压电致动器的力学输出计算

方永锋，霍婷婷，苗海东

（宁夏师范学院 物理与电子信息工程学院，固原 765000）

压电致动器作为新型的制动工具，被广泛应用于航空航天、医疗卫生、微机电系统等多个领域，越来越发挥着重要的作用。文献[1-3]对压电材料的制备及其压电性能进行了研究，认为压电新材料为未来可穿戴装备与智能精密控制装备的制造提供了新路径。文献[4-5]研究了压电材料在传感方面的应用，认为压电材料在力学传感中可以感知微纳级的变化，压电材料在发展新型传感装备中起到重要作用。文献[6]研究了多层陶瓷压电致动器的力学输出性能，用实验的方法获得了多层压电陶瓷致动器的临界电压与最大位移。文献[7]研究了多层PVDF 压电悬臂梁的发电性能，利用仿真与试验获得不同层数不同排列方式压电片的悬臂梁的发电效果。文献[8-9]研究了压电致动器在机翼减振中的应用，认为未来无人机机翼的减振装置中压电致动器将起到越来越重要的作用。文献[10]基于Ansys.仿真软件对压电双晶梁进行机电耦合分析表明，随着电路时间常数的增加，电气阻尼增加，对梁振动抑制越显著。文献[11]研究了具有不对称特性的压电致动器的滞后特性和频率相关性，对压电致动器的位移与速度仿真，认为提高压电致动器的位移控制精度，可以有效提高压电致动器的鲁棒性，进而可显著提高系统的定位精度。文献[12]研究了不同智能材料在主动减振中的作用与策略，特别指出压电堆叠致动器在主动控制中具有良好的阻尼与频率和很好的机电耦合性，将来会在大跨度的结构主动减振中发挥重要的作用。到目前为止，暂未发现利用机电耦合系统对压电致动器的力学输出行为进行有效的研究。

本文在以上文献的基础上，将压电致动器和弹簧-质量-阻尼系统有机结合，利用压电致动器的形变，引起弹簧-质量-阻尼系统的运动，然后利用拉普拉斯变换与逆变换，给出致动器在交流电与直流电激励下的力学输出计算公式，最后利用陶瓷压电致动器和PVDF 压电致动器分别进行了计算，并和已有的文献结果进行比较，说明本文方法的有效性、易行性与实用性

1 压电致动器的形变输出计算

为了对压电致动器的力学输出进行计算，设计如图1 所示的机电耦合系统，该系统左边为弹簧-质量-阻尼系统，右边为外接电源与压电致动器系统。

图1 机电耦合系统Fig.1 Electromechanical coupling system

本机电耦合系统中，利用压电材料力-电耦合的第一类三维本构方程：

式中：ε 是压电材料的应变张量；σ 是压电材料的应力张量；D 是压电材料的电位移矢量；E 是压电材料的电场强度矢量；S，e，K 分别为弹性柔顺常数矩阵、压电应变常数矩阵及自由介电常数矩阵。

将压电致动器沿x 方向极化后，式（1）和式（2）中：

x 方向为致动器正方向，则式（1）和式（2）化为一维的形式：

对于电场强度E 由以下计算公式给出：

式中：ui（t）是外加电压；h 是压电极板的厚度。

则式（5）可化为

则式（7）为压电致动器在外部电压下的应变输出。

机械系统是一个质量-弹簧-阻尼系统，它的运动方程由以下公式给出：

式中：M 为质量矩阵；c 为阻尼矩阵；K 为弹簧刚度矩阵；F（t）为所受外力向量。

以x 方向为主方向，式（8）为一维形式，可化为

2 压电致动器的力学输出计算

2.1 压电致动器在交流电激励下的力学输出

压电致动器在x 方向产生应变引起位移，即：

对于压电致动器，如果施加交流电，则输入信号可视为

式中：A1是幅值；ω 是频率；φ 是初相，初相对于致动器的最大力学输出没有影响，可以忽略不计，则式（15）拉氏变换如下：

压电致动器在交流电作为输入信号，其力学输出为

上式进一步化简，可得到在交流电输入下的压电致动器的最终力学输出为

2.2 压电致动器在直流电激励下的力学输出

对于压电致动器，如果施加直流电，则输入信号可视为一阶跃信号：

压电致动器在直流电作为输入信号，其力学输出为

上式进一步化简，可得到在直流电输入下的压电致动器的最终力学输出为

式（22）为压电致动器在直流电下的力学输出计算公式。

2.3 力学输出计算公式中D33 的计算

D33作为压电本构方程中电位移矢量一直参与运算，作为沿z 轴极化后电位移量在压电致动器的力学输出中起到了重要的作用，同时对于计算过程增加了难度，因此对于D33作进一步的简化处理是有必要的。

电位移矢量由致动器表面电荷量与致动器有效面积决定，由以下公式给出：

式中：A 是致动器的有效面积；q 是致动器表面电荷量，由以下公式给出：

式中：C 为等效电容；f 为压电片施加的预应力；两者分别由以下公式给出：

式中：w 是压电片的宽度；l 是压电片的长度；ls为机械系统中弹簧预变形量；ap为压电片的等效刚度，根据文献[7]方法，经过推理计算可得，a 为压电材料刚度与弹簧的刚度比，一般取4～15：

至此，给出了压电致动器在交流电与直流电激励下的简便可行的力学计算公式。

3 算例

为了验证本算法的有效性、准确性、易行性，用2 个算例分别进行了验证，具体如下文所述。

算例1 在文献[6]中，利用多次实验和回归分析获得的数据，根据该文献方法，经过计算，在500 V 电压的激励下，单个压电陶瓷致动器的力学输出为3.08 N，该文献提供的压电陶瓷相关数据如表1 所示。

表1 压电陶瓷的参数Tab.1 Parameters o piezoelectric ceramics

由式（22）以激励电压为500 V 直流电，计算一次的力学输出为3.08 N，以式（18）计算输入电压为500 V，频率为50 Hz 的交流电激励电压计算一次的力学输出如图2 所示。

图2 交流电激励下压电陶瓷致动器的力学输出Fig.2 Force output of piezoelectric ceramics actuator under AC excitation

从图2 可以看出，即使激励是电压幅值为500 V，频率为50 Hz 的交流电，其在30 s 的力学输出也是在［-3.08，3.08］N 之间。以上结果和文献[6]高度一致，从而说明本文方法在计算陶瓷压电致动片的力学输出时是可行的、易行的和有效的。

算例2 在文献[7]中，计算多层PVDF，给出了电压与致动器的功率之间的关系，根据该文提供的参数以及方法，经过计算，在34 V 电压的激励下，单层PVDF 致动器的力学输出为0.6832 N，该文献提供的PVDF 相关提供数据如表2 所示。

表2 PVDF 参数Tab.2 Parameters of PVDF

由式（22）以激励电压为34 V 直流电，计算一次其力学输出为0.7202 N，以式（18）计算输入电压为500 V，频率为50 Hz 的交流电激励电压计算一次其力学输出如图3 所示。

图3 交流电激励下PVDF 致动器的力学输出Fig.3 Force output of PVDF actuator under AC excitation

从图3 可以看出，即使激励电压幅值为34 V，频率为50 Hz 的交流电，其在10 s 的力学输出也是在［-0.6832，0.6832］N 之间。以上结果和文献[7]高度一致，从而说明本文方法在计算PVDF 压电致动片的力学输出时是可行的、简单的和有效的。

4 结语

本文针对单层压电致动器力学输出计算困难的问题，将压电致动器和弹簧-质量-阻尼系统有机结合，由压电致动器的形变导致弹簧-质量-阻尼系统的运动，建立运动微分方程，然后利用拉普拉斯变换与逆变换，给出致动器在交流电与直流电激励下的力学输出计算公式，最后利用陶瓷压电致动器和PVDF 压电致动器分别进行了计算，计算结果和已有的文献结果进行比较，说明了本文方法的有效性、易行性与实用性。