基于Holt-ARIMA-Lagrange Multiplier的CWC信息熵时序研究

张仙　吴琼　陈以祺　黎亚少　王巍巍

摘要 降水云系的发展过程及其特征分析，是云降水物理学中的一个重要问题.本文选取一次云发展过程中的700 hPa云水含量（Cloud Water Content，CWC）和大气垂直方向上气流速度（Omega，OMG）的1 h值，以信息熵来度量CWC空间分布的混沌程度，辅以OMG的时间变化来判断云的发展，并提出了一种基于多尺度分解、Holt模型、自回归滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）和Lagrange Multiplier的组合预测方法.结果表明：1）CWC熵具有非线性和非平稳性；2）在云的不同发展阶段，北方CWC熵序列的均值都小于南方，方差普遍大于南方；3）OMG区域均值与CWC熵的小波低频重构的极值点在时间上有很好的对应关系，相近的极值点在南方中占50%，在北方中占83.3%，表明CWC熵可以在一定程度上反映云系的发展；4）CWC熵序列往往具有多种时间尺度特征，故进行多尺度分解之后再组合建模的Holt-ARIMA-Lagrange Multiplier模型比单一预测方法、单层分解的预测模型更优，准确率提高3%以上.关键词 云水含量；信息熵；小波分解；经验模态分解（EMD）；自回归滑动平均模型（ARIMA）；Holt两参数指数平滑法

中图分类号P457.6

文献标志码A

0 引言

云是自然界水循环的有形结果，内部存在复杂的反馈机制.云水含量能够反映云系的组织和形态，其信息熵能够描述云系的自组织状况.段海霞等[1]通过涡旋自组织动力学研究了西北地区几次降水过程，得到了暴雨过程中降水云团自组织预报判断的依据.张小娟等[2]于2019年利用中尺度数值模式WRF的数值模拟，结合卫星资料等，分析了冰雹云系的发展演变特征及其云物理结构.陈逸伦[3]基于云系和降水系统的整体性，揭示了云团时空变化特征.学者们也对中国不同地区云水量的时空分布及变化趋势进行了分析，云水量存在季节变化特征，南多北少[4-5].云水含量是气候数值模拟的预报参量之一，也是研究云系内部发展的重要参数.

实测数据概率分布的离散性较高，故信息熵成为度量云水含量不确定程度的有效工具.1995年，张学文等[6]提出熵气象学方法.王惠娟[7]提出基于信息熵的PM2.5浓度的不确定研究，在小范围内同时考虑了指标的变化规律和空间分布.Berta 等[8]研究了熵的不确定度以及测量的可逆性.李丽娟等[9]总结了熵不确定度研究的发展历史和进展，对不确定关系进行推广，得到了更加普适的数学关系表达式.

气象数据通常具有非平稳、波动大等特点，在时间序列分解研究方面，单一的分解误差常常较大.由于不同分解方法各有优势与不足，采用混合多尺度分解方法，再对分解后的分量序列分别进行预测，然后集成，最终的预测效果较好[10].例如，自回归滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）适用于平稳和非平稳序列，故ARIMA具有广泛的适用性.Geetha等[11]通过ARIMA模型预测了飓风在未来一段时间内的发展趋势；Xiong 等[12]提出一種混合建模框架，将区间Holt指数平滑法和多输出支持向量回归相结合，发现对线性趋势数据的预测效果较好；汪漂[13]提出混合区间多尺度分解模型，将区间序列分解成区间趋势和残差，分别利用Holt、支持向量机和BP神经网络预测；Wu等[14]提出一种基于二次分解的AQI组合预测的优化算法，综合考虑了多种影响因素.针对非线性、非平稳、多时间尺度的时间序列，采用多尺度分解与组合预测的方法能够有效提高模型的预测性能[15-17].

本文选取一次云发展过程中的700 hPa云水含量的信息熵，借助分量分解、Holt、ARIMA模型和Lagrange Multiplier集成等方法，建立一种适用于非线性、非平稳气象数据的组合预测模型，以期为云物理学中云系组织形态演变规律研究提供帮助.

1 数据和描述性统计分析

1.1 研究数据选取2020年9月30日至10月3日中国部分地区（96.62°～143.39°E，26.16°～53.13°N，图1）700 hPa云水含量（Cloud Water Content，CWC）和大气垂直方向上气流运动速度（Airflow Velocity in the Vertical Direction of the Atmosphere，OMG）的1 h数据，表1列出数据提取的阈值.共有96个时间点，时间1表示2020年9月30日0时，时间2表示9月30日1时，……，时间96表示10月3日23时，期间有一次降水过程.研究数据来自外场观测资料和Weather Research and Forecast Model模式资料，范围包括东北地区、华北地区、中部地区和绝大部分西南地区等，以40°N为界的南、北各呈现出一大片云，格点为6 km×6 km.

大气垂直方向上的运动与云中水汽的凝结密切相关，直接影响云的发展.根据OMG来划分4 d内云系发展阶段，如图2a所示，根据北方大气垂直方向上气流速度均值的变化情况，以一个周期运动为一个阶段，将4 d内云的整体变化分为5个阶段.分别是：第1阶段：0～27；第2阶段：28～38；第3阶段：39～76；第4阶段：77～86；第5阶段：87～96.如图2b所示，根据南方大气垂直方向上气流速度均值的整体变化情况，将4 d内云的变化分为6个阶段.分别是：第1阶段：0～24；第2阶段：25～47；第3阶段：48～62；第4阶段：63～74；第5阶段：75～85；第6阶段：86～96.

图2 2020-09-30—10-03北方和南方的OMG Fig.2 OMG values in the north （a） andthe south （b） from Sept. 30 to Oct. 3 of 2020

1.2 CWC信息熵的概况

为了研究云系如何组织和发展，信息熵是一个重要的工具.熵的本质内涵是变化和不确定度，熵越小，其有序度越高，反之则混乱程度越高[6].为了研究云水含量CWC的混沌程度，本文通过其信息熵值来进行接下来的分解与预测研究.

为了反映云系状况，针对每个时刻CWC超阈值的空间分布数据，计算信息熵值，连接所有时刻的熵值绘制时序图（图3）.南方CWC熵整体上大于北方，说明南方CWC空间分布数据的不确定度更大，并且周期性较北方明显.通过箱线图（图4）对比南、北方CWC熵的离散情况以及异常值，南方异常值数据较多且南分布较为集中.

进行ADF（Augmented Dickey-Fuller）平稳性检验，得到北方数据的P值为0.58，布尔判定结果为h=0，南方数据的P值为0.81，布尔判定结果为h=0，说明南、北方CWC熵序列均是非平稳的.进一步，进行BDS检验（表2），最大嵌入维数设为6，BDS统计量的值随着嵌入维度的增加而增加，且P值都小于0.01，说明南、北方CWC熵都有显著的非线性.

依据图2划分的云系发展阶段，绘制箱线图来对比南、北方云在不同发展阶段下的差异.由图5可知，北方的中位数呈先下降后上升趋势，南方先升后降又升.随着云系的发展，南方离散程度持续下降，而北方变化不大.

由表3可知，在云系的不同发展阶段，北方CWC信息熵均值都小于南方，方差普遍大于南方.北方最大均值出现在第5阶段，为2.92，最大方差在第3阶段，为0.05；南方最大均值在第4阶段，为3.18，最大方差在第1阶段，为0.02.

2 CWC信息熵的多尺度分解CWC信息熵是非线性、非平稳的时间序列，且云系中存在复杂的物理变化过程.为了研究时间序列的内部信息与序列结构，通常将CWC熵在一组基上展开，进行多尺度分解.不同的多尺度分解方法有不同的参数设置和层数，本文综合考虑不同分解方法的优缺点，选择小波分解[18]和经验模态（Empirical Mode Decomposition，EMD）分解.小波分解保留信号时域上的特征和频域上的分辨率，但是基函数以及分解层数需要自行设置.EMD分解不需要提前设置基函数和分解层数，具有很好的自适应能力，但存在边缘效应.因此，本文综合运用了小波分解和EMD分解两种方法.

2.1 小波分解与重构选择sym4作为小波分解的基函数，分解层数设为6层，结果如图6，其中，S₁，S₂，…，S₅表示CWC信息熵分解后的分量，RES为趋势序列，趋势序列反映整体趋势.虽然将CWC信息熵值分解成平稳有规律的序列，但是分解的层数太多，单独研究每个序列过程较为繁琐，导致很难给出所有分量的物理解释，并且会加大后期预测的难度，故需要重构分解后的序列.将S₁，S₂，S₃3个部分叠加作为高频项a₁，代表CWC信息熵的较大波动，S₄，S₅叠加作为低频项a₂，代表CWC信息熵的较小波动，RES为分解后的趋势序列，重构结果如图7所示.计算重构序列的3个辅助指标.方差贡献率是重构后序列的方差与原序列方差之比，衡量分量对原序列的贡献率.平均周期定义为各个分量样本数与极大值或者极小值点个数之比，用来表征序列的周期长短，平均周期的单位是点数.相关系数则是描述各个分量与原序列的线性相关程度.计算结果如表4所示，无论南方还是北方，3个辅助指标均为趋势项>低频项>高频项.

此外，OMG区域均值能够在一定程度上反映云的发展阶段，例如：出现极大值点往往表示云系处于发展阶段，出现极小值点表示云系处于消散阶段.CWC熵值重构低频项的极值如果也能出现相应的信号，说明利用CWC熵值开展研究是具有信息挖掘价值的，有助于判断云系发展阶段.OMG区域均值与CWC信息熵小波分解的重构低频项极值点相近，甚至有些是重合的，如表5所示.相近，这里指时间相差在2个时间点以内.对于OMG均值序列，CWC信息熵的小波分解低频重构的相近极值点为南方占44.4%，北方占55.5%；对于CWC熵值重构低频项，南方OMG均值的极值点的相近占50%，北方占83.3%.这里的百分比，反映的是CWC熵值重构低频项与OMG均值的极值点的信号响应程度.

2.2 EMD分解与重构EMD分解方法[19]需要设置停止条件defstop=［0.05，0.5，0.05］，迭代次数为1 000次，结果如图8所示，其中IMF1，IMF2，…，IMFn是分解后的序列，RES为分解后的趋势序列.

考虑到分解层数太多不利于预测，将IMF1和IMF2两个部分叠加作为高频项a₁，IMF3和IMF4叠加作为低频项a₂，RES为分解后的趋势序列，重构如图9所示.

由表6可见：1）方差贡献率：低频项>趋势项>高频项；2）周期：趋势项>低频项>高频项.相关系数都通过了α=0.05的显著性检验，南方CWC熵：趋势项>低频项>高频项；北方CWC熵：低频项>高频项>趋势项.运用不同分解方法，各个指标方差贡献率和相关系数的计算结果的排序可能存在差异，周期的排序没有发生变化.

3 CWC信息熵的组合预测

3.1 趋势项的Holt预测

3.2 高频项和低频项的ARIMA预测对CWC信息熵分解后的高频项和低频项的时间序列进行Box.test白噪声检验[23]和单位根平稳性检验[24].表8显示，南、北方小波重构和EMD重构后的高频项均是平稳的非白噪声序列，故不需要差分；北方小波重构和南方EMD重构的低频项均是非平稳序列，需要进行差分，且兩个序列的一阶差分即可满足序列的平稳性.综合考虑两种情况选择最优模型，结果如表9所示.

选择CWC信息熵前66个数据进行训练建模、后30个的数据进行预测，结果如图11和12所示.ARIMA模型对于波动情况预测较好，但是对峰值、谷值等预测精度还有待提高，低频项的训练效果明显优于高频项.

3.3 Lagrange Multiplier组合预测

3.4 组合模型性能分析

选取3个误差评价指标评估预测模型的性能，拟合优度R2取值范围为0～1，越接近于1拟合效果越好，平均绝对百分比误差MAPE和均方根误差RMSE的范围都是[0，+∞），越小越好[25].由表10可见，不同分解方法下，组合预测误差有一定的差异.北方和南方CWC信息熵的组合模型，EMD分解下的RMSE和R²都更优，小波分解下的MAPE更优.不同的分解方法各有优劣，故本文选择两种分解方法进行研究.

此外，对建立的Holt-ARIMA-Lagrange Multiplier组合模型进行对比分析.模型1未对CWC信息熵进行分解，直接采用ARIMA模型预测；模型2采用BP神经网络[26]预测；模型3和模型4分别使用一种多尺度分解，然后对分解后的趋势项序列进行Holt预测，高频和低频项序列进行ARIMA预测，最后将单项预测结果相加，得到最终预测结果；模型5为本文提出的组合模型.由表11可见，本文建立的组合模型对南北方CWC信息熵的预测效果最好.模型1对不分解序列进行预测，根据准确率等于1减去误差进行计算，只有52.33%.对比模型1、3、4，对序列进行多尺度分解后可以提高预测准确率.对比模型3、4、5，综合两种分解方法的预测效果优于单一分解，模型准确率提高了3%～4%.

4 结论

在降水云系的发展过程中，700 hPa云水含量是表征云的生成、发展、消散等阶段的重要云物理量.本文提出混合多尺度分解的Holt-ARIMA-Lagrange Multiplier组合模型，对2020年9月30日—10月3日一次降水云系发展过程中的CWC空间分布信息熵的1 h值进行时间序列研究，不仅能够定量衡量云发展过程中的CWC的混沌程度及其变化规律，也能够对于云系的自组织状况进行初步分析.1）计算CWC信息熵的1 h值，发现，以40°N为界，北方和南方的标准差分别为0.26和0.13，偏度分别为-0.67和-1.23，峰度分别是2.95和4.北方波动性较大，南方更加左偏且分布更加陡峭.在时间序列特征上，南北方的BDS统计量P值均小于0.01，ADF統计量的P值均大于0.05，说明南北方CWC信息熵序列均是非线性且非平稳的.2）在云的不同发展阶段，CWC信息熵的特征各不相同.北方的中位数先降后升，南方先升后降又升.随着云系的发展，南方离散程度持续下降，而北方变化不大.北方方差最大为0.05，均值最大为2.92；南方方差最大为0.02，均值最大为3.18.3）OMG均值与CWC信息熵的小波低频重构的极值点存在着一定的对应关系，设定±2 h为时间相近的范围，则相近的极值点在南方云中占50%，在北方云中占83.3%，说明CWC熵可以在一定程度上反映云系的发展.4）综合运用小波分解和经验模态分解，并重构CWC信息熵的分量，基于ARIMA模型预测重构后的高频项和低频项、基于Holt模型预测趋势项，最后基于Lagrange Multiplier法集成CWC信息熵的预测值，建立Holt-ARIMA-Lagrange Multiplier组合模型.通过实证分析，本文提出的组合模型比单一预测方法、单层分解的预测模型的准确率提高了3%以上.

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ZHANG Xian WU Qiong CHEN Yiqi LI Yashao WANG Weiwei

1Meteorological Center of Air Traffic Regulation of Civil Aviation in North China，Beijing 100621

2School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044

3Experimental Teaching Center for Meteorology and Environment，Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044

Abstract The development process and characteristic analysis of precipitation cloud system is an important issue in the field of cloud precipitation physics.Here，the 700 hPa Cloud Water Content （CWC） and the 1h value of airflow velocity （omega，OMG） in the vertical direction of the atmosphere are used to measure the chaos degree of CWC distribution via the information entropy and judge the cloud development via OMG time series，hence a combined prediction model is proposed based on hybrid multi-scale decomposition，Holt model，Autoregressive Integrated Moving Average model （ARIMA） and Lagrange Multiplier.The results show that，the CWC entropy has nonlinear and non-stationary characteristics;the clouds over the north have smaller means of the CWC entropy sequence and larger variance compared with those over the south regardless of the cloud development stage;a good temporal corresponding relationship is found between the regional average OMG and the extreme point reconstructed by the wavelet low-frequency of the CWC entropy，and close extreme value points account for 50% in clouds over the south and 83.3% in clouds over the north，showing that CWC entropy can somehow reflect the cloud development;the multiple timescale features of CWC entropy sequences make the multi-scale decomposed Holt-ARIMA-Lagrange Multiplier model more accurate than the single prediction method and single-layer decomposed prediction model，with accuracy improvement of more than 3%.

Key words cloud water content （CWC）;information entropy;wavelet decomposition;empirical mode decomposition （EMD）;autoregressive integrated moving average （ARIMA）;Holt two-parameter exponential smoothing