设计纵向进阶问题 循序发展几何直观——整体视角下几何直观的练习设计和评价研究

文|徐 彬

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，要立足学生核心素养的发展。几何直观是小学阶段11个核心素养之一，主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。小学生的思维处于直观思维逐步向抽象思维发展阶段，在解决问题中，几何直观能把复杂的文字和难以理解的等量关系借助实物、图形、符号和模型等清楚地表示出来，使学生对于式的理解不仅仅停留在记忆阶段，能很好的让思维可视化，帮助学生理解条件、分析等量关系和解决问题，因此在解决问题中能有效地培养学生的几何直观素养，反之几何直观素养的发展又能有效帮助学生解决问题。

一、“几何直观”素养在解决问题中的现状分析

教师在解决问题中对几何直观素养的认识

在解决问题中，几何直观素养有着重要的意义和价值，那么教师和学生又是如何理解的？笔者对杭州市上城区城东片区几所小学的36 名数学教师和270余名学生进行了问卷调查。

教学活动重局部，缺乏整体进阶培养几何直观的视角。在人教版教材12 册书中，均有涉及到指向核心素养几何直观培养的解决问题，调查中发现，有52.8%的教师没有系统地梳理相关内容，只是零散地开展教学活动，导致学生几何直观素养发展的缺位、不到位或越位。

练习设计重知识，缺少挖掘几何直观培养的练习设计。在教学中关注“教—学—评”的一致，但访谈中58%的教师表示，很难自主去编写、设计相关练习。

解决问题重结果，缺失关注培养几何直观的意识方法。学生在解决复杂问题时，无法正确表征出条件和问题，理清等量关系，导致问题无法解决。究其原因是认为几何直观只有在图形与几何领域才要重点培养，只关注算式、计算结果的正确，忽略学生画图、利用图来分析问题的能力培养，缺乏几何直观素养培养的意识方法。

学生在解决问题中对几何直观素养的应用

二、“几何直观”素养在解决问题中的进阶框架和对应练习

课程内容《数与代数》中明确要求：第一学段（1—2 年级）能在解决问题的过程中，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的几何直观和应用意识；第二学段（3—4 年级）能在真实情境中，发现常见数量关系，形成初步的几何直观和应用意识；第三学段（5—6 年级）能解决较复杂的真实问题，形成几何直观，提高解决问题的能力。可见在解决问题中，对于不同学段的学生有着不同层次的要求，从解决简单问题——真实情境——解决复杂的真实问题，相对应的几何直观能力要求也各有不同。

根据几何直观物化特征表现形式——实物直观、图形直观、符号直观和模型直观，将几何直观素养在小学阶段解决问题中培养分成4 个阶段，通过每个阶段经历识图、画图、分析图和利用图解决问题的过程，培养几何直观各有侧重，却又形成一个整体，使学生在小学阶段解决问题中几何直观素养能得到有效发展，并设计出相关的典型评价练习。

1.实物直观，树立几何直观意识

小学一二年级阶段，学生是以直观形象思维为主，在他们的认知中数和图形是两块不同的内容，不能很好地感知数与形之间的关系，在解决问题中如只是单纯的通过死记硬背，通过式的角度去理解，求一共用加法，求一部分用减，求一个数比另一个数多多少用多的数减少的数等，则不利于学生分析和建构等量关系，不利于学生的数学思维发展。因此在一二年级，可采取实际物体和替代物，来帮助学生建立数与形之间的联系，感知实物图形能帮助分析和解决问题，使学生感受到以形助数的优势，初步树立几何直观的意识。

【进阶设计练习一，改编】有22 个同学要代表笕桥小学参加区中小学生田径运动会，排成一列，小明排在第8 个，小红排在第17 个，请问小明和小红之间有几人？

素养分析：通过解决排队之间有几人的问题，深化学生对数序、基数和序数的认识，理解画实物图或示意图是帮助理解题意的重要手段，积累画图解决问题的经验，并能通过图去解释算式为什么要减1，指向核心素养数感和几何直观的培养。

教学建议：排队问题的原题是在一年级上册第六单元《11～20 各数的认识》单元，本练习是放在一年级下册第二单元《20 以内的退位减法》练习中，放在真实情境中，增加多余信息，并出现退位减法。其目的是丰富学生对减法的意义理解，将图和式进行联系。在练习反馈时既可以让薄弱的学生通过画简笔画人的方式去进行分析，也可以呈现用画圆或三角形代替学生的方式表征信息进行分析，同时教师可以把两者之间进行对比，让学生明晰不管是实物还是替代物都能很好的帮助分析问题，并根据分析理解17-8-1 的意义，而且替代物比实物画起来更简单。在简单问题的解决过程中，学生感受到形和数的对应关系，实物或替代物的形能有效地帮助分析解决问题。

2.图形直观，积累几何直观经验

小学二至四年级阶段，学生思维从直观形象逐渐向抽象过度，在解决问题中数据逐渐变大、数量关系逐渐变复杂，鼓励学生在解决问题时用几何直观的方式表征出来，积累画图的活动经验，并在讨论、比较和完善图的过程中，逐渐掌握用线段图、条形图等图形来把文字信息表示出来，用图形之间的关系表示出条件和问题之间的关系，从而更直观的解决问题。

【进阶设计练习二，原创】三个同学比一比2022年阅读书籍的多少，小红说我比小明少看8 本，小秋说我比小红多看13 本，小明说我看了53 本。你能说一说：（1）53-8 解决的问题是什么？（2）13-8 解决的问题是什么？

素养分析：求比一个数多几或少几的数，是将加、减法的意义扩展，放在解决实际问题的真实情境中。本题是三位同学阅读书籍数量的比较，通过式去思考能解决什么问题，第（1）题是在不同情境下对教材中求比一个数少几的巩固，第（2）题涉及到3 个量之间的比较，通过图的支撑，能让学生有效的去进行分析3 个量之间的关系，13-8 能解决的是小明比小秋少看几本或小秋比小明多看几本。指向数感、几何直观和应用意识的培养。

教学建议：本练习建议放在练习课中使用，在前一阶段学生已经感受到实物、替代物表征信息的优势，有几何直观表征信息的意识。该练习的使用，一是由于数据相对较大，如还是用实物或替代物表征，很难画全，表征出来后也无法直观对比，感知它们之间的等量关系；二是从两个量的比较，逐渐向3 个量的比较过度，既能更好的体会几何直观表征信息和分析问题在解决问题中的优越性，如果不画图“13-8”能解决什么问题较难理解，还能积累学生解决复杂问题画图能力和经验，从有意识画图到逐渐学会画图，为第三学段的几何直观的培养做好衔接。

3.符号直观，培养几何直观能力

小学进入第三学段，学生抽象思维程度逐渐提高，在遇到还有未知数等复杂问题时，通过实物和图形的直观还不能简洁的表达，就需要在相似属性的基础上用符号来加以表征，这对于学生的几何直观素养又是一个新的飞跃。

【进阶设计练习三，改编】一件衣服10 月销售淡季的时候价格比9 月跌了20%，11 月进入销售淡季比10 月份又涨了20%，11 月份的价格和9 月比是涨了还是降了？

素养分析：在解决涨了还是降了的问题中，渗透假设法、代入法、抽象等数学思想方法，通过画图和符号表征，理解、分析和解决“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”，在解决问题的过程中，培养核心素养数感、几何直观和应用意识。

学情分析：学生在尝试解决的过程中分成五个水平层次。

第一层次学生是觉得是无法解决，缺少9 月份的价格。

第二层次会使用假设法，假设9 月份的衣服价格是100 元或1000 元等，通过100×（1-20%）=80（元），80×（1+20%）=96（元），是比原来降了。

第三层次使用画图直观表征，通过画图感知10月份是9 月份的80%，11 月涨20%，是以10 月份为标准量增加10 月份的20%，比较发现是降了。

第四层次提出把9 月份的价格假设成抽象的单位“1”，10 月份的价格是1×(1-20%)=0.8，11 月份的价格是0.8×（1+20%）=0.96。

第五层次的学生把9 月份的价格假设为a元，10月份价格是0.8a，11 月份价格是0.96a，和原来a相比，降了0.04a元。

教学建议：本题是《百分数》单元例4 的改编，可以在新授课的练习中使用。例题教学是先涨后跌，变式是先跌后涨，即让学生能巩固、应用例题教学掌握的假设9 月份的价格、画图分析、假设单位1 和用字母a表示等方法解决问题，积累问题解决经验，也能通过和例题的比较，感受先涨后跌和先跌后涨是一样的，因为涨的时候单位1 是小的数，而跌的时候单位1 是大的数，用字母表示就是a×（1-20%）×（1+20%）=a×（1+20%）×（1-20%）。

4.模型直观，发展几何直观素养

在解决问题中会有各种不同的情境，但很多情境所抽象出的图形和数学模型是一致的。如解决植树问题时，植树问题、爬楼问题和锯木头等问题，所用的数学模型是相同的。在学生直观素养发展到一定程度以后，就能通过比较、抽象，将一类问题用一种模型去直观表征。

【进阶设计练习四，原创】在学习用方程解决问题中，设计题组练习（1）小明和小王绕400 米的操场跑道散步，两人背向而行，小明每分钟走45 米，小王每分钟走35 米，问两人几分钟后相遇？（2）两个工程队计划20 天打通一条540 米的隧道，各从一端相向施工，甲队每天开凿12 米，乙队每天开凿多少米？（3）（4）小题以图表和图形方式见下图。

素养分析：学生在解决“散步问题”、“挖隧道问题”、“购物问题”、“面积问题”后，与”行程问题”进行沟通，感受这五类问题的内在联系，即使购物问题中铅笔和橡皮的数量不同，学生也能感受到这一系列问题内在的等量关系是一致的，都可以用一个含有字母的式子ax+bc=d来表示，从而更好的帮助学生沟通这些题目之前的内在联系，建立起解决这一类问题的数学模型，培养几何直观、模型意识和应用意识。

教学建议：本题组在设计时，既有不同的问题情境，又求不同的量，但都能看到相同的等量关系。从学情数据可知，在散步和挖隧道问题上，学生能迁移新课的相遇问题，较好地画出线段图解决；在面积问题时，有了直观图的支撑，学生解决问题思路很清晰；在购物问题时，学生能利用单价、数量和总价三者之间的关系去解决，但要构建直观图就有些困难，并且是两积之和的一般情况，也就是4 个量均不相同。教学时，建议在新课后的练习使用，可以分为二个步骤，先自行解决相关问题，应用图来分析等量关系、解决问题，然后可以沟通新课行程问题和4 个不同情境问题之间的共同点，通过不同类学生的反馈，从而逐渐形成这一类问题图和式的联系，构建式的模型和图的模型。

三、几何直观素养在解决问题中的实施成效

1.整体规划，分段实施，有效发展几何直观素养

在解决问题中，对于学生核心素养几何直观的培养分学段、分年级有侧重地进行整体设计和规划，从感知数形之间的关系树立几何直观意识，到数形互助、形能助数数能助形，在不同年段掌握几何直观的不同水平方法，积累几何直观活动经验，指向学生的核心素养几何直观的发展。

通过纵向的几何直观素养培养，学生在六年级学习《数与形》的内容时，对……求和时，有78.3%的学生用画图帮助探究和思考，对于六年级学生比较难理解的极限思想，通过图有69.5%的学生能够理解随着加数越多和越来越接近1。

2.改编深挖，关注过程，有效设计几何直观练习

通过对练习题的深挖、改编和原创，在减少学生学业负担的同时发挥练习的最大功效，在反馈和评价中，还根据学生的个体差异，一道练习有不同水平层次的评价标准，让不同的学生在同一道练习中几何直观有不同的发展。如六年级学习《比》的内容时，设计“甲速度比乙速度慢，乙速度比丙速度慢，求甲乙丙的速度比”练习，既关注学生理解比的意义、掌握比的基本性质进行化简，还要关注学生解决的过程，挖掘学生用假设法、画图法和字母代替等解决策略，在解决问题中培养学生的几何直观素养。

几何直观是学生在小学阶段要发展的11 个核心素养之一，培养和发展学生的几何直观，需要渗透在数学课程的每个领域。在解决问题中，要根据学生的学段、思维特征等分阶段的发展几何直观素养，设计相对应的评价练习，以此激发学生几何直观的意识，提升学生在解决问题中几何直观的水平，掌握应用几何直观解决问题的方法，最终在小学阶段整体发展学生的核心素养几何直观。