面向超材料微结构的离散变量拓扑优化设计①

刘宏亮,蒋亦煌,梁 缘,王培金,郝 鹏

(1.沈阳航空航天大学 航空宇航学院,辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室,沈阳 110136;2.大连理工大学 工程力学系, 工业装备结构分析国家重点实验室,大连 116023)

0 引言

具有周期性微结构组成的超材料结构凭借其优异的力学性能以及独特的物理性能在航空航天领域展现出广阔的应用前景。例如,运载火箭、载人飞船、人造卫星等航天器在服役过程中对结构轻量化和高性能化的需求不断增加,因此具有特异性能且轻质的超材料结构获得了越来越广泛的关注。事实上,微结构的几何形状和物理性能往往决定了由其组成的宏观构型的力学性质,这就使得微结构设计具有重要的学术意义和应用价值。随着高新科技的不断发展,增材制造等先进技术变得愈来愈成熟,具有复杂构型的微结构也可以被制造出来,从而进一步促进超材料设计[1],而这也推动了航空航天装备的前沿研究和应用发展。

在众多设计方法中,拓扑优化技术通过在给定的设计区域内寻求材料的最佳分布使得约束条件下的结构性能最优,是一种有效获得新型微结构构型的方法。近年来,结构拓扑优化技术被广泛应用于众多工程领域,已成为结构创新设计的有效途径[2-4]。目前被广泛采用的拓扑优化方法主要有固体各向同性材料惩罚法(Solid Isotropic Material with Penalization, SIMP)[2, 5]、水平集方法(Level Set Method,LSM)[6-7]、渐进结构优化方法(Evolutionary Structural Optimization,ESO)[8-9]和移动可变形组件方法(Moving Morphable Components, MMC)[10]等。

对于由周期性微结构单胞组成的宏观结构材料,其每一点的有效物理性质可以由数值均匀化方法获得[11]。BENDSØE和KIKUCHI[12]通过使用渐近均匀化方法对结构中不同位置的微结构进行尺寸优化,从而优化出整体的拓扑结构。在渐近均匀化方法的基础上,多种可设计微观结构的拓扑优化方法被成功地扩展到周期性微结构设计中。例如,RADMAN等[13]采用渐进优化方法以及LI等[14]采用水平集方法设计出了具有特定性能的周期性功能梯度微结构。值得指出,SIMP方法因其概念简单、易于实现且计算效率高的特点被广泛应用于超材料微结构设计。SIGMUND[15]将SIMP方法和逆均匀化方法相结合设计出具有特定本构参数的微结构。随后,SIGMUND和TORQUATO[16-18]进一步设计出了具有特定热膨胀系数和压电系数的微结构。另外,SIMP方法还被用于具有特定力学性能的手性材料设计[19],同时满足零膨胀和高刚度的多功能性单胞构型设计[20-22]以及最大渗透率设计[23]。XIA和BREITKOPF[24]使用了能量均匀化方法计算单胞的等效力学性能,并结合密度法获得了三种不同目标的微结构设计,与渐近均匀化方法相比,该方法具有计算效率高的优点。需要说明的是,SIMP方法由于使用连续变量,在计算过程中会存在中间密度,即使增大惩罚因子,中间密度也难以被完全消除,这会一定程度上损害优化结果的目标值,还会影响结构的可制造性[25]。

本文工作致力于获得清晰的超材料微结构构型设计,从而为提取和控制结构的几何信息提供便利,促进结构设计和制造过程的深度融合。本文采用能量均匀化方法,在此基础上研究了基于离散变量方法[26-27]的结构体积约束下的微结构设计。根据不同的初始设计,获得体积模量最大化和剪切模量最大化的微结构构型设计。数值算例用于说明本文优化设计的有效性,并研究了初始设计和体积约束对微结构离散变量拓扑设计构型的影响。

1 能量等效均匀化

1.1 基于能量等效均匀化的等效性质计算

(1)

根据单元应变能,可以将式(1)改写为[15]

(2)

基于有限元分析,将微结构离散成N个单元,则式(2)可以修改为

(3)

对于二维结构设计问题,等效本构张量可以写为如下表达式:

(4)

(5)

1.2 周期性边界条件

超材料往往在结构中周期性排布,因此需要在单胞上施加周期性边界条件以获得单胞的等效性质。根据文献[28]所述,边界上的周期性条件可表示为

(6)

值得指出,需要将式(6)转换成为一种更显式的周期性边界条件[29]。考虑图1所示的微结构,一组相对边界上的位移为

(a) Applying horizontal unit strain (b) Applying unit strain in vertical direction (c)Applying unit shear strain图1 施加不同应变后的周期性微结构变形示意图Fig.1 Schematic diagram of periodic microstructure deformation after applying different strains

(7)

在二维设计问题中,上标k分别表示垂直于水平或竖直方向的边界面。通过将式(7)中的两式相减,可得到如下关系式:

(8)

(9)

(10)

如图1(c)所示,施加单位剪切应变时,左右对边水平方向自由度位移与上下对边竖直方向自由度位移需要满足:

(11)

2 离散变量下的超材料设计优化列式及其求解

本文考虑体积约束下微结构设计的离散变量拓扑优化列式如式(12)所示:

(12)

式中C为单胞等效性质的目标函数;K(ρ)为结构的总体刚度矩阵。

由于离散变量的特点是无需进行刚度惩罚,因此总体刚度矩阵与设计变量的关系可以表示为

(13)

本文的设计目标是考虑体积模量和剪切模量最大化。对于体积模量最大化设计问题,相应的目标函数可以定义为

(14)

对于剪切模量最大化设计问题,其目标函数可以定义为

(15)

优化列式(12)是目标函数的隐式函数,本文将使用灵敏度信息将式(12)显式化。

当考虑体积模量最大化设计问题时,目标函数的离散变量灵敏度可以采用如下表达式计算:

当考虑剪切模量最大化设计问题时,目标函数的离散变量灵敏度的计算表达式为

(17)

为了消除棋盘格式,本文采用如下形式的线性灵敏度过滤(以体积模量为例):

(18)

其中,

Hij=max(0,rmin-Δ(i,j))

式中rmin为滤波半径;Δ(i,j)为单元i与单元j中心点的距离。

为了求解大规模非线性整数规划问题,采用序列近似整数规划和正则松弛算法求解,利用目标函数的离散变量灵敏度将原隐式优化问题转化为如下形式的显式规划问题[26]:

(19)

3 数值算例

本节基于两种不同的初始设计构型给出微结构设计中离散变量方法的数值结果与讨论。其中,材料弹性模量取为E0=1,泊松比ν= 0.3,初始设计区域如图2所示。

(a)Circular hole (b)Square hole图2 初始设计区域Fig.2 Initial design domain

3.1 体积模量最大化设计

(a)Optimization result and iterative curve of initial design with circular hole

(b)Optimization result and iterative curve of initial design with square hole图3 体积模量最大化设计结果及迭代曲线Fig.3 Optimization results and iteration curves of bulk modulus maximization

(a)Optimization result of initial design with circular hole (b)Optimization result of initialdesign with square hole图4 体积模量最大化优化结果(SIMP方法Fig.4 Optimization results of bulk modulus maximization

图5 体积模量最大化优化结果及迭代曲线Fig.5 optimiation resuits and iteration curves of buik moduius maximization

图6 体积模量最大化的初始设计及优化结果Fig.6 Initial design and optimization results for bulk modulus maximization

基于图6(a)的初始设计,经迭代计算后分别得到图6(b)、(c)的两种矩形微结构,两者收敛设计的目标函数值分别为0.725 4和0.225 9。对比之前计算得到的正四边形微结构,目标函数值相差较小。

3.2 剪切模量最大化设计

图7 剪切模量最大化优化结果及迭代曲线Fig.7 Optimization results and iteration curves of shear moduius maximization

图8 网格加密后剪切模量最大化优化结果Fig.8 Optimization results of shear modulus maximizationafter mesh 0.5)

图9 剪切模量最大化优化结果及迭代曲线Fig.7 Optimization results and iteration curves of shear moduius maximization

另外,将图2中初始设计的圆孔和方孔分别改为原来孔洞大小的14.9%和11.1%,初始设计和优化结果如图10所示,相应的目标函数值分别收敛于0.137 2和0.139 9。从优化结果可以看出,当初始设计改变后,优化出的微结构在外部轮廓上具有相似之处,但结构的内部构造完全不同。可见,当选取不同的初始设计时,会存在设计出微结构构型不一致的情况。对比图7的优化结果图可以发现,图10的优化结果存在较多的孔洞,这意味着整体结构的刚度会略差于前者,而且计算出的目标函数值可以进一步表明图7的两种微结构构型的刚度更优。

图10 剪切模量最大化的初始设计及优化结果Fig.10 Initial design and optimization results for shear modulus maximization

图11 剪切模量最大化优化结果Fig.11 Optimization results of shear modulus maximization

4 结论

本文面向新型轻质飞行器结构设计中的超材料微结构拓扑优化,在能量均匀化方法的基础上利用序列近似整数规划和正则松弛算法实现了超材料微结构的离散变量拓扑优化设计。结论如下:

(1)根据两种初始孔洞设计构型和随机初始设计,求解了材料体积约束下体积模量最大化和剪切模量最大化两种结构性能目标的优化问题,验证了方法的有效性,获得了新型微结构设计。

(2)数值算例结果表明基于离散变量的微结构拓扑优化设计能够有效避免灰度模糊问题。另外,结构的初始设计和材料体积约束对优化结果的影响较大,考虑不同性能目标的微结构设计构型的差异明显。