谈谈带余除法

林堃

带余除法是数论的重要基础知识，带余除法实际上是关于两个整数相除的研究。由于小学没有学习负数，所以小学阶段只学习正整数的带余除法。到了中学，数系从自然数延拓到了整数，中学数学教材沒有介绍整数的带余除法，一些学生和教师对带余除法的认知存在误解。 本文对整数的带余除法进行简要分析，谈谈带余除法的相关知识。

一 、问题的提出

有一位中学教师问我一个这样的问题：-7÷3有余数吗？如果有，余数是什么？余数可以是负数吗？

二 、问题的意义

中学数学教材没有介绍整数的带余除法，有些学生和教师认为带余除法只能是正数，认为负数不能有带余除法。这位教师提出的这个问题是一个具有代表性的问题，所以很有必要思考解答这个问题。

另外，数论是研究整数的学科，带余除法是数论的重要基础知识，带余除法是整除、同余、连分数等数论知识的基础。整除是带余除法余数为0的特殊情况，所以从数学学科发展的角度，也很有必要弄清楚该问题。

三 、问题的分析

带余除法实际上是关于两个整数相除的研究。首先0不能做除数，至于为什么0不能作为除数，本文不深究这个问题。如果0是被除数，除数非零，那么商和余数都是0。对于被除数非零的情况，我们分类讨论，根据被除数和除数的正负号的可能性，一共有4种可能。例如7÷3，-7÷3，-7÷（-3），7÷（-3）。

对于除数是负数的情况，我们都可以把除数写成正整数，比如-7÷

（-3）=7÷3，7÷（-3）=-7÷3。所以我们需要研究的实际只有两种情况——正整数除以正整数和负整数除以正整数。

第一种是正整数除以正整数，也就是小学课本研究的，因为小学生不学负数，所以小学只学第一种。到了初中，本应该系统学习整数的带余除法，可惜初中数学教材和高中数学教材都没有选编这个知识点，这也导致不少学生和教师不了解涉及负整数的带余除法。

我们通过类比的方法分析一下负整数除以正整数的余数和商分别是什么。7÷3=2……1，可以写成7=3×2+1。也就是当b≠0时，a÷b=q……r等价于a=bq+r，这两种形式都是带余除法的表示方法。小学数学教材里面规定了余数r不能大于除数b。我们先延续小学数学教材的规定，看看7÷（-3）商和余数应该等于多少。问题转化为7=（-3）q+r，如果要保证r是最小的非负整数，那么7=（-3）×（-2）+1，也可以写成7÷（-3）=（-2）……1，所以商是-2，余数是1。一般化之后，那就是：a÷b=q……r等价于a÷（-b）=（-q）……r，其中a，b，q，r为正整数。因为bq=（-b）（-q），所以这两个式子的本质都是a=bq+r，从而它们是等价的。

通过上述讨论我们可以给出带余除法的相关知识：如果a=bq+r，我们可以记作a÷b=q……r，其中a，b， q，r为整数，这就是带余除法。如果我们限定0≤r＜| b |，那么对于给定的两个非零整数a，b，都存在唯一的q和r，使得a=bq+r。这是《初等数论（I）》的引理4（陈景润，2012），感兴趣的读者可以阅读陈景润先生的这本书。

对于余数r，常用的有两种。满足0≤r＜| b |的r叫做最小非负剩余，另外一种叫做绝对最小剩余，也即是余数r的绝对值不超过除数b的绝对值的一半。例如-2÷7=（-1）……5，-2÷7=0……（-2），所以-2除以7的最小非负剩余和绝对最小剩余分别是5和-2。因为小学没有学负数，所以小学课本规定使用最小非负剩余，但是这并不代表余数不能是负数。

注意，我们说的是一般用的是最小非负剩余和绝对最小剩余，并没有说只能用这两种。根据实际情况的需要，余数还有其他类型。比如父亲有100万，父亲要分钱给三个孩子，每一个孩子分20万，父亲自己留40万。这也是可以的，我们不能要求父亲要尽可能把钱分完，每一个孩子分33万，他自己留1万。实际上，他想怎么分就怎么分，都是可以的。

现实生活问题和纯粹数学问题是两回事。现实生活问题要求我们具体问题具体分析，不要犯教条主义的错误。数学问题，得先看定义。为了保证唯一性，一般定义为最小非负剩余，有时定义为绝对最小剩余。我们看书时，先看书里面的定义是怎么表达的。我们写书时，也要写清楚定义，尤其是余数r的取值范围。

四 、问题的解答

-7÷3有余数，-7÷3=-3……2，最小非负剩余是2；-7÷3=-2……（-1），绝对最小剩余是-1。余数可以是负数。

五 、后记

带余除法看似简单，其实非常深刻。它是整除、同余、辗转相除法、贝祖定理、最大公因数、连分数、剩余类、剩余系、剩余类加群、欧几里得环等内容的基础。实际上，数论学习就是从最小数原理和带余除法开始的。需要继续深入学习的读者，可以读一下《数学通报》1985年第10期，我国著名数学教育家严士健的《从带余数除法谈起》。

责任编辑 罗 峰