几何学有多强大

胡逸飞

几何学的发展历史横跨数千年，从古埃及和古希腊的欧几里得几何，文艺复兴时期的解析几何和笛卡尔坐标系的引入，到19世纪黎曼、罗巴切夫斯基和波伊亚提出的非欧几里得几何，再到20世纪爱因斯坦广义相对论的几何解释，以及现代拓扑学、微分几何等领域的不断扩展，几何学一直在不断发展，为人类对现实世界的理解提供了宝贵的工具和视角。

而在我们的日常生活中，几何形状无处不在，从自然界的美丽花朵到人类设计的建筑，再到浩瀚的宇宙结构，它们都遵循某种几何规律。《几何学的力量》一书深入探讨了隐藏在各种现象背后的几何学原理，提供了一个全新视角重新审视我们所了解的世界。书中展示了几何学在现实世界中的力量，使我们认识到几何不仅是一门学科，更是一种理解世界的独特方式。

本书涵盖了几何学在信息、生物学、策略、民主等领域的应用，以及几何学在艺术、哲学和教育中的重要地位。书中的实例丰富多彩，使得复杂的数学概念变得生动有趣。

此外，作者还通过庞加莱的“第四几何（挤压几何）”这一概念，突显了几何学在物理学领域的重要地位。而第四几何对洛伦兹时空研究的深遠影响，表明了几何学在科学发展中所扮演的关键角色。

在洛伦兹时空中，光速被内置到几何中，这与挤压平面的概念有一定的相似性。挤压平面可以看作是相对论物理学的一个简化版本，它假设空间只有一个维度，而不是三个维度，与时间的一个维度结合形成二维时空。尽管庞加莱提出了第四几何的概念，但他并没有发展出相对论。

1905年，爱因斯坦从对称性的角度推翻了物理学的传统观念，开创了相对论。随后，数学家开始将爱因斯坦的时空理论转化为几何基础。

德国数学家艾米·诺特在1915年建立了对称性与守恒定律之间的基本关系，将一系列杂乱的计算整理成一个纯粹的数学理论。诺特的理论为物理学和数学界奠定了坚实的基础，她的贡献被永远铭记在科学史册中。

在经济学领域，作者讲述了在金融数学和随机过程领域作出开创性贡献的法国数学家巴舍利耶，他在巴黎证券交易所观察到债券价格波动，提议用数学方法来分析这些波动。尽管庞加莱对将数学分析应用于人类行为表示怀疑，但他最终对巴舍利耶的论文给予了高度的评价。

《几何学的力量》一书中还讲述了马尔可夫链与香农信息论在通信技术领域的重要性。马尔可夫最初专注于纯粹的抽象概率论，对实际应用并不关心。最终他将自己的理论应用到了俄国诗人普希金的诗歌中。马尔可夫对普希金的《叶甫盖尼·奥涅金》进行了字母分析，发现辅音和元音之间存在特定的概率关系。

电子计算机的出现使得对文本的更复杂分析成为可能。谷歌研究总监彼得·诺里格使用了一个庞大的文本语料库来计算字母之间的概率。他发现，英语中字母序列的出现频率受到马尔可夫链的影响。通过将文本视为字母或双字母组序列，可以进一步了解英语文本的结构。

在此仅简要介绍了其中几个主题，事实上整本书包含的主题超过70个，揭示出几何学在科学、技术和人文领域中的广泛影响，并通过实例让读者感受到几何学在日常生活中的实际应用。这既为专业人士提供了全新的视野和启发，也让普通读者领略了几何学的优美和强大。