考虑页岩基质不同孔隙特征的表观渗透率模型

李荷婷，曾 杰 ，李真祥，路千里

1.中国石化西南油气分公司科技部，四川 成都 610041；

2.油气藏地质及开发工程全国重点实验室·西南石油大学，四川 成都 610500；

3.中国石化勘探分公司，四川 成都610041

引言

中国页岩气资源丰富，是除北美地区以外最大的页岩气生产国，页岩气可采储量居世界第一[1-3]。作为储量巨大的非常规天然气资源，页岩气已经成为中国天然气增储上产的重要接替资源[1，4]。页岩气藏生产周期普遍较长，除初期产能主要由天然裂缝中的游离气供给，生产过程中绝大多数天然气都来自页岩基质中的游离气和吸附气（图1）[5-6]。

图1 典型的页岩气生产曲线及不同阶段供气系统[5]Fig.1 A typical shale gas production curve and major gas sources at different times

页岩基质中流体的流动能力通过基质渗透率表征。由于基质含气量大、供气时间长，其渗透率在开采过程中随地层孔隙压力变化的演化直接影响气藏的长效产气能力。同时，废弃的页岩气藏可以用来埋存CO2[7-8]，在此过程中，渗透率的演化将影响CO2的注入效果。页岩基质富含微纳米有机和无机孔隙[9]，微尺度效应明显[10]，其气测渗透率数值通常与液测渗透率存在偏差，故气体渗透率又被称为表观渗透率[11-12]。页岩基质表观渗透率的准确计算，对页岩气藏的长期产能预测、生产动态分析以及经济效益评估意义重大[13]。基质表观渗透率除受到微尺度效应（流体流态）影响外，还受到有效应力变化和有机质吸附应变影响[12]。

大量研究表明，有机质气体吸附引起的有机孔周围局部变形及其随时间的演化对有机孔隙的大小和渗透率影响极大[14-18]。为了准确描述表观渗透率，需要建立考虑页岩基质不同孔隙特征的表观渗透率模型。国内外学者建立了大量的表观渗透率模型[10-13，19-21]，这些模型基于连续介质假设或使用等效导管物理模型表征孔隙，并通过考虑稀薄气体效应修正渗透率。但现有模型鲜有同时考虑基质不同孔隙类型、不同孔隙流体传输机理以及有机孔气体吸附变形随时间的演化对表观渗透率的影响。本文基于孔弹性力学理论和微纳米孔隙网络等效物理模型，建立了考虑有机和无机孔隙中不同岩石力学性质、流体流动机理以及有机孔隙吸附/解吸附变形的特点的页岩基质表观渗透率模型。

1 页岩基质表观渗透率模型

1.1 物理模型及假设条件

为建立页岩基质表观渗透率模型，将富含微纳米孔隙的页岩基质等效为由相互连通的微纳米孔隙网络和立方体基质岩块组成的多孔介质（图2，其中，l--流体流动通道间距，m，a流动通道开度，m）[22-23]。微纳米孔隙网络包含了无机孔隙和有机孔隙。流体流动通道由有机孔隙和无机孔隙串联而成，故可将其进一步等效为由无机、有机两段流动通道组成的复合流动通道。其有机孔隙段和无机孔隙段的比例由基质的TOC 确定，即有机段所占比例近似等于TOC 值[24]。

图2 页岩基质和微纳米孔隙等效物理模型[22-23]Fig.2 Conceptual model of shale matrix,micropores,and nanopores

图2 中，由于l≫a，l可近似处理为流动通道间距。在无机孔隙中，渗透率主要受黏性流动、稀薄气体效应（滑脱效应、Knudsen 扩散）以及有效应力变化引起的孔隙变形影响。在有机孔隙中，考虑了黏性流动、稀薄气体效应、有效应力变化引起的孔隙变形以及气体吸附或解吸附引起的有机孔隙周围局部应变对渗透率的影响。其中气体吸附或解吸附引起的局部应变与页岩基质岩块中气体的吸附量有关[15]。表面扩散由于其对渗透率贡献较小且仅在有机孔中存在，而有机孔占总孔隙量的比例较小，故本文忽略不计。

常围压条件下气体吸附和解吸附引起的有机孔隙周围局部应变随时间的演化过程如图3[25]所示，在注气过程中，注入气体从有机孔壁面扩散进入有机质，引起孔隙周围的局部吸附膨胀。此时，吸附应变几乎全部作用于压缩有机孔隙，而有机质整体体积基本不变。

图3 常围压条件下气体吸附和解吸附引起的有机孔隙周围局部应变随时间的演化过程[25]Fig.3 Gas adsorption and desorption induced organic pore local strain variation with time under constant confining pressure conditions

随着注入气体侵入区不断扩大，有机质气体吸附量增加，吸附应变分布更加均匀，有机质逐渐由局部吸附变形转变为整体吸附变形，整体吸附变形缓解了局部应变造成的孔隙压缩，有机质整体体积略有增大[26]。

气体的吸附量越大，吸附应变分布越均匀，局部应变对孔隙的压缩就越弱。值得注意的是，即便在整体吸附变形阶段，有机岩体和孔隙仍然无法完全等比例吸附膨胀，吸附膨胀对孔隙的压缩效应在整体吸附变形阶段仍然存在。同时，注气使有效应力降低，有机孔增大。因此，有机孔渗透率取决于气体吸附膨胀导致的孔隙压缩和有效应力降低导致的孔隙增大的净效应。与此类似，在产气过程中，孔隙压力下降引起气体解吸附，导致有机孔壁面附近岩体收缩，孔隙体积变大，而有机质整体体积此时基本不变。随着采气过程推进，有机质气体解吸附收缩逐渐波及整个有机质岩体，气体解吸附量增加，有机质收缩变形更加均匀，使其逐渐由局部解吸附收缩变形转变为整体解吸附收缩变形。需要注意的是，在整体收缩变形阶段，有机岩体和孔隙并非完全等比例收缩，解吸附收缩变形对孔隙体积的扩大效应在有机质整体收缩变形阶段仍然存在，但由于采气过程中孔隙压力降低，有效应力增加，使孔隙体积减小，有机孔渗透率取决于解吸附收缩导致的孔隙体积增大和有效应力升高导致的孔隙体积减小的净效应。

页岩基质表观渗透率模型中，有机孔隙和无机孔隙具有相同的孔隙压力，但其岩石力学参数不同。有机孔流动通道和无机孔流动通道的初始开度不同。微纳米孔隙中气体传输过程为等温过程。由于页岩通常在水环境下沉积[27]，页岩基质普遍具有一定的含水饱和度，需要考虑有机孔隙表面潮湿程度对甲烷吸附的影响[28]。

1.2 表观渗透率数学模型

根据物理模型，微纳米孔隙网络为流体流动提供的有效孔隙度为[22]

式中：ϕ--孔隙度，%。

相对于孔隙度的变化，流动通道间距的变化可忽略不计[29]。这里的孔隙度为对流体流动有贡献的有效孔隙度，可小于测试孔隙度。这是由于只有连通的孔隙才对流体流动产生贡献，且孔隙度的测试条件通常与渗透率的测试条件不同，用可吸附气体测渗透率会降低初始孔隙度。由式（1）和孔弹性理论[29-30]可知，流动通道动态开度的表达式为

式中：a0—流动通道初始开度，m；

ϕ0—初始孔隙度，%；

l0—初始流动通道间距，m；

β--Biot 系数，无因次；

κ--基质岩体体积弹性模量，Pa；

κp—孔隙空间体积弹性模量，Pa；

σ—围压，Pa；

σ0—初始围压，Pa；

p—孔隙压力，Pa；

p0—初始孔隙压力，Pa。

在图2 所示的物理模型中，无机孔流动通道开度可直接由式（2）计算，而有机孔流动通道开度则需考虑气体吸附引起的有机质变形的影响[12]。Peng等[31]认为，气体吸附引起的有机孔周围局部膨胀对固有渗透率影响明显。Wei 等[14]通过实验证明局部膨胀对渗透率影响与膨胀应变在有机岩体内分布的均匀程度有关，分布越均匀，其对渗透率的影响越小，均匀程度可通过气体吸附量表征[15]。因此，计算有机孔流动通道开度需要在式（2）中加入有机质局部膨胀应变项[24，31]。考虑有机孔周围局部膨胀，流体流动通道动态开度表达式为

式中：aor—有机孔流动通道，m；

aor0—有机孔流动通道初始开度，m；

as—局部吸附应变所占开度或局部解吸附收缩增加的开度，m；

κorp—有机孔隙空间体积弹性模量，Pa。

式（3）同样适用于气体解吸附有机质收缩的情况。考虑有机质表面潮湿程度对气体吸附的影响[28]，局部吸附应变所占开度或解吸附应变增加的通道开度为[32]

式中：f--局部体积应变系数，表示局部应变占有机质平均吸附体积应变的比例，无因次；

tor—有机孔流动通道穿过的有机质厚度，m；

∆εs—有机质的平均吸附体积应变，无因次；

εsL—吸附应变系数，无因次；

pL—Langmuir 压力，Pa；

λ--潮湿表面引起的吸附能力下降系数，无因次；

m--水的质量分数，无因次。

由于流动通道有机段的比例通过TOC 计算，故有机段的基质岩体可看作纯有机质，可得tor=l。目前，大多数学者将局部体积应变系数f处理为常数[32-34]，忽略了局部应变对有机孔大小的影响与页岩基质岩块中气体的吸附量（吸附应变分布的均匀程度）有关[15]。本文基于Liu 等[15]对吸附应变分布均匀程度的定义，提出了动态局部体积应变系数表达式

式中：t—注气或采气时间，s；

τ—扩散时间常数，s；

fr—残余局部体积应变系数（常数），无因次。

fr可通过与实验数据拟合得到，用于表征有机岩体整体吸附膨胀或解吸附收缩阶段吸附或解吸附变形对有机孔大小的影响。由于页岩基质非常致密，孔隙压力无法瞬时达到注气或采气压力，可通过式（6）计算[18，35]

式中：pe—注气或采气压力，Pa；

td—与初始压力和注气或采气压力压差有关的特征时间[18]，s。

结合式（3）∼式（6）可计算有机孔的动态开度。单条流动通道的固有渗透率是其开度的函数[22]

式中：K--单条流动通道固有渗透率，m2。

考虑微纳米通道中流态和横截面形状的影响，根据式（7）和Beskok--Karniadakis 模型[36-37]，可得单条流动通道表观渗透率表达式

式中：Kapp—单条流动通道表观渗透率，m2；

C—形状修正因子，无因次；

ζ—流动通道宽度和开度之比，无因次；

Kn—Knudsen 数，无因次；

α—Beskok–Karniadakis 模型参数，无因次。

Knudsen 数为流动通道开度和分子平均自由程的函数，α 为Knudsen 数的函数，故只需知道孔隙压力和流动通道开度即可得到表观渗透率。本文的物理模型可以描述三维流动，对每个流动方向，可通过参与流动的有效孔隙度对单条流动通道表观渗透率进行尺度升级[22]，可得有机孔流动通道和无机孔流动通道对应基质岩体的表观渗透率表达式

式中：Kappb,or，Kappb,in—有机孔流动通道和无机孔流动通道对应基质岩体的表观渗透率，m2；

Kapp,or，Kapp,in—有机孔流动通道和无机孔流动通道的表观渗透率，m2；

ain—无机孔流动通道开度，m。

考虑流动通道为有机、无机孔隙串联，基质岩体表观渗透率为

式中：Kappb—基质岩体表观渗透率，m2；

ω--流体流动通道中有机孔流动通道的比例，无因次。ω 近似等于TOC[24]。

2 模型验证

本文通过将模型计算结果与文献中渗透率测试实验数据对比来验证模型的可靠性。该岩样取自加拿大阿尔伯塔的HorseshoeCanyon 地层，岩芯的TOC 为0.77%，Langmuir 压力为1.82 MPa，渗透率在常围压条件下（σ=0）通过注入甲烷进行测试[38-39]。模型的主要输入参数如表1 所示。表中孔隙的体积模量可远小于岩体的体积模量，两者关系可通过Zimmerman 的κp=κϕ/β 表示[40]。

表1 表观渗透率模型输入参数Tab.1 Input parameters of the apparent permeability model

由于实验使用的岩芯通常经过干燥处理，岩芯有机孔隙表面潮湿程度对气体吸附的影响可忽略不计。图4 为不同注气压力下模型计算结果。

图4 不同注气压力下表观渗透率随时间的变化Fig.4 Apparent permeability evolution with time at different injection pressure

由于孔隙压力加载过程稀薄气体效应（气体滑脱、Knudsen 扩散等）减弱以及局部吸附应变随时间变化，表观渗透率表现为时间的函数。在孔隙压力加载初期，表观渗透率主要受流态和局部吸附应变控制，稀薄气体效应减弱以及有机孔周围局部吸附膨胀使表观渗透率降低。该阶段由孔隙压力升高引起的有效应力降低对表观渗透率影响较弱。随着吸附应变分布越来越均匀，局部吸附应变造成的孔隙压缩减弱，同时，有效应力继续降低，表观渗透率出现回弹。当表观渗透率最终趋于稳定时，受残余的局部应变和稀薄气体效应减弱的影响，故表观渗透率低于初始值。图4 中渗透率演化整体趋势与文献报道的结果一致[15，18，25-26]。

渗透率测试实验中，需要在渗透率达到稳定时记录，因此，选取稳定阶段的计算结果与实验测试数据对比。本模型计算结果与实验数据高度吻合（图5），稳定阶段表观渗透率随着注气压力增大先减小后增大。这表明有效应力下降较大（注气压力较大）时，稳定阶段表观渗透率虽然仍低于初始值，但随着有效应力继续下降而增大。模型计算结果与HorseshoeCanyon 页岩渗透率测试结果对比证明了本模型的可靠性。有机质对甲烷气体的吸附与对CO2的吸附类似，都能引起有机质膨胀，故可通过与注甲烷时渗透率演化对比验证模型，而下文采气过程中的渗透率演化模拟用甲烷则与实际采气情况一致。

图5 稳定阶段表观渗透率计算结果与实验数据对比Fig.5 Comparison of calculation results of this model at the stable stage and experimental data

图6 比较了有机孔隙和无机孔隙的渗透率演化规律。随注气压力增加，有机和无机孔渗透率均先减小，这是孔隙压力增大，稀薄气体效应减弱造成的。对有机孔而言，该阶段还受有机质局部吸附膨胀影响。随着注气压力进一步增加，由于有机孔隙空间体积弹性模量低，有效应力降低使得有机孔渗透率出现回弹，而无机孔渗透率则仅有略微的回弹现象。本模型适用于注气和采气过程。需要注意的是，在模拟注气和采气过程中，模型的不同在于计算孔隙压力的特征时间表达式不同，分别为[18]：td=(pe−p0)/C′和td=−(pe−p0)/C（′其中，C′—常系数，Pa/s）。本模型为解析解，可以嵌入多场耦合软件，将本渗透率模型表达式代入COMSOL 软件达西流模块的渗透率参数，建立气藏尺度模型模拟现场生产，准确预测产能。

图6 有机孔和无机孔渗透率演化规律Fig.6 Permeability evolution of organic and inorganic pores

3 结果与讨论

表观渗透率的影响因素包括有机孔表面潮湿程度、TOC、孔隙初始开度等。通过敏感性分析揭示这些因素对表观渗透率及其演化规律的影响，采用表观渗透率比分析渗透率随时间的演化规律。注气过程初始压力和注气压力分别为0.942 MPa 和7.892 MPa，采气过程中，初始压力设为7.892 MPa，稳定阶段孔隙压力为0.942 MPa。除特别说明外，敏感性分析中模型基本输入参数与表1 一致。

3.1 有机孔表面潮湿程度

有机质表面潮湿程度影响气体吸附能力[28]，随着潮湿程度增加，气体吸附量降低。本文研究有机孔隙表面不同潮湿程度条件下表观渗透率的演化规律，潮湿程度由有机质所含水的质量分数表征[28]。式（4）中潮湿表面引起的吸附能力下降系数（λ）取0.172[28]，为突出有机孔潮湿程度的影响，TOC 取5%，吸附应变系数为0.01。

有机孔表面潮湿程度在采气过程中对表观渗透率演化的影响如图7 所示，随着含水量增加，有机质气体吸附和气体吸附引起的膨胀减弱，由局部吸附变形造成的“U”型表观渗透率演化阶段上移，但对初始阶段和稳定阶段的表观渗透率没有明显影响。

图7 有机孔表面潮湿程度在注气过程中对表观渗透率比的影响Fig.7 Impact of the organic pore moisture content level on apparent permeability ratio during gas injection

图8 为采气过程表观渗透率演化曲线。当含水量低时，气体解吸附引起的有机孔附近局部收缩效应明显，扩大了孔隙开度，稀薄气体效应也随孔隙压力下降而增强，故表观渗透率上升。随着孔隙压力逐渐降低到稳定值以及有机质解吸附收缩变形分布更加均匀，有效应力的增大逐渐主导渗透率，故表观渗透率下降。由于稀薄气体效应在低孔隙压力下增强，最终的表观渗透率仍高于初始值。随着含水量升高，气体解吸附引起的有机质局部收缩减弱，有效应力变化主导阶段前移，由局部收缩和气体稀薄效应共同引起的表观渗透率上升阶段不再明显，甚至完全消失。同样，由于稀薄气体效应在低孔隙压力下增强，稳定阶段的表观渗透率高于初始渗透率。在采气过程的渗透率稳定阶段，表观渗透率仍不完全相同，表明有机孔周围局部解吸附收缩在稳定阶段对表观渗透率仍有影响。

图8 有机孔表面潮湿程度在采气过程中对表观渗透率比的影响Fig.8 Impact of the organic pore moisture content level on apparent permeability ratio during gas depletion

3.2 有机孔所占比例

页岩基质中有机、无机孔隙气体传输机理不同，有机孔的比例影响基质整体表观渗透率。本模型中有机孔所占比例通过TOC 描述。需要注意的是，随着TOC 的增大，有机孔隙所占比例增大，表观渗透率初始值下降且逐渐接近纯有机孔隙岩体的初始表观渗透率值。

图9 为不同TOC 条件下注气过程中基质表观渗透率演化情况。由图9 可知，随着有机孔比例增加，“U”型表观渗透率演化阶段更加明显。这是由于有机孔比例增加，局部吸附膨胀对基质整体表观渗透率的影响增大。同时，由于有机孔体积模量更小，应力敏感性更强，随有机孔比例增加，稳定段表观渗透率比逐渐上升，但由于稳定孔隙压力高于初始孔隙压力，稀薄气体效应减弱，稳定阶段的表观渗透率仍然低于初始表观渗透率。

图9 TOC 在注气过程中对表观渗透率比的影响Fig.9 Impact of the TOC value on apparent permeability ratio during gas injection

图10 为采气时的计算结果。随着有机孔比例增加，表观渗透率比降低，且“U”型表观渗透率演化阶段更加明显。

图10 TOC 在采气过程中对表观渗透率比的影响Fig.10 Impact of the TOC value on apparent permeability ratio during gas extraction

需要注意的是，图10 中的“U”型阶段形成的机理与注气过程的不同，下降阶段由孔隙压力降低、有效应力增大引起，而上升阶段由孔隙压力降低、稀薄气体效应增强导致。有机孔的体积模量更小，应力敏感性更强。因此，随有机孔比例增大，有效应力增大引起的表观渗透率降低更明显。由于吸附应变系数仅为0.002（表1），有机孔周围气体解吸附局部收缩无法抵消有效应力增加的影响，局部收缩在该阶段无法引起表观渗透率上升。对于岩样中的天然裂缝，可视为无机流动通道，将模型中的无机孔隙进一步划分为开度较小的无机孔和开度较大的天然裂缝可模拟岩样存在天然裂缝的情况。

3.3 孔隙初始开度

孔隙初始开度决定基质固有渗透率，同时影响流体流动的流态，从而影响基质表观渗透率。局部吸附应变对表观渗透率的影响也与孔隙初始开度有关，开度越大，吸附引起的局部膨胀对开度（渗透率）的影响越小。由于表观渗透率值随开度变化较大，不便直接比较，本文通过分析不同开度条件下表观渗透率比来揭示表观渗透率演化规律。

孔隙初始开度在注气过程中对表观渗透率的影响如图11 所示，随着孔隙初始开度增大，稳定阶段的表观渗透率从小于初始表观渗透率逐渐变为大于初始值，表明随着开度增大，孔隙压力加载引起的稀薄气体效应减弱对表观渗透率的影响逐渐减小。表观渗透率的主控因素由稀薄气体效应减弱和局部吸附膨胀转变为有效应力降低。

图11 孔隙初始开度在注气过程中对表观渗透率比的影响Fig.11 Impact of initial flow channel aperture on apparent permeability ratio during gas injection

孔隙初始开度在采气过程中对表观渗透率的影响如图12 所示。随着孔隙开度减小，稳定阶段（低孔隙压力）的表观渗透率比逐渐增加，这是由于低压条件下的稀薄气体效应增强成为稳定阶段渗透率的主控因素。当孔隙开度足够小，稀薄气体效应足够强时，表观渗透率不会因为有效应力增加而下降。有机孔周围局部收缩和稀薄气体效应增强共同作用使表观渗透率上升。

图12 孔隙初始开度在采气过程中对表观渗透率比的影响Fig.12 Impact of initial flow channel aperture on apparent permeability ratio during gas extraction

4 结论

1）基于孔弹性理论和无机和有机微纳米孔隙网络等效物理模型，建立了考虑有机与无机孔隙不同岩石力学性质、流体流动机理以及有机孔隙吸附和解吸附变形特征的页岩基质表观渗透率模型。与传统表观渗透率模型不同，本模型可以描述孔隙压力加载和降低过程中表观渗透率完整演化过程，以及有机质气体吸附膨胀/解吸附收缩随时间变化对表观渗透率的影响。本模型计算的稳定阶段表观渗透率值与实验数据高度吻合。

2）有机孔潮湿程度对有机质中气体吸附量影响较大，从而影响有机孔气体吸附变形。在注气过程中，由有机孔周围局部吸附膨胀和稀薄气体效应减弱引起的“U”型渗透率演化的下降阶段，“U”型曲线后半段渗透率上升为有效应力降低所致。曲线随着潮湿程度增加而上移。在采气过程中，随潮湿程度增加，由于有机质初始状态下的气体吸附量和膨胀变形较小，有机孔周围局部解吸附收缩引起的表观渗透率升高现象减弱甚至消失。

3）有机孔占孔隙总数比例越大，基质岩体表观渗透率演化越接近纯有机基质表观渗透率的演化规律。在注气过程中，有机孔所占比例越大，“U”型渗透率演化阶段越明显，由于有机孔应力敏感性强，稳定阶段有效应力降低引起的表观渗透率上升也越明显。在采气过程中，有机孔所占比例越大，由有效应力增加和稀薄气体效应增强引起的“U”型渗透率演化阶段越明显，稳定阶段的表观渗透率下降也越明显。

4）随着孔隙开度增加，孔隙压力加载或降低过程中，渗透率稳定阶段表观渗透率的主导因素由稀薄气体效应和吸附或解吸附引起的有机孔周围局部变形转变为有效应力的变化。