解答排列组合问题常用的几种途径

余艳

排列组合问题比较常见，也是高考中的必考内容之一.这类问题常常与实际生活相结合，涉及面较广.解答此类问题的关键在于认真审题，抓住题干中的关键信息，采用适当的方法对问题进行求解.本文将结合实例谈一谈解答排列组合问题的几种常用方法.

一、采用捆绑法

若题目中要求几个元素必须相邻，就需采用捆绑法求解.先将要求相邻的元素捆绑在一起，将其看成一个整体后再与其余元素进行全排列.需要注意的是整体内部的元素的顺序也必须进行排列.

例1.某书架上，3本不同年级的数学书、4本不同年级的物理书排成一排.若要求数学书必须相邻，物理书也必须相邻，问有多少种不同排法？

解：第一步，将3本不同年级的数学书看成一个整体，即为一个“对象”，4本不同年级的物理书也看成一个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排有 A2（2）种排法；

第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有 A3（3）种排列方法，物理书“对象”内部的元素有 A4（4）种排列方法.

因此，符合题意的排列方法共有 A2（2）?A3（3）?A4（4）=288种.

本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行求解.

二、运用插空法

若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将各个元素按照题目要求排列好.

例2.体育课上，老师要求5名男生、5名女生共10人站成一排，求女生不相邻的站法有多少种？

解：第一步，先将5名男生的位置排好，有 A5（5）种排列方法；第二步，将5名女生插入5名男生之间所形成的6个空位中，共有 A6（5）种排列方法.因此，由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有 A5（5）?A6（5）=86400种.本题为不相邻问题，可采用插空法.对于不相邻问题，需注意考虑两端的位置.

三、利用隔板法

当遇到相同元素的分配问题时，往往要采用隔板法求解.若要将 n 个相同的元素分成 m 组，需首先将 n个元素排成一列，然后在这些元素中间插入 m - 1 个板.值得注意的是，（1）插入隔板的位置一般是随机的；（2）所分成的每一组至少有一个元素；（3）分成的组别必须彼此相异.

例3.某个年级有10个参加书法比赛的名额，可分给班号分别为1，2，3的3个班级，每个班级至少有1个名额，则有多少种不同的分配方案？

解：因为参加书法比赛的名额是相同的，没有差别，所以可将10個参加书法比赛的名额视为10个相同元素.将这10个相同元素排成一排，元素之间有9个空，选出2个空插入隔板，可把10个元素分成3份，分配给每个班级，所以共有 C29 = 36种分配方案.

本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用隔板法求解.

四、借助倍缩法

有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，即可得到问题的答案.

例4.现将4名男生、3名女生（身高各不相同）这7名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从左到右排列），一共有多少种排列方法？

解：

题目中要求女生从矮到高的顺序排列，这3名女生的排列顺序只有一种，且固定，则本题可视为定序问题，需采用倍缩法对问题进行求解.

排列组合问题多种多样，解题的方法也灵活多变.除了上述几种方法外，还有优先法、直排法等.但不论用何种方法解题，都要首先明确问题中对元素的要求，明晰问题的类型；再选择与之相应的方法进行求解.同时要灵活运用排列、组合的定义，两个计数原理，只有这样，才能从容应对排列组合问题.

（作者单位：江西省抚州市金溪县第一中学）