用好“试题”探究性质 提升“备考”复习质量

冯 菲

(四川省南充高级中学,四川 南充 637901)

题目已知圆O:x2+y2=4与x轴的负半轴交于点P,过点Q(1,0)且不与坐标轴重合的直线与圆O交于A,B两点.

(1)设直线PA,PB的斜率分别是k1,k2,试问k1·k2是否为定值?若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由.

(2)延长PA,与直线x=4相交于点R,证明:△PBR的外接圆必过除点P之外的另一点,并求出该点坐标.

1 试题分析

本题是一道高二调研试题,考查数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归、换元法等思想方法,圆的几何性质、三角形的几何性质、解三角形、直线的参数方程、圆的参数方程、极坐标方程等知识,低入口高出口.第(1)问要求学生自己去探究,结合已有条件观察、分析、比较、概括,对学生的数学思想、数学意识及综合运用的能力提出较高的要求,有利于培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力;第(2)问对学生的数学运算能力、逻辑思维能力要求较高[1].

2 试题解析

2.1 第(1)问解析

又∠PBA=∠PCA,∠PQB=∠CQA,

所以ΔPQB∽ΔAQC.

由P(-2,0),Q(1,0),C(2,0),知

解法2 (利用正弦定理)如图1,设∠BPC=α,∠APC=β,直线AB的倾斜角为θ.

图1 利用正弦定理解析图

利用三角形的内角和定理,得

∠OBQ=θ-2α.

对△OBQ利用正弦定理,得

化简,得sinθ=2sin(θ-2α).

等式右边展开为

sinθ=2sinθcos2α-2cosθsin2α.

两边同时除以cosθ,得

tanθ=2tanθcos2α-2sin2α.

利用二倍角公式化简为

即4tanα(1-3tan2β)=4tanβ(1-3tan2α).

整理,得(tanα-tanβ)(1-3tanαtanβ)=0.

①

(1+k2)x2-2k2x+k2-4=0.

因为△=12k2+16>0,由根与系数关系知

将两根和与积代入①,得

因为△=16>0,由图1知,-2,x1是上述方程的两根,由根与系数的关系,知

又A,Q,B三点共线,所以

整理,得(k1-k2)(1+3k1·k2)=0.

设|PA|=|t1|,PB|=|t2|,由t的几何意义知,不妨设|PA|=-t1,PB|=t2,根据根与系数的关系知t1+t2=-2cosθ,t1t2=-3.

所以tan∠APQ·tan∠BPQ

②

将两根和与积代入②式,得

解法6 (圆的参数方程)设A(2cosα,2sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α∈(-π,0),β∈(0,π),Q(1,0),则

由A,Q,B三点共线,知

2sinα(2cosβ-1)-2sinβ(2cosα-1)=0.

利用二倍角公式整理为

2.2 第(2)问解析

解法1 (利用三角形相似)记直线x=4与x轴交于点D,圆O与x轴正半轴交于点C,连接BC,CR,易知PB⊥BC.

由PB⊥BC,CD⊥DR,知△BPC∽△DRC.

所以∠PCB=∠DCR,显然B,C,R三点共线,△PBR为直角三角形,即△PBR外接圆的圆心为PR的中点.

因为PB⊥BC,所以k2·kBC=-1.

即kCB=kCR.

所以B,C,R三点共线.

即△PBR为直角三角形.

整理,得x2+y2-2x-8-my=0.

即△PBR的外接圆必过除点P之外的另一点(4,0).

整理,得x2+y2-2x-8-6k1y=0.

所以△PBR的外接圆必过除点P之外的另一点(4,0).

解法4 (直译法)设直线BP的方程为y=k2(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),

3 探究在圆中的一般性结论

推广1 已知圆O:x2+y2=R2(R>0)与x轴交于A,B两点,过点Q(m,0)(m>0)且不与坐标轴重合的直线与圆O交于M,N两点.

(1)记直线AM,AN的斜率分别是k1,k2,则

4 探究在圆锥曲线中的一般性结论

(1)记直线AM,AN的斜率分别是k1,k2,则

证明设直线MN的方程为x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2),联立

(b2t2+a2)y2+2b2tmy+m2b2-a2b2=0.

因为△=4a2b2(b2t2+a2-m2)>0,由根与系数的关系知,

整理,得

将两根和与积代入上式,得

将两根和与积代入上式得kBD-kBM=0,所以M,B,D三点共线.

若将推广2中条件“椭圆”改为“双曲线”,则

(1)记直线BM,BN的斜率分别是k1,k2,则

证明过程同推论2.

证明过程同推论3,上述推广4,5的结论在双曲线中不成立,有兴趣的读者可以自行证明.

(1)记直线OH的斜率为k2,则

(2)记直线QH的斜率为k3,则

证明过程同推广2,有兴趣读者可自行证明.若将推广6中条件“椭圆”改为“双曲线”,则

若将推广6中条件“椭圆”改为“抛物线”,分别延长OM,ON交直线x=n于C,D两点,点H为线段CD的中点,则

有兴趣的读者可以自行证明.

(1)记直线OH的斜率为k2,则

(2)记直线QH的斜率为k3,则

证明过程同推论6,推广7的结论在双曲线中不成立.

解析几何问题的解题方法较多,但不同解法的运算量也不相同,有的给人以“亲而不近之感”,因此平时的训练既要注重解法比较,又要研究图形的几何特征和命题的几何背景,掌握一般的代数方法;既要注重通性通法,又要注重问题本身的属性,善于总结推广,只有多角度挖掘,才能在考场上快速发现问题的突破口[2].