再谈平行四边形存在性问题解题策略

谢魁 赵洋

朝阳市第四中学崔欣颖老师的直播课《再谈平行四边形存在性问题解题策略》选自辽宁教育学院“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升.

崔欣颖老师的直播课，从知识储备、典型例题、提升训练三个方面展开，帮助学生结合图形复习平行四边形的性质及判定方法，总结处理平面直角坐标系中平行四边形存在性问题的常用方法——“平移法”与“铅直三角形法”.分别从“三定一动”“两定两动”两类模型中详细介绍平行四边形存在性问题的两种解题思路.分别讨论动点出现在坐标轴和一次函数上的不同情况，结合例题引发学生更多的思考，为今后二次函数中平行四边形存在性问题解题策略提供方法和依据.依据崔欣颖老师平行四边形存在性问题解题策略，真题呈现2022年阜新市中考第25题第（3）问.

[真题呈现]

例 （2022·辽宁·阜新）如图1，已知二次函數y =  - x2 + bx + c的图象交x轴于点A（ - 1，0），B（5，0），交y轴于点C．

（1）（2）略.

（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

[学法指导]

可以分AC为平行四边形的边和对角线两种情况进行讨论，从而确定P，Q位置.

解：由题可知抛物线解析式为y =  - x2 + 4x + 5，直线BC解析式为y =  - x + 5. 若以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，其中A（ - 1，0），C（0，5），P在抛物线上，Q在直线BC上，符合“两定两动”模型.

①当AC为平行四边形边时，得到满足题意的两种情况，如图2.

第一种情况：PQ为平行四边形中AC的对边且在第一象限中. 由Q在直线y =  - x + 5上，可设Q坐标为（t， - t + 5），由“平移法”或者“铅直三角形法”得P（t + 1， - t + 10），将P代入二次函数y =  - x2 + 4x + 5得 - t + 10 =  - （t + 1）2 + 4（t + 1） + 5，解得t1 = 1，t2 = 2，所以Q1（1，4），Q2（2，3）.

第二种情况：PQ为平行四边形中AC的对边且在第四象限中. 可设Q为（n， - n + 5），由“平移法”或者“铅直三角形法”得P（n - 1， - n），将P代入二次函数y =  - x2 + 4x + 5得 - n =  - （n - 1）2 + 4（n - 1） + 5，解得n1 = 0（此时Q与C重合，舍去），n2 = 7，所以Q3（7， - 2）.

②当AC为平行四边形对角线时，如图3，由A（- 1，0），C（0，5），得线段AC的中点D [-12，52]，由Q在直线y =  - x + 5上可设Q为（m， - m + 5），由中点坐标公式得P为（ - 1 - m，m），将P代入二次函数y =  - x2 + 4x + 5得m =  - （ - 1 - m）2 + 4（ - 1 - m） + 5，解得m1 = 0（此时Q与C重合，舍去），m2 = - 7，所以Q4（ - 7，12）.

综上，存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）或（7，-2）或（-7，12）.

[典例训练]

已知抛物线解析式为y = x2 - 2x - 3，抛物线与x轴交于A，B两点，C在抛物线上，D在抛物线对称轴上，以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点坐标.

答案：分两种情况：

①当AB为平行四边形的边时，D点坐标为（1，12）；

②当AB为平行四边形的对角线时，D点坐标为（1，4）.

（作者单位：辽宁省实验中学初中部）