探究性作业的设计策略探讨

黄锦芹

【摘 要】家庭作业不但可以起到及时巩固课堂所学知识的作用，还是对知识的一种检验和应用，更是教师测评学生知识掌握水平的一种最直接的手段。但是，反观教育现状，数学家庭作业内容过于陈旧单调，沦为一种形式，学生只要做完且答案和标准答案一致，就算合格，字迹工整的还可以附赠一个“优秀”，这样的书面作业无法反馈学生的思维过程。

【关键词】理解 概念 知识 应用 推理 证明

探究性数学家庭作业需要学生高度的自觉性和独立的思考性，旨在让学生通过研究一个开放性问题，进行自主探究和表达，在作业过程中必须完成理解概念、建构模型、方法创新等一整套流程。结合中高年级的知识特点和小学生的认知规律，可以将探究性作业分为概念巩固作业、知识应用作业、推理探索类作业三种类型。

一、概念理解类作业设计策略

数学概念是通过大量的对比归纳而形成的。借助符号化的表达，可以把数学概念提炼为一串表达式，而对比辨析的过程就成了隐蔽的过程性思维。因此，建构概念的方式不同，对概念的理解程度也就不同。

（一）“描写式”作业的设计策略

“描写式”的概念理解作业，重在对概念的复述，要求学生叙述概念的定义，直接说出自己的直觉理解，然后通过举例证明，最后让学生对照概念内涵自己设计题目，以此展示对概念的深刻领会。譬如“平均数”这一概念，在旧版教材中几乎都是通过计算题直接计算平均数，而新版教材则侧重于理解。学完了平均数，为了检测学生理解到什么程度，笔者设计了“平均数讲演”的“开放性作业”，学生可以通过任何方式为平均数正名。

有个学生写道：我是“平均数”，和“÷”是近亲。我平时深居简出，我有两种出场方式，一种是“移多补少”，一种是“总数÷份数”。我是最公正不阿的法官，代表平均分的结果，雨露均沾。如有12盒月饼，分给3位嘉宾，我会给每人分配4盒。三年级学生可以通过描述、举例、出题等方式将平均数解释清楚。描写式作业，不仅能巩固概念，更是对概念的一次剖析。经过一定时间的训练后，一旦遇到数学概念，学生就知道该通过什么途径分析和理解概念。

（二）“判定式作业”的设计策略

概念判定式作业，侧重于对概念的是非判定。学生需要预先独立判断概念命题：“全对还是全错？或者改变某一条件才正确？”——这是初步判断。然后深入解剖，看是否可以通过增删条件将命题订正，这一步操作促进对与概念相关联的子概念和次生概念的理解，形成概念链条。最后举出正确的示例，使得对概念的判断呈现先“破”后“立”的思维状态，全面建立概念。

如学生在学习了“面积”概念后，经常需要对“面积”和“周长”进行分辨。有些判断很粗略，是一些概括性的描述，如“如果一个图形的周长越长，就说明它的面积越大”。“周长”是旧知，如果非要在此基础上类比构建“面积”概念，就必须进行辨析。但如果不分析原因，只记住结论，那么下次一遇到变式，学生就会束手无策。若将作业改变问法，设计成“一个图形的周长越长就能说明它的面积也越大吗？为什么？请试图将你的想法通过画图或者描述展示出来”，学生就会想方设法证明这个命题是个伪命题，得出“有很多有凹入部分的图形，边缘弯弯曲曲会很长，但是面积却出奇的小”这样的结论。

二、知识应用类作业设计策略

知识应用强调“四能”培养，知识应用的核心素养就是建模，需要通过各种不同类型的作业来完成知识体系的构建。既然“问题”都是分类的，那么对同一题型的提炼，关注递进式的题组，就是这类作业的基本设计理念。

（一）“横向同构”问题作业的设计策略

“横向同构”问题，是指有着相同构架的问题，例题要突出本质特征，而非本质因素则要千变万化，从而训练学生透过题干的表面看到问题的结构本质。解两题（数据、结构均相同，只是背景内容不同）归纳共同点，用不同方式表示问题的结构。做第二题时就会感觉到似曾相识，做第三题时就会恍然大悟。因此，教师可以在解答题目之后，让学生说出它们到底哪里一样，然后指导学生用专业的数学符号（线段图、表格）等提炼出模型。

（二）“纵向同构”问题作业的设计策略

“纵向同构”问题，是指由同一个数学问题派生出许多变式，把一道有价值的题目通过改变其中的基本元素改编成多道相关题，逐步发散学生的思维，促使学生发现这类问题的演变形态，全面掌握相关知识。学生一旦具备这种能力，之后在遇到类似问题时，不管如何变形，都能迅速找到解决的方法。

将一道简单题逐渐增设条件加大难度，或者将直接条件改为间接条件，可以让学生明白这类问题是纵向延伸的，其基本结构和主轴相同。学生仍需先独立解答两三题，这几题情境相同，从而体会到，明明说的是一件事，但是又偏偏不尽相同，在解答后明确描述出不同之处，最好还能指出相同点和内在关联。

比如，在学习“分段计费”后，笔者设计这样的作业：“李叔叔要寄个快递，快递收费标准为3千克以内保底价6元，3千克至10千克每千克加收1.5元快递费，10千克以上每千克加收1元的快递费。李叔叔如果要寄2千克的包裹，要支付多少快递费？5千克呢？20千克呢？请画线段图分析快递费收取方案。”学生接触的都是“分两段”的“水费”“电费”“电话费”等问题，设计作业将题目纵向拉伸，不断增加段数，借助线段图深刻揭示分段计费问题的基本构架。这类问题还能改造成开放题，通过删减数据条件，让学生自己赋值提问并解答，迫使学生自觉解剖问题结构，再来设计数据，提高难度。

三、推理证明类作业设计策略

推理是一种基本的数学思维，教师应培养学生的推理能力。推理证明类作业在于通过推理方式建构知识，让学生逐渐掌握证明、分析、推理的一般程序。

（一）“证明推理式”探究性作业的设计策略

当学生有能力证明一个命题的真伪时，他头脑中就能勾勒出基本的逻辑线索。作业就是先要将原有的线索激活，为学生创设情境，從而将抽象的线索变为具体的证据。

概念的“判断分析”针对知识点，而“证明推理”则针对偏题、难题。学生在证明自己的观点前要亮明观点，然后设法“证明”，在证实自己的观点后再重申观点。

（二）“迁移推理式”探究性作业的设计策略

新知的构建，有赖于从原有认知结构中去接纳和同化新的观念形态，将新旧知识融为一体，纳入一个“版图”中。学生必须自己经历完整的知识转化过程。遇到难题时，不同层次的学生表现不同，有的攻克难关，挑战成功，无比喜悦；无法攻克难关的学生，教师可以引导他们先试做一些简单题练练手。简单题与难题的结构模型完全一致，可以让学生经历难度缓慢提升的适应过程，从而学生就会自觉进行类比，找到解题的方法。经历完成作业的整个过程，不仅能帮助学生化难为易，而且能帮助学生进行迁移类比。

如“已知正方形面积为2平方厘米，求圆形面积”这道题（见下图），学生感觉很难。

探究作业设计：如果解题遇阻，可以绕道做另外两题。

（1）已知一个长方形两邻边长度和为4厘米，这个长方形的周长是多少厘米？

（2）已知梯形上底与下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面积是多少平方厘米？

现在，经过这两题的历练，你受到了什么启发？后两题意在让学生打破思维定式，让学生明白不一定非得知道具体的“长”和“宽”才能求周长，也不一定非得知道具体的“上底”和“下底”数值才能求面积，知道“长与宽的和”与“上底与下底的和”这样的“半成品”条件也同样可以求出面积。

借此铺垫，学生就可迁移类推：即使不清楚正方形的边长即圆的直径，利用正方形的面积即圆半径的平方，也能求出圆的面积。

“迁移推理式”探究性作业，注重个体差异，让学优生发现联系，捕捉“迁移点”，学困生对“迁移”线索有更加清晰的勾画。当然，除了上述三种探究性作业类型外，日常家庭作业多是综合运用类的作业，对描述、判断、推理、迁移的综合运用，不仅能让学生掌握灵活解题的方法，更能发展学生的逻辑思维能力。