引入到小学数学教学中，可以使学习变得更加深入。