“以终为始，评价先行”的高中数学课堂教学改革实践研究

李俊 张祖兰

【摘要】本文论述构建“以终为始，评价先行”评价模式的背景，分析“以终为始，评价先行”的教学设计思路，并以圆的标准方程教学为例具体阐述“以终为始，评价先行”的高中数学课堂教学过程。

【关键词】以终为始 评价先行 圆的标准方程 高中数学

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）11-0049-06

课堂评价能让教师及时掌握学生的学习情况，是教师对后续教学做出调整的依据；课堂评价能帮助学生及时发现学习中存在的问题，为改进学习方法提供方向；课堂评价作为促进教与学的要素，应贯穿整个教学过程。基于这样的认识，同时结合新高考改革的具体要求，笔者近年来开展了“以终为始，评价先行”高中数学课堂教学改革的实践研究，取得了一定的成功经验。

一、构建“以终为始，评价先行”评价模式的背景

过去，教师主要是依据教材和经验设计教学，一般采用“教学目标→教学组织→教学评价”的教学模式，将落实课程标准既定的教学内容作为教学目标，评价往往是教学结束后的终结性检测，有些教师甚至将课后的测验或考试视为评价，致使评、教、学相割裂。这种做法存在两个弊端：一是在教学活动开展前，教师并不清楚教学目标达成的标志是什么，也不清楚学生已有的学习经验与教学目标之间的距离，无法充分发挥评价的诊断作用；二是在教学过程中，教师无从判断教学效果和学生学习的情况，课堂成了教师传授知识和完成教学任务的工具，忽视了学生的学习主体地位，违背了教学是为学生服务的本质。这样的教学往往因为缺乏目标导向、评价反馈、教学改进而出现课堂教学低效甚至无效的情况。因此，必须改革过去教、学、评相分离的教学模式。

美国课程研究专家格兰特·威金斯（Grant Wiggins），杰伊·麦克泰格（Jay Mctighe）在《追求理解的教学设计》（Understanding by Design）中提出了针对性的设计方法——逆向设计。这种设计是从教学结果逆向思考教学设计，具体流程如下：第一阶段确定预期结果；第二阶段确定预期结果达成的依据；第三阶段设计学习体验和教学活动。这种教学设计的特征是，教师在开展教学活动前，先要思考通过本单元学习要达成怎样的目标或效果，哪些证据能够表明学习目标已达成，由此把评价设计放在教学活动设计之前，将评价嵌入整个教学过程，使教学目标更加明确。教师通过评价活动诊断学生已有的学习经验与教学目标之间的距离，再安排相应的教学活动，使教学成为发现证据、接近教学目标的过程，教学的指向性更明确。这样设计教学，教师可以根据所发现的证据，判断学生对知识的实际掌握情况，进而检验课堂教学效果，并根据实际情况做出调整；学生也能及时发现、反思学习中的问题，为下一步学习做出改进。在这一教学模式中，评价不再是终结性检测，而是经历“教学→评价→改进→教學”反复循环的过程性评价。

这种“以终为始，评价先行”的逆向教学设计，能让一线教师基于课程标准，更明确学生“要到哪里去”、通过评价诊断学生目前“在哪里”、设计怎样的教学活动才能让学生“到那里”、通过评价证据判断学生是否已经“到那里”，并在教学过程中不断对预设与目标进行回望，促使教学活动有效开展。“以终为始，评价先行”的教学策略符合教育评价改革的时代要求和评价导向，有利于教师落实立德树人的课程目标。

二、“以终为始，评价先行”教学设计的思路

如何在教学过程中落实“以终为始，评价先行”？如何基于教学评价精准设计教学？如何在教学中进行全面系统的教学评估？这是广大一线教师关心的话题，也是教学设计的关键点。为此，笔者将在下文阐述“以终为始，评价先行”教学设计的思路。

教师的教、学生的学及对教与学的评价，都应基于一个明确的教学目标，三者之间具有紧密的关联性。教师在课前应根据预设目标设计教学评价框架，然后基于“教—学—评”一致性理念设计教学，并围绕目标开展精准教学，科学地进行教学评价，引导学生高效学习，这是“以终为始，评价先行”教学设计的基本思路。具体操作如下（如图1所示）：首先预设课前评价，实施定位性评价，制订教学目标，在此基础上根据课程标准、教学内容和学情分析，确定教、学、评的基本思路，预设教学评价方案，利用评价引导教学、监测教学；其次在教学中实施过程性评价，通过课堂导入进行诊断性评价，明确学生的知识储备情况，及时对学生的课堂表现进行评价，然后积极地利用评价结果调整教学环节，反馈教学成果与问题，并持续跟踪；最后通过后测结果、评价反思和评价量表等多种形式，对“教—学—评”一致性达成度进行诊断。

三、“以终为始，评价先行”的教学实施过程

下面，笔者以圆的标准方程教学为例，探索并分析“以终为始，评价先行”的教学实施策略。

（一）制订课程教学目标

圆的标准方程是高中数学选择性必修第一册第二单元的教学内容，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称数学课程标准）中对本课教学目标的设定为：学生能根据圆的定义确定圆的几何要素，利用坐标法探索并推导出圆的标准方程；能根据圆的方程，研究圆的相关几何性质；能借助曲线方程解决数学问题及生活问题。

通过课前学情调研可知，学生在初中阶段已经学习过圆的概念与基本性质，知道了直线与圆有三种位置关系。在高中阶段，学生需要运用数形结合思想，从解析几何的角度继续研究圆的方程及直线与圆的位置关系等问题。由此可见，两个阶段的研究方法发生了明显改变，已从纯粹的几何角度变成了运用解析几何思想进行探究。解析几何就是将曲线图形放入平面直角坐标系，运用有序数对刻画曲线中的点，建立曲线方程，然后运用代数符号将曲线图形中的空间元素及元素间的关系表达出来，运用曲线方程定量研究曲线的性质并对曲线进行运算。然而，解析几何研究方法对高中生而言比较抽象，很少学生会用这种方法研究问题。根据数学学科核心素养发展水平和学业质量水平及上述分析，笔者设计了如下三个教学目标：①能够类比直线方程的建立过程推导出圆的标准方程，能够将圆的定义转化成直角坐标系中圆上点的坐标应满足的关系式，并化简出圆的标准方程，培养学生的逻辑推理、数学建模等素养；②能够灵活分析题意，能灵活地选用直接法、待定系数法、几何法等方法求出圆的标准方程，发展学生的数学运算素养；③能利用圆的方程研究圆的几何性质，提升学生用代数的方法解决几何问题的能力，即学生能利用圆的标准方程研究点与圆的位置关系，并能借助圆的方程解决实际问题，发展学生的数学建模素养。

（二）确定教学与评价思路

通过对教材、课标及教学诊断进行分析，笔者确定了课时目标及评价依据，接着从目标出发，创设合适的学习情境，提出课时学习核心问题，发布课时关键任务，并通过一系列学习活动帮助学生解决问题，从而在实施中跟踪检测课时评价目标，并将检测效果作用于教学环节，实现以终为始的良性教学循环。同时，关于本课的教学评价，笔者按照“导入→授课→总结”三大阶段进行预设，在预设中根据学生的不同学习方式布置学习任务，并预设教师教学评价的时机，完善教师教学评价方法预设，努力做到评价先行。

（三）教学具体实施过程

1.创设情境，启迪思维

数学课程标准提出：高中数学教学要以发展学生数学学科核心素养为导向，结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养，设计切合学生实际的情境和问题，启发学生思考；围绕数学学科重要、本质的概念、原理和解决问题的思维方式创设真实的教学情境，引导学生把握学习内容的本质。本课通过创设现实情境，激活学生的生活经验与社会见识，使其在生活化素材的引导下主动学习，从而对所学内容产生浓厚的兴趣，并尝试从情境中发现并抽象出数学问题，进而提高解决实际问题的能力。

首先，笔者创设了如下情境：圆是中国人所喜爱的图形，因为它象征着圆融智慧、包容和谐，象征着生活圆满；圆与我们的生活息息相关，有一种中式美学叫“中国圆”，如苏州园林的月洞门，“一步一景，移步换景”，巧思妙境，令人陶醉；北京天坛的皇穹宇也融入了众多圆形因素，因而显得宏伟大气，非常壮观；中国第一“圆楼”客家土楼花萼楼美得像一朵花。从这些建筑中我们都能发现圆的美。在日常生活中，圆的应用也十分广泛，如每条通车隧道的隧道口，都会有一个限高的标志，这个限高的数据是如何得到的？我们如何从数学的角度给出合理的解释？

其次，笔者设计了如下学习任务：如图2，已知隧道的截面是半径为5米的半圆，车辆只能在道路中间线的右侧行驶。一辆宽为3米、高为4.3米的货车能不能驶入这条隧道？根据学习任务，笔者提出如下教学问题：这一现实生活问题可以抽象出一个怎样的数学问题？我们判断货车能否通过隧道的依据是什么？在这些任务的驱动下，学生需要完成如下两个子任务：①从实际生活情境中抽象出数学模型；②用数学语言描述货车通过隧道的依据。

学生为了解决上述问题进行小组合作探究，在已有知识和学习经验的基础上，归纳得到三种可能，并抽象出如下数学模型（如图3所示），提出解决方案：构造直角三角形，利用勾股定理求出AC长度，发现AC长度比半径大，因此货车无法通过隧道。

在学生解决问题的过程中，笔者观察全体学生能否顺利完成数学建模任务，能否用已学知识解决情境中的问题，并对学生进行即时评价。对完成学习任务的学生即时给予肯定、表扬，对暂时没有完成任务的学生给予启发引导，帮助其完成任务，帮助学生树立学习信心、保持学习动力，发挥即时评价的导学功能。

本课中，笔者设计的第一个问题是“为什么要学习圆的方程？”，目的是让学生了解学习圆的方程的必要性，帮助学生培养大单元教学理念，围绕解析几何的核心“几何问题代数化”，让学生经历解析几何知识的发展、思想与方法的深化过程，激发学生深度参与学习活动，促进学生数学核心素养的发展。当学生找不到其他方法解决这一实际问题时，笔者通过启发性问题引导学生思考：在前面直线方程的学习中，我们用方程表示直线，通过方程定量地研究直线的性质，如直线的位置关系、交点坐标以及距离等问题……类似的，圆是否也可以用方程来表示？货车无法驶入隧道可以转化成什么数学问题？

学生根据之前积累的基本活动经验，运用类比的思想，感知可以通过圆的方程定量地研究点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等问题，从而意识到学习圆的方程的必要性，自然过渡到本课将要学习的内容，解决了“为何学”的问题。通过这一环节的学习，学生学会了用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，从而提升了自身的数学建模、数学抽象等素养。

2.问题引领，探索新知

笔者设计了如下学习任务：类比直线方程的建立过程，建立圆的方程。在这一学习任务的驱动下，学生需要完成如下三个子任务：①厘清建立圆的方程的研究思路；②推导出圆的标准方程；③理解“曲线的方程和方程的曲线”这一概念的内涵。

问题驱动教学方法是新课改所倡导的教学方式，这对增强学生的学习兴趣、提升数学课堂的教学有效性等具有重要的价值和作用。在本教学环节中，笔者采用问题驱动方法，设计适切的问题串，让学生在问题的引领下，发现学习数学的乐趣，进而促使学生主动地开展学习和探究。笔者设计了如下问题串：①直线方程是如何建立的？②我们是如何通过直线的几何要素构建代数方程的？③如何类比直线方程的建立过程建立圆的方程？④确定一个圆的几何要素是什么？⑤若圆心为A（a，b），半径为r，则圆上任意一点M（x，y）的坐标满足怎样的关系式？

在解决上述问题的过程中，学生通过回忆直线方程的推导过程，类比推导圆的方程，然后根据圆的定义“平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，可知確定一个圆的几何要素有两个：圆心和半径。在问题的引导下，学生能够明确建立圆的方程的研究思路，从而推导出以点A（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2［以下简称方程（1）］。

在此基础上，笔者进一步设计如下问题：方程（1）是否为圆的方程？笔者发现，学生对这一问题感到困惑，认为既然是根据圆的定义推导出的方程必定是圆的方程，因此无法理解这个问题的意义所在。存在这样的困惑，究其原因是学生不理解数量关系与空间形式一一对应关系的内在含义。

“曲线的方程与方程的曲线”这个概念比较抽象，学生不易理解，教师通过师生互动交流、提问、追问等方式了解学生存在的困惑，及时调整教学进度和内容，引导学生发现若点M（x，y）在圆上，则说明点[M]的坐标满足圆的方程；反之，若点[M]的坐标（x，y）满足圆的方程，就说明点[M]与圆心的距离为r，即点M在圆上。因此，我们把方程（1）称为以A（a，b）为圆心、r为半径的圆的标准方程。通过对这一系列问题的思考与分析，学生明白了解析几何中圆与圆的方程一一对应的关系，理解了正因为空间形式与数量关系的一一对应，我们可以利用方程表示曲线，对曲线进行运算，并建立方程的几何直观表达，把方程形象化。

在本环节中，学生能够迁移直线方程的学习经验，类比推导圆的标准方程，这说明学生已经找到用已有知识解决解析几何问题的路径，符合这一阶段的认知发展要求。教学中，教师要留足时间让学生独立推导圆的标准方程，鼓励学生上台分享展示，并在旁观察指导，诊断学生学习状态，帮助学生解决困难；要关注学生将文字语言转化成数学语言的过程，诊断学生是否能调动学习经验进行类比探究，是否了解用坐标法研究解析几何问题的基本步骤，在学习过程中是否顺利发展了数学抽象、逻辑推理的核心素养，从而帮助学生获得“四基”、提高“四能”。

3.解决问题，应用巩固

笔者设计了如下学习任务：明确圆的标准方程的结构特征，并进行求解运算。在这一学习任务的驱动下，学生需要完成如下四个子任务：①根据圆的方程写出圆心坐标及半径；②根据具体条件选择适当方法求圆的标准方程；③利用圆的方程研究圆的性质，如点与圆的位置关系；④利用所学知识解决新课引入中的实际问题。

为了有效引导学生完成如上学习任务，笔者主要通过如下四道练习题引导学生展开学习：①根据下列圆的标准方程，写出圆心和半径［（x-3）[2]+（y-4）[2]=4，（x+3）[2]+（y-1）[2]=2，（3x-2）[2]+（3y-6）[2]=27］；②求满足下列条件的圆的标准方程［1.圆心为A（2，-3），半径为5；2.圆心为A（2，-3），且过点（1，-1）］；③求过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）的圆的标准方程。

在解决练习①和练习②的过程中，学生都能快速准确地回答。但由于变式中的圆的方程为非标准形式，部分学生判断圆心和半径存在一定困难，对练习③有部分学生能熟练运用待定系数法求圆的标准方程，对三元二次方程组的求解则感到困难，较少学生想到用几何法求圆的标准方程。对判断特殊点是否在圆上，绝大部分学生都明白若点的坐标满足圆的方程，则说明该点在圆上，否则就不在圆上，或者通过计算点到圆心的距离是否等于半径来判断点是否在圆上。

教学过程中，笔者充分发挥评价的诊断功能，通过课堂提问和投影学生的解答过程，诊断学生是否掌握圆的标准方程的代数结构并能根据方程快速判断圆心和半径，是否能已知圆心和半径熟练求出圆的标准方程。通过评价笔者发现学生对练习①、练习②这种类型的问题掌握情况良好，但练习③存在较大问题，主要表现在学生运用待定系数法求解圆的标准方程时，解三元二次方程普遍存在困难。这与原教学计划不太吻合，此时笔者调整教学策略，详细板书运算过程，帮助学生突破运算难点，掌握运算方法，提升数学运算素养。同时，笔者通过学生之间的展示分享、交流互评，为学生提供了多种解题思路，让学生体会不同解法的优缺点，积累基本活动经验，进而达到巩固提高的效果。

为了有效解决学生存在的学习问题，笔者进一步设计了“根据特殊到一般的思想，研究点与圆的位置关系”这一学习任务，以及“如何判定点P（x[0]，y[0]）与圆C：（x-a）2+（y-b）2=r[2]的位置关系？”这一小组探究问题。根据前面探究具体的点与圆的位置关系，学生很自然地将这一知识迁移用于解决平面内任意一点与已知圆的位置关系问题，归纳总结出点与圆的三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。而且，学生能运用数学符号语言准确表达几何条件，并转化为相应的代数形式，思维能力得到了提升。

数学课程标准指出，教师要充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法，加强思想方法的教学。“从特殊到一般”是重要的数学思想方法之一，学生学会通过特殊化、具体化的问题，从而总结出一般性的结论，并用已有的理论知识去验证一般性的结论。这一思想方法在认识活动中被反复运用，对学生数学思维的发展具有重大意义。因此，在这一学习任务中，笔者通过让学生判断特殊点与圆的位置关系，检验学生能否归纳出判断点与圆的位置关系的一般方法，观测学生是否会运用“从特殊到一般”的思想进行数学研究。这样不仅能提高学生对数学思想方法的认识、理解和运用，还让学生学会从解决数学问题的过程中提炼数学观点，认识数学本质。

接着，笔者进一步设计了“学以致用，解决新课引入中的实际问题”这一学习任务。根据前面的铺垫，学生已经认识这一现实问题的本质是点与圆的位置关系，并能够将几何问题代数化，能够基于图形的对称性建立直角坐标系，得到圆的标准方程与点的坐标，然后运用代数比较大小而解决问题。全班大部分学生能够准确书写解决过程，正确率高，情况良好。具体过程如下：如图4所示，半圆所在圆的标准方程为[x2+y2=25]，将点C（3，4.3）代入圆的方程等号左侧可得32+4.32=27.49>25，因此，点C在圆外，故货车无法驶入隧道。

通过本环节的学习，学生学会运用数学的眼光观察世界，建立了圆的模型，并能够运用代数运算解决几何问题，体会了解析几何的魅力，发展了自身直观想象、数学抽象等核心素养。

4.总结提升，评价反思

笔者设计了“归纳小结，完成知识系统建构与方法提炼”这一学习任务，同时提出“本课你学到了哪些知识？收获了哪些方法？”的思考问题。学生通过3—5分钟的课堂回顾，理解新概念，整理研究解析几何问题的思路，归纳在不同的条件背景下如何研究圆的标准方程的方法。笔者在旁进行辅助梳理，全班学生共同总结出如下学习心得：一是知识层面，学习了圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r[2]，圆心为（a，b），半径为r（r>0）；二是方法层面，归纳了直接法、待定系数法、几何法等求圆的标准方程的常见方法，以及学会了运用几何法与代数法等判断点与圆的位置关系的方法；三是思想层面，了解了研究解析几何问题的基本思想方法——坐标法，研究了解析几何问题的核心是“几何问题代数化”。在此过程中，笔者通过学生的归纳总结、对话交流，检查课堂教学是否已经达到预期目标，以及学生是否已经掌握了本课的基本知识、基本技能、基本方法，是否积累了基本活动经验，是否学会了知识的迁移应用，学生得到了哪些发展、提升了哪些核心素养。

接着，笔者设计最后两道练习题，以此提升学生的运算求解素养，检验本课的教学效果，并将这一步骤的检验结果作为下一课时学习的起点，“以终为始”开展新的教学设计。练习题如下：①求以C（2，-3）为圆心，且过点B（5，-1）的圆的方程；②求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程。

在本课教学中，笔者尝试了“以终为始，评价先行”的教学思路：首先在课前基于目标预设评价方案，以学习任务为抓手、以评价任务为主线，进行教学实践和评价；其次觀察学生在每一个教学环节中的真实表现，及时评价、点拨、纠正，以问题串驱动学生不断思考、回应，并将评价贯穿整个教学过程，突出了评价的诊断功能，同时也充分发挥了它的激励功能，符合新课改关于评价方式要多样化、评价主体要多元化的理念和要求。而且在每个教学环节中，笔者都对学生的表现进行了即时评价，让学生不仅能够得到肯定和鼓励，还能及时纠正不足，这对教学目标的达成起到了积极的作用，体现了“素养为本，科学评价”的理念。通过长期的实践研究，笔者认为“以终为始，评价先行”的教学改革对教师的专业发展、学生持续学习能力的培养、教学质量的提高都具有十分重要的意义。

参考文献

［1］格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格．追求理解的教学设计（第二版）［M］．闫寒冰，宋雪莲，赖平，译．上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］张茜，翟雷厚.基于“教学评一致性”要求的高中数学课堂教学模式研究［J］.中学数学（高中版），2022（2）.

［3］李方方.教学评一致性，让数学课堂走向灵动深刻［J］.课程教育研究，2020（19）.

［4］叶海龙.逆向教学设计简论［J］.当代教育科学，2011（4）.

注：本文系广西教育科学“十四五”规划2021年度广西高考综合改革专项课题“基于中学数学教师核心素养发展的教师新教材实施的实践能力培养研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

作者简介：李俊（1973— ），湖南郴州人，高级教师，主要研究方向为基础教育数学教学。

（责编 蒙秀溪）