基于粒子群优化算法的天然河道纵向离散系数估计

贺伟　荆平飞　杨辉　赵勇

摘要：明晰纵向离散系数对于研究河流污染物的迁移至关重要，目前学者对此已经提出了许多经验公式和理论公式，但是计算结果准确性并不高。基于收集的纵向离散系数实测值及对应的河道水文数据与河道形态数据，通过对纵向离散系数计算准确度和计算值与实测值的相关性双重目标的加权组合，采用粒子群优化算法（一种数据驱动的算法）对加权组合后的目标函数进行优化，从而获得了纵向离散系数一般表达式中的待定系数，最终提出了具有高准确度和高相关性的天然河道纵向离散系数计算公式。验证结果表明：该公式能够适用于纵向离散系数在0～100 m2/s之间的常见天然河道的纵向离散系数估计。

关 键 词：环境水力学； 纵向离散系数； 粒子群优化算法； 经验公式； 天然河流

中图法分类号： TV124 文献标志码： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2023.06.024

0 引 言

近年来河流水污染及其治理成为了人们日益关注的问题。明晰污染物入河迁移扩散的机理是进行河流水污染治理的基础和前提。根据相关研究可知，进入河流的污染物会经历垂向混合、横向混合以及纵向混合3个阶段［1］。污染物的纵向混合阶段是进行水质模型建模的关键，这一阶段被称为污染物的纵向离散［2］。纵向离散的本质是，时均流速沿横向或者垂向分布的不均匀性导致了污染物云团在纵向上的传播比在均匀流速的水体中更快［3］。在一维水质模型中，纵向离散采用纵向离散系数进行量化。纵向离散系数的确定方法主要有理论公式法、经验公式法和示踪实验法［4］。

Fischer等［5］给出了计算纵向离散系数的理论公式：

式中：K为纵向离散系数；A为断面面积；W为水面宽度；H为水深；y为横向位置坐标；u为水深平均的纵向流速；U为断面平均流速；εt为横向混合系数。

然而，式（1）需要的纵向流速横向分布数据在实际中较难获取，这是采用理论公式法计算纵向离散系数的难点。为此，许多学者通过研究给出了纵向流速的横向分布经验公式，如Sooky［6］提出的对数和线性函数结合的经验公式、Seo等［7］提出的四次多项式和指数函数结合的经验公式、Deng等［8］提出的幂函数形式的经验公式等。学者们依照不同的流速公式代入式（1），得到了适用于不同情况下的纵向离散系数公式，如陈永灿等［9］、Zhong等［10］推导出的适用于冰封河道的纵向离散系数公式，张文俊等［11］推导出的阻力线性化条件下的纵向离散系数公式，Wang等［12］推导出的适用于顺直天然河道的纵向离散系数公式，Zhang等［13］提出的适用于水草覆盖的河道纵向离散系数公式等。但是，由于经验公式是一种对实际物理规律的近似处理，且每个经验公式都有其适用范围，因此采用理论公式法计算纵向离散系数的实际应用并不多见。

示踪实验法则是在研究河段上游投放示踪剂，并在下游进行示踪剂浓度的监测，根据实验信息和浓度数据，基于一维对流扩散方程或其解析解进行纵向离散系数的反演。这是典型的环境水力学参数反演问题［14］。对于稳态流动，通常用一维对流扩散方程描述污染物迁移扩散的规律，具体形式如下：

式中：C是污染物的断面平均浓度；t是时间；x是沿流向的坐标。

针对这类参数反演问题，需要开发相应的反演算法。许多学者在反演算法上做出了贡献，如Fischer等［15］提出的演算法、郭建青等［16］提出的相关系数极值法、张娟娟等［17］提出的快速模拟退火算法、杨双等［18］提出的分位数回归法、杨中华等［19］提出的伴随同化法等。示踪实验法计算得到的纵向离散系数精度较高，但是由于示踪实验难度大、成本高、耗时久，且结果仅适用于做实验的研究河段，因此示踪实验法在中国的河流纵向离散系数确定中应用较少。

经验公式法则是利用河流的水力和几何参数，如河道的宽度、水深、平均流速、剪切流速、蜿蜒程度、能坡等，在大量的实验和现场测量数据的基础上确定天然河流纵向离散系数的经验性公式［20］。许多学者利用数据分析方法给出了相应的经验公式（见表1）［5，7，21-27］。这些经验公式所需要的参数都可以很容易地从水文站点获取或直接测量得到，且只需要简单计算即可得到粗略的纵向离散系数值，因此相较于示踪实验方法易于实现，在中国的工程实践中较多采用。

本文根据Nezaratian等［2］整理收集的来自全世界范围内不同河流的水力和几何参数，以及对应的纵向离散系数的实测值，组成共164组数据（见附表 1）的数据集，采用粒子群优化算法对数据进行分析，提出了一个新的纵向离散系数经验公式。最后，将所提出公式与已有的代表性经验公式进行比较，证明所提纵向离散系数估算公式的优越性。

1 方 法

1.1 公式基本形式

依据量纲分析的原理［26］，本次研究选取了水面宽度W、水深H，断面平均流速U、剪切流速U*等参数作为纵向离散系数经验公式的组成参数；根据Taylor［28］提出的剪切离散理论，并结合表 1中现有的纵向离散系数代表性经验公式的具体形式，本文选取的纵向离散系数的一般表达式如下［29］：

式中：a，b，c均为常数，可以根据搜集的数据集进行率定。W/H和U/U*分别是表征河道几何形态和水力学特征的无量纲量，HU*的量纲为L2/T，与纵向离散系数K量纲相同，也就是说式（3）保证了纵向离散系数具有正确的量纲。

1.2 粒子群优化算法

为了获得以上纵向离散系数经验公式中的3个未知常数a，b，c，本次研究以水面寬度W、水深H、断面平均流速U、剪切流速U*为自变量，以纵向离散系数K为因变量，采用粒子群优化算法［30］对3个未知常数a，b，c进行调整优化。该算法具有收敛速度快、参数少、易于实现、天然可以并行计算等优点，对于解决多参数优化问题具有较大优势［31］。

图2和图3则分别展示了纵向离散系数实测值与估计值的对比图以及解的拟合情况。从图2中可以看出：采用式（11）得到的纵向离散系数估计值与实测值基本吻合；当纵向离散系数小于200 m2/s时，纵向离散系数实测值与估计值组成的点对均匀地分布在1∶1线的两侧，但是当纵向离散系数大于200 m2/s时，采用式（11）得到的纵向离散系数估计值比实测值小，在图中表现为点迹均落在1∶1线以下。这是由于本次研究在目标函数的设定上平衡了准确度和相关性，放弃了对数据集中极值的拟合，所以本次研究提出的公式（11）只适用于纵向离散系数小于200 m2/s的情况。图 3中的纵向离散系数估计值序列与实测值序列的相关系数为0.876，准确度为51.2%。结合以往的文献［2］，本次研究得到的公式（11）是一个较为优越的公式。

为了进一步说明公式（11）的优越性，选取表1中所列的经验公式，采用第二节中给出的模型验证评估指标对公式（11）和以前学者提出的公式进行评估，具体结果见表2。由表2可知：天然河道纵向离散系数经验公式计算精度普遍不高，各个公式的准确度最高的为式⑨，有着54.9%的准确度；准确度第二高的为本文提出的公式（11），有着51.2%的准确度。相关系数最大的是公式（11），有着0.876的相关系数，表明该公式可以很好地估计变化河道形态和水文条件下的纵向离散系数的变化趋势；相关系数第二大的是式④，有着0.874的相关系数。从均方根误差来看，式⑧拥有最小的均方根误差0.506，其次是式⑦，有着0.543的均方根误差。

考虑到均方根误差容易受到极端值的影响，本次研究将准确度（Accuracy）和相关系数（CC）组合成新的评价指标，即前文中提到的目标函数J，以此来对每个公式进行综合评價。目标函数值最大的也是本次研究提出的公式（11），有着0.694的目标函数值，表明该公式在纵向离散系数估计准确度与相关性上具有最佳性能；第二大的是式⑧，有着0.680的目标函数值。从表2中还可以得到：式⑤的性能是最差的，但是考虑到该公式主要是基于长江流域三峡库区的数据得到的，因此该公式在三峡库区的纵向离散系数计算中较有优势，而在其他河流的纵向离散系数计算中不适用。公式（11）与以前的学者提出的式④、式⑦、式⑧、式⑨均有着较好的性能，均可被采用为估计纵向离散系数的经验公式，但是推荐采用公式（11），因为该公式最大限度地保证了精度和与实测值的良好相关性。

4 讨 论

在采用的数据集中，纵向离散系数的取值范围主要在0～100 m2/s之间。在该范围内的数据个数为136个，约占整个数据集的83%。为了进一步获得更高的计算精度，本文采用粒子群优化算法针对纵向离散系数在0～100 m2/s之间的共计136个数据进行重新拟合计算，得到了公式（12）。

图4展示了纵向离散系数实测值与采用公式（12）得到的计算值的对比图。从图4中可以看出，纵向离散系数实测值与估计值组成的点对均匀地分布在1∶1线的两侧，说明采用公式（12）基本能够较为准确地计算出纵向离散系数的实际大小。

采用模型验证评估参数对公式（12）和性能较为优越的代表性经验公式④、⑦、⑧、⑨进行评估，具体结果见表3。

由表3可知，由于公式（12）采用的数据集相比较公式（11）更具有针对性，因此拟合精度也更高。表中公式（12）具有最高的计算精度和最高的相关性，其高精度说明了采用公式（12）进行0～100 m2/s之间范围的纵向离散系数经验公式拟合具有最佳性能。造成这一结果的原因是本次研究进行经验公式拟合时，设定的目标函数考虑了计算精度与拟合相关性双重目标。对比其他公式的结果，也说明了采用经验公式进行纵向离散系数计算时要注意公式的适用范围。

5 结 论

根据前人研究给出的纵向离散系估计的代表性经验公式形式，利用收集的天然河道形态、水文数据以及实测的纵向离散系数构成的数据集，构建了综合考虑纵向离散系数估计准确度和估计结果与实测值相关性的目标函数，采用粒子群优化算法对代表性经验公式中的3个待定参数进行了率定，并将本次研究提出的纵向离散系数经验公式与前人提出的经验公式进行性能的比较，总结出如下结论：

（1） 天然河道的纵向离散系数经验公式计算精度和相关性普遍不高。

（2） 由于考虑了计算精度与相关性双重目标，采用本次研究提出的方法所获得的经验公式具有较高的精度和较好的相关性，具有实际应用价值。

（3） 本次研究提出的经验公式（12）仅适用于纵向离散系数在0～100 m2/s之间的情况。

（4） 采用粒子群优化算法获得纵向离散系数经验公式是完全可行的，同时对于目标函数的设定可以考虑多个目标，这为今后纵向离散系数经验公式的参数率定提供了新的思路。

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（編辑：胡旭东）

Estimation of natural river longitudinal dispersion coefficient based on particle swarm optimization algorithm

HE Wei1，JING Pingfei2，YANG Hui1，ZHAO Yong1

（1.Hunan Wuling Electric Power Technology Co.，Ltd.，Changsha 410029，China； 2.Changjiang Survey，Planning，Design and Research Co.，Ltd.，Wuhan 430010，China）

Abstract： The longitudinal dispersion coefficient is very important for studying the migration of river pollutants.At present，scholars have put forward many empirical formulas and theoretical formulas，but the accuracies of the calculation results are not high.In this paper，based on the measured values of the longitudinal dispersion coefficient and the corresponding river hydrological data and river morphology data，through the weighted combination of the dual objectives of the calculation accuracy of the longitudinal dispersion coefficient and the correlation between the calculated value and the measured value，the particle swarm optimization algorithm（ a data-driven algorithm ） was used to optimize the objective function after the weighted combination，so as to obtain the undetermined coefficients in the general expression of the longitudinal dispersion coefficient.Finally，a new natural river longitudinal dispersion coefficient calculation formula with high accuracy and high correlation was proposed.The verification results showed that the formula can be applied to the longitudinal dispersion coefficient estimation of common natural rivers with longitudinal dispersion coefficient between 0 and 100 m2/s.

Key words： environmental hydraulics；longitudinal dispersion coefficient；particle swarm optimization algorithm；empirical formula；natural river

收稿日期：2022-11-29

基金项目：国家重点研发计划项目“大型水库群汛期运行水位动态控制与洪水资源化应用示范”（2022YFC3202805）

作者简介：贺 伟，男，工程师，主要从事水电站水情自动测报系统研究。E-mail：hewei757@163.com

通信作者：荆平飞，男，工程师，博士，主要从事环境水力学反问题研究。E-mail：pfjing@whu.edu.cn