从一道2022年清华大学强基计划试题谈起

周志国

(江苏省淮安市盱眙中学 211700)

2022年清华大学强基计划第9题(下称“题1”)为:已知a2+ab+b2=3,求a2+b2-ab的最大值和最小值．

类似地,2022年全国新高考数学Ⅱ卷第12题(下称“题2”)为:若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则( )．

A．x+y<1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

题1关于a,b对称,我们用代换a=x+y,b=x-y,这样可以直接将已知条件转化为x与y的平方形式,容易确定x与y的取值范围．

对于题2,可以用代换x=a+b,y=a-b,这样所求式转化为关于a,b的式子,问题的判断变得比较简单．

题1的解 设a=x+y,b=x-y,则3=a2+b2+ab=(x+y)2+(x-y)2+(x+y)(x-y)=3x2+y2,所以y2=3(1-x2)≥0,故0≤x2≤1．因此,a2+b2-ab=(x+y)2+(x-y)2-(x+y)(x-y)=x2+3y2=x2+9(1-x2)=9-8x2∈[1,9],故a2+b2-ab的最大值为9,最小值为1．

下面再给出利用上述代换法解题的实例．

例1(2012芜湖一中自主招生)已知x,y是实数且满足x2+xy+y2-2=0,设M=x2-xy+y2,求M的取值范围．

解 设x=a+b,y=a-b,则2=x2+xy+y2=3a2+b2,所以b2=2-3a2≥0,于是因此

例2(2015年全国初中数学联赛试题)已知实数x,y满足xy-x-y-1=0,则x2+y2的最小值为( )．

例3(2015年全国初中数学联赛试题)已知实数x,y满足x2+xy+y2=3,则(x-y)2的最大值为．

解令x=a+b,y=a-b,则有3a2+b2=3,从而0≤b2≤3,于是(x-y)2=4b2≤12．因此,(x-y)2的最大值为12．

例4(2012年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b满足a2+b2=1,则a4+ab+b4的最小值为( )．

例5(2021年德国数学奥林匹克试题)已知实数a,b满足a2+b2=2,求证:3a+3b+ab≥-5．