例谈圆锥曲线焦点弦的三个优美性质

陈伟流

(广东省惠州仲恺中学)

圆锥曲线的焦点弦问题向来是高考命题的热点,其涉及题型多,涵盖面广,如焦点弦定比分点、通径、焦点及准线关联的定值、定点等问题,既传承经典,又常考常新.试题常围绕焦点弦的相关优美性质,在学生的必备知识、关键能力、核心素养等层面进行不同程度的考查,所以我们有必要对母题进行系统、全面、深入解读与拓展.为此,笔者从三道解析几何的模拟试题出发,探索与推广圆锥曲线焦点弦的优美性质,为读者提供一定的借鉴与参考.

1 试题呈现

2 性质探索

将例2的背景进一步推广到双曲线,经探究,可得性质2.2.

图2

图3

其中e1,e2分别为椭圆C1和双曲线C2的离心率.

图4

3 应用提升

例5在平面直角坐标系xOy中,已知A(－1,0),B(1,0),动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3.

(1)求动点C的轨迹方程E;

(2)过点(2,0)作直线l交曲线E于P,Q两点(P,Q在y轴两侧),过原点O作直线l的平行线l1交曲线E于M,N两点(M,N在y轴两侧),试问是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,说明理由.

答案(1)动点C的轨迹方程为

图5

答案(1)C1和C2的方程分别为

解析几何试题向来以命制背景丰富、呈现形式多样、结论优美和谐而深受广大师生热捧,特别是与焦点有关联的定值、定点问题更是高考中的常客,只要我们善于发现、勤于探索、乐于总结,必能在知识整体上理解问题的通性通法,明晰相关结论的逻辑,如此才能提升数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养,培养问题解决的思维品质,为高考备考做好全方位的储备.

(完)