运用整体换元法妙解“多样式”一元方程

李亚峰

方程是初中数学计算题和应用题的一个重要考点.解方程也是同学们必须要掌握的一项基本技能.但很多试题中的方程常与根式、分式等其他形式的数或式相结合，使方程的形式变得多样化，大大提高了解题难度.因此，本文介绍了利用整体换元法求解“多样式”一元方程的技巧.在利用整体换元法求解方程时，首先要找出将被替换的“整体”，确保替换以后能够简化方程；然后求解简化后的方程；最后将简化方程的解再代入“整体”，求出真正的未知数的值.

一、整体换元法妙解一元整式方程

一元整式方程中以二次方程或高次方程居多，求解此类方程时可以采用整体换元法将重复出现的“整体”设为新的未知数（即新“元”），以简化原方程，降低求解难度. 利用整体换元法求解一元高次方程可以实现“降次”的目的，将高次化为二次，在求解出新“元”的值后，再代入“整体”，从而求解出原未知数的值.

例1 解方程（x + 4）2 = 2（x + 4）.分析：这是关于 x 的一元二次方程，方程中多次出现（x +4）的组合形式，如果将（x +4）整体替换成另一未知数 a ，方程将变得更加简单.

解：设 a = x +4，则原方程可以简化为a2 = 2a ，解得 a =0或2，

当 a =0时，则 x +4=0，解得 x =－4，

当 a =2时，则 x +4=2，解得 x =－2，

所以，方程的解为 x =－4或－2，

例2解方程 （x2 + 2x）2 - x2 - 2x - 2 = 0 .

分析：这道题直接展开是一个高次方程，求解比较困难.但仔细观察后可以发现，原方程组中有局部（ x2 + 2x）重复出现，可以参照例1的解法，将整体换元，设 a = x2 + 2x ，这样可以转化为 a2 - a - 2 = 0 ，通过求解 a 的值再求解未知数 x 的值.

解：设 a = x2 + 2x ，则原方程可以简化为a2 - a - 2 = 0 ，解得，a =－1或2，

当 a=－1时，则 x2 + 2x=－1，解得 x=－1，

当 a =2时，则 x2 + 2x =2，

解得 x =3 - 1或 x = - 3 - 1，

所以方程的解為 x =－1、 3 - 1、- 3 - 1.

评注：寻找方程中的局部“整体”并换元代替能够简化方程，将高次方程转化为常规方程，然后通过二次或多次求解常规方程的方法就可以达到求解高次方程的目的.

二、整体换元法妙解一元根式方程

未知数含在根号下的方程叫作根式方程.其求解的基本思想是通过去根号将根式方程转化为整式方程来解，一般常把方程中含有未知数的根式作为整体进行换元，从而将根式方程整式化，降低求解的难度.其中需要特别注意偶次根式的被开方数需要大于等于“0”，在“设元”时，要注意新“元”的限制范围.

例3 解方程 x - 3 + 2 x - 3 = 3 .

分析：这是一道含有根式的方程，且未知数有一定的范围，所以 x ≥ 3.另外（ x - 3）与x - 3 有平方关系，可以设 t=x - 3 ，将原方程简化为 t2 + 2t = 3 ，通过求解 t 的值，再借助t=x - 3 解出未知数 x 的值.

解：设t=x - 3 ，则t ≥ 0，

原方程可简化为 t2 + 2t = 3 ，

解得，t=－3（舍去）或t=1，

当 t =1时，则x - 3 =1，解得 x =4，

所以，方程的解为 x =4.

三、整体换元法妙解一元分式方程

整体换元法可以将分式方程转化为整式方程，或化为一个简单的分式方程来求解.我们常把方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用新元和它的倒数来表示.同时，设元时要注意新元的取值限制（分母≠0），在求得最后结果时需要加以检验和舍弃.

评注：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法.在求解该方程的过程中要注意无解的情况，将其舍弃.

整体换元法在解方程中的应用十分广泛，整体换元可将原方程简化为我们常见的方程，易于解答.整体换元法也体现了数学中“化未知为已知”的方法，希望同学们在以后的学习中能够灵活运用该思想方法.