用“正方体模型”贯通立体几何教学

【摘 要】正方体模型是学生最早接触的模型，是涉及各种角、距离、位置关系的经典模型。如果正方体模型研究透彻了，立体几何的学习就完成了一半。在教学时设计五个教学顺序合理安排的微专题，对正方体模型进行由表及里、由具体到抽象的探究，提高了学生的空间想象能力，体现了立体几何教学的连续性和整体性。

【关键词】高中数学；正方体模型；立体几何教学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2023）24-0047-05

【作者简介】顾亚东，江苏省徐州市运河中学（江苏徐州，221300）教师，高级教师，徐州市数学学科带头人。

《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020年修订）》（以下简称“新课标”）要求教师要明晰数学学科核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，引导学生从整体上把握课程，要求教师整体设计、分步实施教学。基于以上理念，笔者尝试利用正方体模型来贯通立体几何的教学。正方体模型是立体几何教学中最重要的模型。笔者认为，在立体几何教学中按照知识的生成过程及学生的认知规律，应该选择恰当的切入口，从不同的维度，运用不同手段引导学生循序渐进地研究正方体模型。

一、正方体模型在立体几何教学中的意义

为什么选择正方体模型，而不选择更为常见的长方体模型？笔者认为，首先，长方体有的性质正方体都具有，正方体还具有一般长方体没有的性质，例如内切球、特殊的角度、线段长度的特殊比值等；正方体退一步可以到长方体、正四面体，进一步可以到正八面体等，它在立体几何里比长方体更靠近核心位置，因此选择正方体效果更好。其次，正方体模型里包含点、 线、面三要素；线线、线面、面面三种角；线线平行、线面垂直、面面平行、面面垂直四种关系；点点、点线、点面、线线、线面、面面六种距离；以及表面积、体积、内切球、棱切球、外接球等重要问题。各种知识交汇糅合在一起，信息量大，蕴含的思想方法丰富，正方体既是各种多面体的交汇点，又是它们共性的代表。再者，正方体是特殊的长方体，先弄清楚正方体再研究长方体符合从特殊到一般的思想，就像在解析几何的教学时，也是先抓住圆，圆研究透彻后，椭圆的研究过程就可以类比圆了。因此，借助正方体模型的教学可以引领学生揭开立体几何的奥秘。

二、正方体微专题教学设计

为了让学生通过探究正方体激发学习立体几何的兴趣，笔者设计了一系列关于正方体教学的微专题。

1.直观了解正方体

师：请大家观察粉笔盒或者身边的正方体模型，对正方体作一个简要说明。即兴表达即可，顶点、棱、面，棱长可以设为a。

生 1：一个正方体有 6个面、8个顶点、12条棱、12 条长为 2a 的面对角线、4 条长为 3a的体对角线。 师：正方体的 12 条棱中共有多少对异面直线？生2：12×4÷2=24对。

师：下面谁再来说说正方体与球的关系？

生 3：正方体的内切球与六个面都相切，且半径为棱长的一半；正方体的八个顶点都在外接球上，且半径为体对角线的一半。

师：很好，正方体有内切球、外接球，想一想有没有与正方体的 12 条棱都相切的球？大家看图1，发挥你的空间想象力。 （图1）

生4：这个球与正方体的12条棱都相切，且半径为面对角线的一半。

师：很好，可以称之为正方体的棱切球。

此专题宜放在学生学习了必修二的线线、线面位置关系之后。学生通过前期的学习，对正方体已有一定的认知，这个时候教师引导学生归纳总结之前的知识碎片可以事半功倍，但正方体的棱切球不易想象，实物模型、几何画板也不能形象描述。所以笔者利用Geogebra软件制作3D模型，将正方体的棱切球直观地展现在学生面前，让学生及时、准确、高效地掌握相关知识。将信息化辅助教学手段与学科教学相融合，有利于提高课堂效率，培养学生的抽象思维。

2.寻找正方体中的角

如图 2，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中：（1）分别求 A1D 与 B1C，A1D 与 AB1所成角的大小；（2）分别求 AA1、AD1与平面 ABCD 所成角的大小； （3）求 AA1与平面 ABC1D1所成角的大小；（4）求AB1与平面 ABC1D1所成角的大小；（5）求二面角D1-AB-D 的大小；（6）求二面角 A1-AB-D 的大小；（7）求二面角 C1-BD-C 的正切；（8）求二面角 C1-BD-A 的正切；（9）求二面角 A1-BD-C1的余弦；（10）求二面角 A1-BD1-C1的大小；（11）求二面角A1-BD1-A的大小。 D1 A1 A B C B

此專题宜在学习完线面角、二面角之后进行。这几道题不仅能强化学生刚刚学习的概念，还能探究、拓展线面角、二面角的作、证、求法，又能规范学生的解题格式。此教学环节中，教师可与学生共同逐题画图探究，完成后教师再针对难点，利用 3D 动画来辅助教学。如第（4）题可以连接 B1C、AN，B1C⊥面 ABC1D1，AB1在面ABC1D1内的射影为AN，∠B1AN即为所求。因为这些问题所涉及的线、面、角大都在正方体的内部，看不见摸不着，较为抽象，不好做实物模型，因而在传统的教学中，需要教师有高超的画图、讲解能力，同时学生也需要较好的空间想象能力，而利用Geogebra软件这样的3D教学软件可以准确高效地让学生抓住问题的本质。

3.探求正方体中的距离

师：如图 3，正方体中，如何求 A1 到平面AB1D1的距离？

生5：在正方体中可以使用体积转化法， VA1 - AB1D1=VA - A1B1D1，所以所求距离为 A1C 的三分之一。生6：直接运用截面法，可以证明A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AD1，再证明AC1⊥平面AB1D1，然后在平面AA1C1C内，利用等面积法求出A1H即可。

师：两种方法都很好，A1C 就像一把伞的伞柄，而四面体 A1-AB1D1的三个侧面就好比伞的防雨面，A1C 垂直于面 AB1D1，可看作“伞的模型”。

立体几何共涉及六种距离：点点、点线、点面、线线、线面、面面，解决方法都是遵循最小化原理，化归到点点距上来，例如对棱、对面距离，棱锥的高、斜高等。学生对角熟悉，却容易忽视距离，生 5 的体积转化法可以给思维固化的学生以启迪，因此这一专题很有必要，可在学完线面平行、面面平行之后进行，也可以镶嵌在某一例题中。教学过程中运用3D教学软件，能够生动形象地刻画和展现学生的描述。

4.探究正方体的展开图

在研究正方体展开图时，虽然笔者在课前让学生准备了若干个正方体纸盒和剪刀，但课堂上教师先让学生展开想象，遇到疑难时再剪开一个纸盒操作观察。课堂上安排两位学生上黑板画正方体的展开图，针对重复、遗漏等情况，教师引导学生科学查找、归纳、总结，最终得到如下正方体展开图。（见图4）

师：请同学们给这些展开图进行分类。

生 7：可以分四类。（1）中间四个，上下各一个（①②③④⑤⑥）；（2）中间三个，上下各一个、两个（⑦⑧⑨）；（3）中间两个，上下各两个（⑩）；（4）分两层，上下各三个（？）；第一类里面可以细分为：上1下1，上1下2，上1下3，上1下4，上 2下2，上2下3，第二类同理可得。

师：非常科学，有的同学画了上 3 下 3，上 2 下4，可以吗？

生8：分别与上2下2，上1下3重复了。

师：嗯，类似于化学中的同分异构体，对这类容易重复遗漏的问题，希望大家能够科学地分类，有序、准确、高效地查找，做到不重不漏。学到这里，同学们能否给正方体一个准确的定义？

生 9：可以类比正四面体定义，用六个相同的正方形围成的几何体叫正方体。

生10：长宽高相等的长方体是正方体。

师：两位同学能够将新问题化归到已知问题上来，这是对转化与化归思想的熟练运用。

生 11：正方体可以定义为将一个正方形向垂直于其所在面的方向平移该正方形的边长个单位而得到的几何体。

师：这种定义法是类比棱柱的定义，体现了动面成体的动态过程。

此专题针对学生分类过程中有可能出现的重复或者遗漏情况，可以安排在必修二的立体几何学习结束后，或在学生学习完有机化学基础里的同分异构体之后，这样不仅可以强化学生对基本图形位置关系的理解，还可以强化其对空间图形表面积和体积的认识。在全方位剖析正方体后，教师让学生概括出正方体定义，经过讨论、纠正，这些表述都是比较恰当的，说明学生通过直观感知能够提炼出概念。

5.理解正方体中的截面

已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）。

生 12：如图 5，每个正方体有三组四棱平行，因此其12条棱可以归结到同一个顶点发出的三条棱，故只需平面 α 与这三條棱成角相等即可，由此可得平面 α 与 A1C 垂直，可以分析三个极端位置——正△AB1D1，正六边形 EFGHIJ， 正△C1BD，再比较它们的面积发现正六边形面积最大，选A。

师：单选题可以使用直接法、筛选法、带入法、估算、特殊化和极端分析法，如果是解答题呢？

生 13：因为平面 α 与 A1C 垂直，则平面 α 与底面所成的角也为定值，因此截面面积等于它在底面的投影的面积除以夹角的余弦，所以只要比较投影的面积，就可以得到正六边形的投影面积最大。

师：截面α的面积转化为投影面积后，问题就转换到底面的正方形中来了，立体几何问题就转化为平面几何问题，体现了降维思想。现在我们用绘图软件Geogebra来模拟平面α沿着垂直于A1C方向移动的动画（如图6），请大家仔细观察。

前面四个微专题帮助学生厘清正方体中的元素位置关系后，这一专题引导学生挑战一些综合题，可以在章末复习和高三复习阶段进行。截面问题是继面积、体积、角、距离之后的一个难点，尤其是几何体与球的接、切、截问题是近年来高考考查的热点，如果空间想象能力不足，学生做这类问题则会很困难，而通过研究正方体模型获得的经验可以助力此类问题的解决。

三、教学感想

1.以“正方体模型”为典型模型进行教学符合学生的认知规律

以上几个微专题按照知识的发生、发展过程以及学生的认知特点，以正方体为载体，按照由表及里、由浅入深的顺序，从正方体的顶点、 棱、面之间的各种位置关系出发，理解、掌握、强化直线与平面的三种位置关系，并在理解线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质的基础上，探究立体几何中的各种角与距离，最后再深化到正方体与球的接、切、截问题。借助常见的正方体模型，学生对抽象的立体几何知识看得见、想得通，降低了学习难度，学生能够轻松叩开立体几何的大门。以上微专题可以针对不同水平的学生相机灵活安排，可以一节课完成多个部分，也可以多节课完成一个部分，后续还可以进一步引入欧拉公式，研究自然界中仅有的五种正多面体。正方体研究透彻后，学生对其余的几何体就可以做到触类旁通。

2“. 正方体模型”专题教学能够对立体几何学习起到铺垫、引领、促进作用

正方体是学生最早接触和最熟悉的几何体。将正方体降维可以退到正方形，类比正方形的周长、面积、内切圆、外接圆，可以发现和探究正方体的表面积、体积、内切球、外接球；正方体还可以退到正四棱柱、长方体、正四棱柱、四棱柱，在长方体体积公式的推导中，1立方米是用棱长为 1 米的正方体体积来表示的，因此正方体“麻雀虽小，五脏俱全”。立体几何是在点线面的基础上研究空间角、距离、面积、体积以及它们位置关系的学科，这些元素正方体模型中都包含。运用空间想象力进入正方体的内部，就会发现信息量巨大，既有三种角和六种距离，又含有线线、线面、面面位置关系所涉及的每一类题型，还有内切球、棱切球、外接球以及不断变化的截面问题，可以说正方体既是最简单的，也是最复杂的多面体。

不少学生因为正方体太常见、太熟悉，很少深入思考它，因此对它又很陌生。笔者认为，让学生从熟悉而又陌生的正方体入手，将正方体研究透彻，以此找到立体几何学习的切入点，是能事半功倍的。笔者按照从外往内，由直观到抽象的顺序，设计了以上微专题，在笔者所在学校使用后，师生反馈效果较好。现行的各类教材、资料中尽管都有类似的专题，但多是分布于各个不同部分，学生不能领悟到新课标要求的学习的连续性与整体性。笔者认为，到了适当的时间、适当的章节，引导学生对正方体进行全方位的总结能够帮助学生做到对立体几何知识的整体把握。

3.传统教学手段与信息化技术相结合是提升教学效率的关键

在这组微专题中，笔者引导学生通过观察、感知、制作实物模型，展开空间想象，同时将传统手工制作与现代信息技术相结合，并结合化学中的同分异构体，图文并茂、由表及里、由浅入深，设置合理的梯度，让学生脚踏实地地迈好每一步，逐渐掌握正方体的方方面面。教师要注重信息化手段与传统教学手段的合理搭配，这样才能显著提升教学效率。Geogebra不仅具备几何画板的二维绘图功能，更具有三维动态展示以及几何、代数、概率与统计、微积分等功能，特别适合初高中数学教学展示，比如本文中求正方体棱切球半径、线面角、二面角，正方体的截面变化研究以及“伞的模型”等。苏教版高中数学课本也多次应用到了此软件。而像剪纸盒、切橡皮泥、切土豆等传统教学手段也是不可或缺的，因为这些手段取材方便、成本低廉，还能锻炼学生的动手能力。教师要把握好二者之关系，不能走两个极端。如何在教学中高效融入学生动手能力、现代信息技术等，值得每一位数学教师认真思考。