受到集中力悬索结构构形确定方法

李乡安 刘召华

摘要：针对如何确定悬索结构受到竖直向下集中力时的空间构形问题，本文首先利用载荷等效法推导该类问题的数学边界条件，然后编制了针对该类问题的通用求解程序，最后分别使用所编求解程序和成熟的商业有限元软件验证了所推导边界条件的正确性。

关键词：悬链结构；空间构形；边界条件；有限元

中图分类号：TP39  收稿日期：2023-02-15

DOI：10.19999/j.cnki.1004-0226.2023.07.012

1 悬链线简介

悬索结构作为一种大跨、轻质和经济的结构部件，在生活中扮演着重要的角色，如在两电线杆之间的输电线、景区索道、桥梁斜拉结构、皮带轮上的皮带、液压软管、起重机臂架上的钢丝绳。这些悬索结构下垂变形后所形成的形状可用经典的悬链线方程来描述（见图1）。通过对悬索结构所形成悬链线形状的研究可以得到实际工程中悬索结构的张紧力、下垂量、弦距等重要参数，为悬索结构空间布置、张紧力控制、强度校核、干涉评估等设计工作提供重要参考[1-2]。

将一般悬索结构抽象为满足如下两个假设条件的力学模型：假设悬索质量、刚度分布均匀，轴向刚度无穷大；悬索只能承受轴向拉伸作用不承受压缩、剪切、弯曲作用。为了描述方便，首先建立如图1所示的坐标系，将坐标系y轴固定在悬链线的对称轴线上且竖直向上，x轴垂直于y轴且平行于水平面，从悬链线的左端点指向右端点。由高等数学知识[3]，悬链线的方程f（x）可用式（1）、式（2）来描述。

[f（x）=a2（exa+e-xa）]      （1）

[a=FHρg]         （2）

式中，a为悬链线最低点的y坐标，m；FH为悬链线对称轴线处所受到的水平拉力，N；ρ为悬链线的线密度，kg/m；g为重力加速度，取9.81 m/s2。

2 问题提出

在工程中经常遇到如图2所示问题，悬挂在空中柔软且重量不可忽略的悬索结构，其左右两端点分别固定在A、B处，当该悬索上位置C处受到竖直向下的集中载荷P作用时，如何确定该悬索结构在该状态下的空间形态和各点的受力大小。在本问题中，以下这些参数一般都是固定的，如绳索的两端点A、B的水平方向、竖直方向的相对距离δx、δy，绳索的总长度L0，载荷作用点C相对于A点的水平距离L1。

从生活常识可以看出，图2中受到集中力作用的悬索结构在载荷作用点C的空中曲线形状必然会出现斜率上不连续，所以该问题难以使用单一的解析表达式来描述该绳索的空间构形，这给使用解析法求解该问题的空间构形带来极大的困难。

3 悬链结构计算技术现状和拟开展工作

由于悬链线方程是一组关于x0和a非线性超越方程组，不存在固定的解析解。目前，求解悬链线问题的主流方法有间接法和直接法[1，4-5]。

间接法主要利用非线性有限单元法，将悬链线看成只能承受压力的杆单元，其在自重载荷和两端约束作用下的自然变形就是对应的悬链线方程，其求解过程可应用成熟的有限元软件来完成。通过不断地修改材料的弹性模量和单元内初始的初始应力，找到一组适当弹性模量参数和内应力参数，满足悬索边界条件（如水平张紧力、弦距、弧长、下垂量等要求）的最终形状。利用有限元法求解悬链线问题可摒弃多种假设，可考虑更多复杂因素，如悬索的不均匀性、悬索上可加额外的载荷、绳索可抗弯、抗剪切；计算结果的呈现也非常直观。工程实践中有限元法唯一的缺点就是效率低下，在计算过程中需不断调整材料的弹性模量和单元初始的应力或应变。

直接法利用数值求解方法[6-8]，根据各种给定的边界条件，编制非线性求解程序，对悬链线方程组进行直接求解。主流求解方法有牛顿法、梯度法、共轭方向法、BFGS法、单纯形法，市场上许多成熟数学软件如Matlab，Mathematica，Maple，MathCAD都内置这些数值求解方法极大地降低了求解这类非线性问题的门槛。数值法具有直接、输入参数少、求解速度快等优点。缺点是悬链线的边界条件发生变化方程组的形式也相应发生变化，需找到不同边界条件下所对应的补充方程，而目前各种文献和工程软件对悬链线各种边界问题所对应的补充方程缺乏系統地总结和归纳。

本文拟开展下面工作，首先推导悬索结构受到竖直向下集中力时的空间构形问题所需要满足的边界条件，然后编制了针对该类问题的通用求解程序，提高工程师设计效率，最后分别使用所编求解程序和成熟的商业有限元软件验证了所推导边界条件的正确性。

4 边界条件

4.1 悬链线导数及弧长方程

对式（1）求导数可得到悬链线上任意一点x处的斜率方程g（x），如式（3）所示；利用弧长公式可求得到图1中悬索左右端点AB间的弧长（公式（4））。为了实际编程方便，h（x）采取公式（5）计算，将式（4）改写为式（6）便得到悬索结构的弧长计算公式函数表达式：

[g（x）=f（x）12（exa-e-xa）]      （3）

[SAB=x0x0+δx1+f（x）2dx=12x0x0+δx（exa-e-xa）dx]

[=a2（exa-e-xa）x0+δxx0]     （4）

[h（x）=a2（exa-e-xa）]       （5）

[SAB=h（x0+δx）]-[h（x0）]      （6）

4.2 边界条件方程推导

从式（1）、式（2）可以看出，悬链线的空间形状仅与水平分力大小FH和悬索结构的线密度有关。根据力平衡条件，悬索曲线上任一点所受拉力的水平分量都等于FH。又由于在图2中左右两段悬链线的水平力大小必然相等，因此左右两段的弧线段可以用同一悬链曲线方程来描述，只不过是将同一曲线上的不同弧线段通过平移的方式组合在一起便得到了该问题的空间构形。

在如图3所示的悬链线段AB[′]上，截取一小段悬链线段CC[′]使该弧段的重量恰好等于所悬挂的载荷P，然后将弧线C[′]B[′]从C[′]平移到C点，如果绳索的两端点A、B的水平方向、竖直方向的相對距离分别等于δx、δy，绳索的总长度等于L0，弧线AC的水平投影长度等于L1时，弧线ACB便就是本问题的解。

在图3中，假设x10，根据载荷等效有：

[h（x2）]-[h（x1）=Pρg]       （7）

根据悬索总长度有：

[h（x1）-h（x1-L1）+h（x2-L2）-h（x2）=L0]  （8）

根据左右端点y坐标差有：

[f（x2+L2）-f（x1+L1）+f（x1）-f（x2）=δy]  （9）

根据式（7）、式（8）和式（9）推导，本问题涉及的未知数分别为a、x1、x2，未知数个数为3，而边界条件所补充的方程数也为3个，因此本问题理论上可解。

5 正确性验证

为了验证以上推导边界条件的正确性，设计了以下算例。假设悬索结构的两端分别固定在A、B两点，悬索结构的等效线密度为4.6 kg/m，它们之间的x方向和y方向的坐标差δx、δy分别为10 m、1 m，悬索结构的总长度为12 m，所承受的载荷P=902.52 N（其等效长度[Le=Pρg=20 m]），集中载荷位置L1/δx分别为1/6、2/6、3/6、4/6和5/6，试求悬索结构在不同加载位置的水平拉力FH大小和构形。

利用数学软件Matlab中fsolve函数对式（3）和对应的补充方程所组成的非线性方程组进行数值求解，得到悬链线曲线（见图4）水平拉力FH和构形；然后将所得到的悬链曲线分隔成50 mm长的小段（在有限元软件中长度单位设置为mm），导入到有限元软件Ansys中，设置悬索结构等效密度，选择link180单元模拟悬索结构，设置该单元只能承受拉力，加一定大小的初始预应力，打开大变形开关，约束两端点处节点的所有平动自由度，对模型进行非线性求解（见图5），提取水平拉力FH值；最后将两种方法计算结果进行对比如表1所列。

从表1可以看出，利用本文所推导的边界条件方程计算出的悬索构形水平拉力FH的结果与有限元软件的结果，其相对误差在水平拉力的0.014%以内，同时从图4也可以看出，在5个不同受载位置，有限元计算出的悬索构形与直接法所得到的构形上对应取样点的最大相对误差只有0.477 mm，充分证明了本文所推导此类问题边界条件正确性。

通过本算例的表1可以看出，集中载荷越靠近悬索结构的跨中位置时水平力FH越大，集中载荷所等效的悬索长度的水平投影越长；越靠近固定端（A端或B端）时，该端所对应的弧线越接近直线，该端的悬索结构拉力的竖向向下分量绝对值也越大。

使用所推导边界条件方程，可快速求解悬索结构受到竖直向下的集中载荷作用时的空间构形，避免了使用有限元软件解决此类问题的繁琐操作和多次试算，极大地提高了设计效率；即使是利用有限元软件求解变截面、刚度变化的多点集中受载悬索结构空间构形问题，也可以首先使用本文所提出的方法来求出悬索结构的初始空间构形，然后将所得到初始空间构形导入到有限元软件求解，可大幅降低调试参数时间、提高收敛速度［8］。

6 结语

a.本文利用载荷等效法推导了悬索结构左右端点固定，受到竖直向下集中载荷时所满足的边界条件方程。使用所推导边界条件方程，可快速求解悬索结构受到竖直向下的集中载荷作用时的空间构形，避免了使用有限元软件解决此类问题的繁琐操作和多次试算，极大地提高了设计效率。

b.分别利用本方法和有限元法对经典算例进行验算，两种方法所计算水平拉力FH相对误差在0.014%以内，有限元计算出的悬索构形与直接法所得到的构形上对应取样点的最大相对误差只有0.477 mm，充分证明了本文所推导此类问题边界条件正确性。

c.通过本算例的表1可以看出，集中载荷越靠近悬索结构的跨中位置时水平力FH越大，集中载荷所等效的悬索长度的水平投影越长；越靠近固定端（A端或B端）时，该端所对应的弧线越接近直线，该端的悬索结构拉力的竖向向下分量绝对值也越大。

d.本文所提方法可推广应用于求解多点集中受载悬索结构空间构形问题。

参考文献：

［1］蒋旭，李乡安.不同边界条件下的悬链线确定方法[J].专用汽车，2022（4）：26-28+299

［2］林贵瑜，冯优达，苑登波.钢丝绳抛物线理论与悬链线理论的计算误差分析［J］.建筑机械化，2010（3）：42-43+55.

［3］邱为钢.悬链线的几何特征［J］.物理与工程，2015，25（3）：28-34.

［4］王丹，刘家新.一般状态下悬链线方程的应用［J］.船海工程，2007，36（3）：26-28.

［5］陈常松，陈政清，颜东煌.悬索桥主缆初始位形的悬链线方程精细迭代分析法［J］.工程力学，2006，23（8）：62-68.

［6］王建国，逄焕平，李雪峰.悬索桥线形分析的悬链线单元法［J］.应用力学学报，2008，25（4）：626-631.

［7］王长昌.基于悬链线方程的跨接电缆长度计算［J］.铁道车辆， 2013，51（6）：4-6+33.

［8］邢富冲.悬链线弛垂度的计算方法［J］.数学的实践与认识，2004，34（11）：98-101.

作者简介：

李乡安，男，1980年生，工程师，研究方向为消防车辆设计开发。