数学知识“源”与“流”的实践探究——例谈小学数学前置性探究学习单的设计思路

☉吕 晶

“源”是指数学问题的本质，数学学科有一套严谨的数学体系，知识和知识之间存在关联。学生从本质上把握数学问题，能够找到解决问题的方向；“流”是指延伸数学问题，学生需要从解决数学问题中延伸到新知识、新方法、新思维。将“源”和“流”整合在一起，学生就能够有效地完成前置性的学习。

一、找准知识的“源”与“流”，有利于知识的承前启后

学生学习到的数学知识是不断扩展的。如果教师引导学生结合以往的知识，逐渐延伸学习，学生便会觉得新知识是可以理解的。以往学过相关的知识是数学知识的“源”，当下学到的知识是新知识的“流”［1］。下面以学习《认识负数》为例来具体阐述。

（一）初步感知

初步感知，就是让学生结合自己的感觉来预判。部分学生在学习数学时有一种错误的认知，他们认为自己只有学习了新理论，才能解决新问题；反之，没有学习新理论就不能解决问题。他们没有意识到数学学科来源于生活，它与生活有相通之处。学生需要结合自己的直觉、生活经验对数学问题进行简单的预判。当学生发现可以通过生活经验和直觉完成预判后，他们会产生学习成就感。如此题：请观察以下的数，分析哪些是正数、哪些是负数：-8、3.6、0、-5.5、+100、-90。引导学生迁移以前的知识来分析问题，学生学习过自然数、正整数和0 相关知识，观察数字的特征，学生很快发现前面带着“-”的数都是陌生的数，它们都可能是负数。这是结合旧知发现新知的教学方法。

（二）归纳知识

学生可以结合具体的案例，来归纳案例中共同的特征，在归纳和总结的过程中，学生能够发现新知，并对新知的特征有一个简单的概念。教师引导学生从案例中归纳新知的过程，就是培养学生科学思维、提升思维水平的过程。学生在归纳知识的过程中，可以感受到学习数学的过程可以不必是被动接受新知的过程，而可以是主动思考、获得新知的过程。如：正数和负数在表示上有什么区别？引导学生观察新知，归纳总结它们的共同特征。学生发现负数的特征就是在以前学过的自然数前增加一个“-”号。在教学中培养学生归纳总结的思维能力，学生发现凭借思维就能够发现及学习到新知，他们能够产生学习自信心。

（三）联系生活

如果学生对知识的理解仅限于理论的层面，那么学生可能不能理解知识的实际意义。为了让学生理解知识的内涵，教师需要引导学生发现新知在生活中的应用，然后结合生活问题来理解新知。通过引导学生联系生活，学生也会发现新知在生活中的应用，学习新知是有价值和意义的，学好新知能帮助自己优化生活。如：结合你自己的生活谈谈对负数的理解，你生活中有负数吗？从数感出发说说负数？刚开始学生不知道如何联想生活中的负数。教师引导学生从生活中常用的正数问题出发，思考正数中有没有负数的运用。通过思考，学生发现在记帐本时有正数也有负数，在统计温度时有正数也有负数。结合这些生活的案例，学生意识到负数一定比正数小。

（四）辨析概念

有时学生在学习时，没有意识到一些易混淆的概念，教师需要让学生从辨析这些概念出发，进一步梳理概念的形成。对于部分学生而言，他们难以独立完成概念的辨析，学生可以在学习时和同学探讨，各自说明自己的想法和意见，学生发现了学习难点以后，他们可以在课堂上重点关注这一知识点，从而使教师的课堂教学能提高效率。

（五）规范知识

当学生完成了知识探索以后，教师需要引导学生应用以往的知识框架来建立新知识的框架，学生通过迁移学习，能够发现知识和知识之间的关联，他们能够从学习旧知识的基础上理解新知识，从而降低了知识理解的难度。如：结合正数的定义、写法、读法归纳出负数的定义、写法、读法，引导学生梳理知识，结合以往学习的正数知识框架，来分析负数的定义、写法、读法，将负数知识体系纳入到数字分类的体系中。建立了全新的知识框架以后，学生就能应用这套框架来诠释与辨析数学问题。

二、看准知识的“源”与“流”，引导学生类化研究方法

以往的学习成果，就是学生的“源”，而结合以往的学习成果来探索新知，就是学生的“流”，做好“源”与“流”的衔接，学生会发现数学知识的内涵是存在延伸性的，在学习时，只要发现知识的内容就能做到“一理通、百理通”［2］。下面以学习《运算律》为例。

（一）优化问题引导，发现问题本质

在引导学生学习新知以前，教师需要通过设计问题让学生发现以往学习的旧知本质是什么。教师引导学生回顾旧知，学生可以通过教师的引导发现自己的知识结构是否完善。帮助学生打好学习基础，是教师引导学生学习新知的重要环节。如下图1：

图1

问1：看到图1，你能不能说说这是个什么数学问题？你生活中有这样的数学问题吗？

引导学生把数学问题与生活联系起来，让学生迁移以往学过的数学知识，把数学问题编写成应用题。这是引导学生应用数学语言呈现数学问题本质的方法。

问2：请分析应用题中的已知条件和未知答案，画出线段图，列出算式。

教师引导学生应用数学语言、图形、数学模型来分析生活中的数学问题，使数学问题的本质理解得更加深刻。

（二）借助探究经验，鼓励探究新知

在引导学生学习新知识时，教师需要引导学生基于以往的旧知经验来理解现在面对的是一个什么数学问题，然后在以往的学习基础上应用数学语言完成新知的描述。过去学生在探究旧知时，曾经完成过探究学习，积累过探究经验，教师需要引导学生基于以往的探究经验来探究新知。如下图2：

图2

问1：参看图2，结合图1 的学习，你能不能够说说这图2 中反映了什么数学问题？能探索出一个什么数学规律？

引导学生回顾图1 中两个问题的学习，通过迁移学习，发现数学问题的本质就是?＋25 ＝60；35 ＋?＝60。

问2：请结合你的学习经验推测，将加法的两个因子交换，和会不会发生变化呢？

教师引导学生在理解数学问题本质的基础上进行推测。学生应用假设的方法，得出结果，学生在假设的过程中会产生学习好奇心，自己的假设结果是对的吗？学生的疑问驱使学生进行学习。

问3：你能不能应用生活中的教学用具来完成计算呢？请结合以往的学习经验用教学用具来说明算理。

学生得到假设以后，教师要鼓励学生应用教学用具探索。在教师的引导下迁移以往的实践，以团队合作的方式开展探索活动，在探索的过程中，学生通过实践，从算理的角度理解了加法交换律。这一环节是引导学生在具象化的环境中，结合自己的学习经验解决具象化问题的环节。

问4：你觉得会出现以上规律，原因是什么呢？

教师引导学生交流自己探索得到的规律，不同层次的学生发现的规律可能不一样。层次较低的学生只能够应用学到的算理说明35 ＋25 ＝60 这个案例中，把加法因子交换以后，结果不变的原因。而层次较高的学生则可以结合算理总结出a ＋b ＝b ＋a背后的原理。还有一些学生甚至能结合自己的兴趣及学习水平把它延伸到减法、乘法、除法探索中。学生回答的问题反映出他们的学习层次，教师鼓励学生取长补短，共同提升学习层次。而教师可以从前置学习单中了解学生的层次，把它作为课堂上小组合作分层的依据，并针对学生的层次进行有针对性的引导。

三、找准知识的“源”与“流”，帮助学生开展实践活动

教师在教学中可以引导学生应用以往的实践经验，这是知识的“源”，来解决当下的数学问题，这是学生需要延伸的“流”。学生在正式学习新知之前完成实践学习，能够探索出大量的新知［3］。下面以《长方形的周长》教学为例来具体阐述。

（一）任务设计

教师需要紧扣教学要求设计任务，教师需要在设计任务时，引导学生结合以往的学习经验和实践经验分析任务的本质。如：画出学校操场的平面图，请参看这个平面图形是什么形状，结合以往测三角形的经验，你知道它的周长计算方法吗？教师引导学生分析数学问题的特征，分析数学问题的指象，虽然学生没有学习过解决问题的理论，但是学生学习过以往类似的数学问题，学生可以借助以往的学习经验来尝试解决问题。而学生的尝试性学习可以成为后续学习知识的依据。

（二）质量控制

以往学生在完成任务时，曾经掌握过数据质量控制的方法，教师需要在任务单中特别强调数据质量的控制。一方面是为了让学生重视质量控制这个问题；另一方面也是为了让学生从质量控制的角度着手，发现多种测量方法，从而使他们能够在学习的过程中发挥想象力，应用多元视角来思考如何解决问题。例如，在计算的过程中，你觉得你能精确地测量出较长的直线距离吗？请说说看你控制测量精度的方法。引导学生在思考问题的时候，从成本和精度两个角度思考，自己能不能够得到更多解决问题的方法，这些解决问题的方法和优势是什么。例如，有一些学生会提出应用计步来估算操场的长与宽，也有一些学生应用在操场上插标竿，然后叠加计算每段标竿长度的方法完成计算。

（三）促进交流

学生在学习的过程中，如果充分交流，取长补短，那么他们的思维能力能够得到提升，教师需要引导学生在完成任务的过程中，与他人交换任务完成的情况，发现自己的学习不足。例如，你与自己的同学交流过测量的结果吗？你看到了几种测量周长的方法？能不能说说这些测量方法的优势和不足？在教师的引导下，学生交换了测量的结果，学生在交换的过程中分析如何评价测量的质量。学生从花费的时间、使用的人力、需要的设备、数据的精度来评价。有些学生看到了自己的数据与真实的数据差距太大，即意味着自己的数据质量控制存在着问题，自己需要重新测量；有些学生则看到了自己的数据精度虽然很高，却在学习中动用了父母的力量，而假如没有父母的力量介入，自己又如何完成任务，这些学生也开始了反思。

（四）呈现成果

学生需要结合自己的实践说明理论。学生之间存在差异，有些学生只能够结合具象化的实践案例来简单说明理论；而有些学生则通过发散联想，思考下一步探索的方向。学生的实践成果依然是教师调整教学方案、在课堂上予以针对性引导的依据。例如，结合你的实践成果，说明长方形的周长应当如何计算？你还从实践中发现了什么其他的知识吗？请说明你的探索步骤。引导学生应用归纳总结的方法把具象化的数学式子变成抽象化的数学模式；引导学生迁移以往的学习框架，来形成新知的框架；引导学生辨析新知和旧知的联系与不同。有一些学生通过这一次的实践说明了长方形周长的计算方法就是测量出它的四条边，然后让长和宽相加；有一些学生则应用字母总结出测量公式：C ＝2（a＋b）；还有一些学生则发现长方形的周长增长与长和宽的增长是存在规律性的。此时学生开始分析，周长的增长与长和宽的增长存在哪些关系。

四、总结

前置性学习任务单就是要在明确教学目标的基础上，借助学生的知识基础、学习经验、思维水平来尝试性地完成新知学习，这是“源”与“流”的思考。结合这一前提，教师需要了解前置性学习单设计能否引导学生快速启动学习程序，能否在进入学习状态后有方法、有步骤地完成学习，以便为课堂学习打下良好的基础。